Bài 1: CMR: tồn tại một số tự nhiên x<17sao cho ( 25 − 1 ) chia hết cho 17 Bài 2: CHo dãy số 5 số tự nhiên bất kì ; ; ; CMR: tồn tại 1 số chia hết cho 5 hoặc tổng của một số số chia hết cho 5. Bài 3: Ở mỗi ô của 1 hình vuông kích thước 5 nhân 5 ô; Ta viết 1 trong 3 số 0; 1; -1 sao cho mỗi ô vuông có đúng 1 số. CMR trong các tổng của 5 số theo 1 cột; theo 1 hàng; theo mỗi đường chéo có ít nhất 2 tổng bằng nhau. Bài 4: CM trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1, không thể có nhiều hơn 5 điểm có khoảng cách giữa 2 điểm bất kì trong chúng đều lớn hơn 1 Bài 5: Trên mặt phẳng, cho 25 điểm phân biệt và trong 3 điểm bất kì, bao giờ cũng tìm được 2 điểm có khoảng cách giữa chúng <1. Chứng minh rằng, tồn tại 1 hình tròn có bán kính = 1 chứa không ít hơn 13 điểm như trên. Bài 6: Từ dãy số từ 1 đến 2009 chọn 1005 số tùy ý . CM trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhất 2 số mà số này là bội số kia Bài 7: 8 đội tham gia giải vô dịch bóng đá trong đó hai đội bất kì phải gặp nhau đúng 1 lần biết đến cuối giải có trận nào hòa . Cm trong 8 đội trên luôn tìm được 4 đội ABC thỏa mãn A thắng B,C,D ; B thắng C,D ; C thắng D . Bài 8: Cho bảng vuông kích thước nxn trong mỗi ô vuông khích thước 1x1 ta ghi 1 trong các số 0,1,2 . CM k0 tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên 1 cột , 1 hàng hoặc 1 đường chéo là các số khác nhau . Bài 9: Cho 9 đường thẳng song song nằm ngang và 9 đường thẳng song song nằm dọc. Người ta đánh dấu các giao điểm của chúng hoặc bằng màu xanh hoặc bằng màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại hai đường nằm ngang và hai đường nằm dọc mà giao điểm của chúng được đánh dấu cùng màu. Trả lời Bài 1: Tất nhiên ta xét ≥ 1 vì nếu xét x = 0 thì quá tầm thường. Ta xét 16 số (25 − 1) với k = 1, 2, , 16. Ta phải cmr với một k nào đó số 25 − 1 chia hết cho 17. Ta cm bằng phản chứng. Giả sử với mọi 1 ≤ ≤ 16 số (25 − 1) không chia hết cho 17. => trong 16 số trên không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho 17. Thật thế nếu với 1≤ < ≤ 16 có (25 − 1)= 17 + và (25 − 1)= 17 + ⇒ 17 ( − ) = (25 − 1)− (25 − 1)=25 (25 – − 1) ⇒ (25 − 1) chia hết cho 17 với n = j - i và 1< ≤ 16 − 1 = 15 trái với giả thiết là với ∀ ∈ [ 1,16 ] số (25 − 1) không chia hết cho 17 Vậy trong 16 số đang xét không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho 17 và từ giả thiết không có số nào cho số dư 0 khi chia cho 17. Theo nguyên lý Dirichlet (16 số dư khác nhau được xếp vào 16 ngăn kéo dư khác nhau từ 1 đển 16) thì với n nào đó mà 1 <= n <= 16 có (25 − 1) chia cho 17 dư 16, tức 25 − 1 =17 + 16 ⇒ 25 = 17 + 17 ⇒ 25 ⋮ 17, vô lý vì25 chỉ có ước nguyên tố duy nhất là 5. Vậy giả thiết sai (dpcm) Bài này mà cho phép giải cách tùy ý thì vd. thế này: 25 ≡ 13(17),25 ≡ 13 ≡ 169 ≡ −1(17),25 ≡ 1(17) = > 25 − 1⋮ 17 Bài 2: Ta xét 5 số , ( + ) , ( + + ) , ( + + + ) , ( + + + + ) . Nếu 1 trong 5 số đó chia hết cho 5 ta có đpcm. Nếu không có số nào chia hết cho 5 thì theo nguyên lý Dirichlet ít nhất 2 trong 5 số đó có cùng số dư (có 4 số dư <> 0 là 1, 2, 3, 4), tức hiệu 2 số đó chia hết cho 5. Mà hiệu 2 số bất kỳ trong 5 số trên cũng là tổng của một số số của dãy đã cho (dpcm) Bài 3: Ta có tổng cộng tất cả 12 hàng, cột và đường chéo (5 hàng, 5 cột, 2 đường chéo). Các tổng là những số thỏa mãn -5 <= tổng <= 5 (min khi tất cả các ô = -1, max khi tất cả các ô = 1) Có 12 tổng và 11 giá trị khác nhau để lấy (-5, , 0, , 5) vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 2 tổng có cùng giá trị (dpcm) Bài 4:Ta xét 6 điểm trong đường tròn. Ta cmr khoảng cách giữa 2 điểm nào đó <= 1. Ta xét điểm P1 trên bán kính OA. Lấy về 1 phía của A điểm B và C sao cho góc AOB = góc AOC = 60 độ. Nếu trong hình quạt AOB hoặc AOC có 2 điểm đang xét thì dễ thấy chúng cách nhau một khoảng <= 1 (dpcm). Giả sử trong 2 hình quạt trên không có điểm nào ngoài P1. Ta chia hình quạt lớn BOC thành 4 hình quạt bằng nhau => góc ở tâm của mỗi hình quạt = 60 độ. Ta có 5 điểm còn lại trong 4 hình quạt vậy trong ít nhất 1 hình quạt có 2 điểm đang xét. Khoảng cách giữa 2 điểm đó không lớn hơn bán kính = 1. Với 5 điểm dễ thấy là nếu xếp chúng vào 5 đỉnh của hình ngũ giác đều nội tiếp thì khoảng cách gữa 2 điềm bất kỳ >= cạnh của ngũ giác > bán kính = 1 (Ta xét cạnh P 1 P 2 . Trong tg OP 1 P 2 cạnh P 1 P 2 đối điện với góc 72 0 nên lớn hơn OP 1 và OP 2 là những cạnh đối diện với góc 54 0 ) Bài 5: Lấy điểm P 1 là tâm kẻ đường tròn C 1 với bán kính bằng 1. Nếu C 1 chứa 25 điểm đã cho thì ta có dpcm. Giả sử P 2 không thuộc C 1 tức P 1 P 2 > 1. Lấy điểm P 2 là tâm kẻ đường tròn C 2 với bán kính bằng 1. Ngoài C 1 và C 2 không còn điểm nào đã cho Thật thế nếu P 3 nằm ngoài C 1 và C 2 thì ta có P 1 P 2 > 1, P 1 P 3 > 1, P 2 P 3 > 1, vô lý vì trong tg P 1 P 2 P 3 phải có 1 cạnh nhỏ hơn 1; 25 điểm nằm trong 2 đường tròn nên theo nguyên lý Dirichlet trong 1 đường tròn có ít nhất 13 điểm đã cho Bài 6: "CM trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhát 2 số mà số này là bội số kia" hay "CM trong 1005 số tùy ý chọn được có ít nhất 2 số mà số này là bội số kia"? Nếu ta chọn 1005 số: A = (1005, 1006, , 2009) thì trong A không có số nào là bội của số kia vì bội của mỗi số trong ≥ 2010 (tức 2*1005) nên các bội đó không nằm trong dãy, và do đó không thể có trong A. Bài 7; Ta xét "biết đến cuối giải KHÔNG có trận nào hòa". Có tất cả 28 trận đấu (bằng 2C8, hoặc ai chưa học tổ hợp thì bằng 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1: đội đầu đá với 7 đội còn lại, 1 trong 7 đội đó đấu với 6 đội còn lại ) Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội A, có số trân thắng ít nhất là 4. Gọi 4 đội thua A là B, C, D, E. 4 đội này có với nhau 6 trận đá, vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 1 đội, ta gọi đó là đội B, có số trân thắng ít nhất là 2. Gọi 2 đội thua B là C và D. Do không có trận hoà nên ta gọi đội thắng trong trân C-D là C. A, B, C, D là các đội cần tìm. Bài 8: "CM k0 tìm được bảng vuông nào mà tổng các số trên 1 cột , 1 hàng hoặc 1 đường chéo là các số khác nhau" có nghĩa là các tổng này không thể khác nhau từng đôi một? Ta có tổng cộng tất cả (2n + 2) hàng, cột và đường chéo (n hàng, n cột, 2 đường chéo). Các tổng là những số thỏa mãn 0 <= tổng <= 2n (min khi tất cả các ô = 0, max khi tất cả các ô = 2) Có (2n + 2) tổng và (2n + 1) giá trị khác nhau để lấy (0, 1, , 2n) vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 2 tổng có cùng giá trị (dpcm) Bài 9: viết lại bài toán như sau: 1 bảng kích thước 9 * 9 được chia thành các ô vuông đơn vị. Với mỗi ô vuông, ta tô màu chúng bởi 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ. cmr: tồn tại 1 hình chữ nhật có các cạnh song song với cạnh bảng, đỉnh của chúng là tâm của 4 ô vuông cùng màu 1/ Giả sử không tồn tại hình chữ nhật nói trên. Theo nguyên lí Dirichlet, có 41 ô được tô cùng màu. Không mất tính tổng quát, giả sử 41 ô đó là xanh 2/ Gọi x i là số ô vuông được tô xanh trên hàng thứ i. (Do vậy, ở hàng thứ i, số cách chọn 2 ô xanh là ( ) Đặt = + + ⋯ + Chiếu tất cả các cặp ô vuông lên 1 hàng ngang nào đó. Do không có 1 hình chữ nhật nào có cả 4 ô vuông xanh, nên các hình chiếu là đôi một khác nhau. Nhưng do chỉ có tối đa . = 36hình chiếu, nên ∑ ( ) ≤ 36 ⇔ ∑ ≤ 72 + Theo BĐT Cauchy-Schwarz, ≤ 9 ∑ Như thế, ≤ 9( +72) , và đến đây dễ dàng giải ra S <41. Rõ ràng đây là điều vô lí, vì S là tổng số ô xanh có trong bảng, mà theo 1/ thì S >41 Vậy điều giả sử là sai và ta có đpcm./. . trong 1005 số tùy ý chọn được ít nhát 2 số mà số này là bội số kia" hay "CM trong 1005 số tùy ý chọn được có ít nhất 2 số mà số này là bội số kia"? Nếu ta chọn 1005 số: A = (1005,. ít nhất 2 trong 5 số đó có cùng số dư (có 4 số dư <> 0 là 1, 2, 3, 4), tức hiệu 2 số đó chia hết cho 5. Mà hiệu 2 số bất kỳ trong 5 số trên cũng là tổng của một số số của dãy đã cho (dpcm). là với ∀ ∈ [ 1,16 ] số (25 − 1) không chia hết cho 17 Vậy trong 16 số đang xét không có 2 số nào cho cùng số dư khi chia cho 17 và từ giả thiết không có số nào cho số dư 0 khi chia cho 17.