Chuyên đề toán đại số cấp Trung học cơ sở có hướng dẫn giải rất hay. Dùng cho học sinh tự học môn toán học đại số tại nhà. Ôn thi tốt nghiệp vào lớp 10. Bao gồm toán đại số các lớp 6, 7, 8, 9. Chuyên đề định dạng pdf, dễ dàng sử dụng.
CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” MỤC LỤC Chuyên đề 1: Biến đổi đồng .Trang 2 Chuyên đề 2: Các toán đa thức .Trang 22 Chuyên đề 3: Các toán thức Trang 27 Chuyên đề 4: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình đại số Trang 54 Chun đề 5: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình vơ tỷ Trang 91 Chuyên đề 6: Phƣơng trình chứa tham số hệ thức vi-et .Trang 135 Chuyên đề 7: Hàm số đồ thị bậc – bậc .Trang 169 Chuyên đề 8: Giải toán lập phƣơng trình Trang 195 Chuyên đề 9: Chứng minh Bất Đẳng thức, Tìm GTNH GTLN Trang 121 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài Cho a + b + c = 2009 Chøng minh r»ng: a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b2 + c2 - ab - ac - bc Lời giải Ta có đẳng thức: a + b3 + c3 - 3abc= a b c a b2 c2 ab bc ca a b c a b2 c ab bc ca a + b3 + c3 - 3abc = = a + b + c =2009 Do đó: 2 a + b + c - ab - ac - bc a b2 c ab bc ca Bài Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn: x y z Chứng a b c minh rằng: a b c x y z x2 y z 1 a b2 c Lời giải a x b y c z Ta có: ayz bxz cxy Suy ra: ayz byz cxy xyz ayz bxz cxy x y z x2 y z xy yz xz x2 y z Do đó: a b c b c xyz a b c ab bc ca a = x2 y z a b c xyz Vậy x2 y z (đpcm) a b2 c Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x y z xyz Chứng minh rằng: xyz x y 3z x 2y 3z x y z x y y z z x Lời giải Ta có: x xyz xyz xyz xyz 1 x yz x.xyz yz x x y z x xy yz zx x y z x Tương tự ta có: 2y xyz 3z 3xyz ; 2 1 y x y y z z y z z x Do đó: CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” x 2y 3z xyz xyz 3xyz 2 1 x 1 y 1 z x y z x x y y z y z z x xyz y z x z 3x y x y y z z x Vậy: xyz x y 3z x y y z z x xyz x y z x 2y 3z 2 1 x 1 y 1 z x y y z z x Bài Giả sử x, y số thực dương phân biệt thỏa mãn: y y2 y4 y8 4 x y x y x y x8 y Chứng minh rằng: y x Lời giải Ta có y x y y8 y y2 y4 y8 y y2 4 x y x y x y x8 y x y x y x y x4 y y x2 y y y y2 y4 y x y x2 y x4 y x y x y x2 y y x y y2 y y2 y x y x y x y x y x y Do đó: y y 4x y y 4x x y Vậy y x đpcm Bài Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z = xyz ≠ x2 y2 z2 Tính giá trị biểu thức: P 2 2 2 y z x z x y x y z Lời giải Ta có: x y z y z x y z x Suy ra: y z – x2 2 yz Do đó: Tương tự ta có: x2 x2 y z x 2 yz y2 y2 z2 z2 ; z x y 2 xz x y z 2 xy CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Do đó: x2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 y z P y z x z x y x y z 2 yz 2 xz 2 xy 2 xyz x y z x y y z z x 2 xyz z x y 2 xyz 3xyz 2 xyz Vậy P Lƣu ý cần nhớ: Khi a + b + c =0 a3 + b3 + c3 = 3abc ngược lại a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = x y z Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: =1 x + y + z = Chứng minh rằng: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = Lời giải x y z Ta có: xy yz zx Suy ra: xy yz zx xyz xyz Do đó: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 (*) Thay xy + yz + zx = xyz x + y + z =1 vào (*) ta được: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 = (xy + yz + zx) – (xy + yz + zx) + -1 = (đpcm) Bài Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: P 1 0 x y z yz zx xy x yz y zx z xy Lời giải x y z Ta có: xy yz zx xy yz zx xyz Do đó: x2 + 2xy = x2 + 2xy – (xy + yz + xz) = (x2 – xz) + (xy – yz) Suy ra: x2 + 2xy = (x-y)(x-z) Do đó: yz yz y zx x y x z Tương tự ta có: zx zx xy xy ; y zx y x y z z xy z x z y Do đó: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” P yz zx xy yz zx xy x yz y zx z xy x y x z y x y z z x z y yz y z zx z x xy x y x y y z z x x y y z z x x y y z z x Vậy P = Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz =1 Chứng minh: P 1 1 x xy y yz z zx Lời giải Ta có: x x xy xy ; y yz x xy xyz x xy z zx xy xyz x yz x xy Do đó: P 1 1 x xy x xy 1(đpcm) x xy y yz z zx x xy x xy x xy x xy Bài Cho a b c Chứng minh: P bc ca a b a b c b c a c a b 0 Lời giải Ta có: ⇔ a b c a b c b ab ac c 0 b c c a a b bc a c ba a b c a a b c b2 ab ac c a b c a b c Tương tự ta có: b c a (1) c bc ba a c b ac cb b (2); (3) a b b c c a a b a b b c c a Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta điều phải chứng minh Bài 10 Cho a nghiệm phương trình: x2 3x Khơng cần tính a tính a2 giá trị biểu thức: Q a a 1 Lời giải Do a nghiệm phương trình: x2 3x nên a2 3a a2 3a a2 a2 a2 a2 Suy ra: Q a a a a 3a 2 a 8a CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Bài 11 Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn: a3 b3 c3 3abc ab2 bc ca abc Tính: P 2 2 a b c b c a c a b2 Lời giải Do a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca Do a2 b2 c2 ab bc ca với a, b, đôi khác nên: a + b + c = Suy ra: a + b + c = Khi đó: ab2 ab2 ab2 b2 b2 b 2 2 a b c a b c b c a b c a a c b b b 2 Tương tự: bc c ca a ; 2 2 2 b c a 2 c a b 2 Cộng theo vế đẳng thức ta được: ab2 bc ca b c a P 2 2 a b c 2 a b c b c a c a b 2 2 2 Vậy P = Bài 12 Cho a, b,c số thực thỏa mãn: a b c 6; ab bc ca Tính giá trị biểu thức: P c a b ab bc ca Lời giải Ta có: 1 abc a bc a bc 6.8 a b c a b bc ca ab bc ca c a b c a b 1 1 1 3 ab bc ac ab bc a c Vậy: P c a b 6.8 39 ab Bài 13 Cho bc ca a b4 a2 b2 Chứng minh rằng: x y x y a) bx ay b) Lời giải x 2000 y 2000 1000 1000 1000 a b a b CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” a b2 a b4 a b4 2 a) Từ a b suy ra: x y x y x y x y x y a y b4 x x y a b2 ay bx bx ay b) Từ câu a) bx ay 1000 x2 x2 y x2 y a b ab a b a 2000 2000 Do đó: x1000 y1000 a b 1000 a b 1000 y2 ; b 1000 a b a b 1000 ax by c Bài 14 Cho x, y hai số thực thỏa mãn: bx cy a cx ay b Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc Lời giải ax by c Ta có: bx cy a Cơng theo vế phương trình hệ ta được: cx ay b a b c x a b c y a b c a b c x y 1 a b c x y 1 Với a b c thì: a b c a2 b2 c2 ab bc ca a3 b3 c3 3abc (1) Với x + y = thay vào giả thiết ta được: a = b = c a3 b3 c3 3abc (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 15 Chứng minh nếu: x a b ; y b c ; z c a ab bc ca Thì: 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Lời giải Ta có: a b 2a bc 2b ca 2c ;1 y ; 1 z 1 ab a b bc bc ca ca 8abc 1 x 1 y 1 z (1) a b b c c a 1 x 1 Mặt khác: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” a b 2b bc 2c ca 2a ; 1 y 1 ; 1 z 1 ab ab bc bc ca ca 8abc 1 x 1 y 1 z (2) a b b c c a 1 x 1 Từ (1) (2) suy ra: 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Bài 16 Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn: ay bx cx az bz cy c b a Chứng minh rằng: ax by cz 2 x y z a b2 c Lời giải Đặt ay bx cx az bz cy k k cay 2 cby bcx 2 baz abz 2 acy c k b a c b a cay cbx bcx abz abz acy ay bx cx az bz cy a b2 c2 ay bx cx az bz cy 2 a b c x y z ax by cz Suy ra: ax by cz 2 x y z a b2 c Bài 17 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b c; a b c c2 ac bc ab Chứng minh rằng: a2 a c b b c 2 ac bc Lời giải Ta có: a a c a c c a c a c ac bc ab a c a c a c b 2 Tương tự: b2 b c = b c b c a Do đó: a2 a c b b c 2 a c a c b b c b c a ac (đpcm) bc Bài 18 Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a b4 c a b2 c 2 Lời giải Từ: a + b + c = b c a b c a b2 2bc c a 2 a b c 2bc a b c a b4 c a b2 c 4b 2c a b c 2a 2b2 2b2 c 2c a 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Vậy: a b4 c a b2 c 2 Bài 19 Cho m a b ; n c d ; p ac bd Chứng minh rằng: m n p m.n p a b cd ad bc Lời giải Ta có: mn p a b c d ac bd a b c d c d a b ac bd a b c d ad bc ad bc a b c d ac bd ac bd ac bd ad bc a b c d ad bc a b c d ad bc a b c d ac bd a b a c m.n p a b c d ad bc Vậy đẳng thức chứng minh Bài 20 Cho số dương x, y thỏa mãn: x2 13xy y Tính giá trị biểu thức: A (1) 2x y 7x y Lời giải Từ (1) ta có: (7 x y)( x y) x y (do x, y > 0) Thay x = 2y vào A ta được: A x y y y 2 y 1 x y 14 y y 18 y 2010 2010 1 y Bài 21 Cho số thực x, y thỏa mãn: x x y 2335 x y Tính giá trị biểu thức: B Lời giải Đặt a 2010 2010 , b với a, b > x y a 1 b a 1 b 1 2010 2.2010 a a 1 2345 Từ (2) suy ra: b a b a 7a 11a a (do a 0) suy : b Vậy: B x b y a (2) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” 5x y z Bài 22 Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: t t t x y z 10 Tính giá trị biểu thức: C (1) (2) t2 t2 t2 xy yz zx Lời giải Từ (1) ta có: y x, z x Thay y x, z x vào (2) ta được: t t t t x Vì thế: C x x 2x 10 t t t x2 x2 x2 x x x x 3 1 xy yz zx xy yz zx y y y z 5 2 ( x y )( x y ) z Bài 23 Cho số thực x, y, z thỏa mãn: y2 7z2 (4) Tính giá trị biểu thức D x2 10 y 23z Lời giải z x2 y Ta có: (4) 2 y z (4) Ta tìm số thực a, b thỏa mãn: a( z x2 y ) b(4 y z ) x2 10 y 23z ax (4b a) y (7b a) z x 10 y 23z a2 a 4b a 10 7b a 23 b Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15 Bài 24 Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: t 1 t x y 2z (5) Tính giá trị biểu thức: E x y 9z t z 3x Lời giải 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Bài 67 Cho a, b, c độ dài cạnh p chu vu tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 p a p b p c a b c Lời giải Nhận xét: Với x , y số dương 1 Từ nhận xét ta có: x y x y 1 4 ; p a p b ( p a ) ( p b) c Tương tự ta có: 1 ; p b p c a 1 pc pa b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 1 p a p b p c a b c Bài 68 Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức: Xét biểu thức: x y z P x y2 z3 1) Chứng minh rằng: P x y 3z 2) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải Theo bất đẳng thức Cơ – si, ta có: P x ( y 1) ( x3 1) x y 3z Suy P x y 3z (đpcm) Áp dụng kết kết hợp bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 1 3 3 6( P 3) ( x y 3z ) x y 3z 36 y z x x y z Hay P Vậy MinP = đạt x = y = z = Bài 69 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điểu kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q x3 y3 z3 yz zx x y Lời giải Sử dụng BĐT Cô – si cho ba số dương ta có: x3 yz x3 y z 33 3x yz yz 248 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Tương tự ta có: y3 zx y; zx z3 x y 3z x y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: Q x y z 3( x y z ) Q 2( x y z ) Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy Qmin= x = y = z = Bài 70 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y x2 x x x 2) Cho ba số thực x, y, z đề lớn thỏa mãn điều kiện: 1 Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2) x y z Đẳng thức xảy nào? Lời giải 1) Tập xác định hàm số y R Nhận thấy y > với giá trị x nên để tìm giá trị nhỏ y ta tìm giá trị nhỏ y2 Mà: y x2 ( x2 x 1)( x2 x 1) = x2 x4 x2 Dấu “=” xảy x = Vậy ymin= x = 2) Đặt a = x – 2, b = y – 2, c = z – Ta phải chứng minh: abc ≤ Thật vật từ: 1 1 1 1 1 x y z a2 b2 c2 Theo bất đẳng thức Cô – si: 1 1 1 b c bc 1 a2 b2 c2 2b2 c2 (b 2)(c 2) (1) Tương tự ta có: ca b2 (c 2)(a 2) (2); ab c2 (a 2)(b 2) (3) Nhân (1), (2) (3) theo vế ta điều cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c hay x = y = z = Bài 71 Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x y z) xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T ( x y)( x z) Lời giải 249 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Ta có; T ( x y)( x z ) x( x y z ) yz x( x y z ) yz x( x y z ) T 2 yz x, y, z x( x 2) x x0 Chọn y = z = Thì điều kiện trở thành: Vậy giá trị nhỏ T chẳng hạn ( x; y; z) ( 1;1;1) Bài 72 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: ab bc ca (a b c)2 P 2 a b c abc Lời giải Nhận thấy với x, y, z số thực dương ta có: i ) ( x y ) x y xy x y (1) y x x y x z y z 1 1 1 ii ) ( x y z ) (2) Dấu x y z x yz a b c y x z x z y iii ) ( x y ) ( y z ) ( z x) x y z xy yz zx (3) “=” xảy (1), (2) (3) x = y = z Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) vào toán ta có: P ab bc ca 1 ab bc ca (a b c) 2 (a b c ) 18 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c 8(a b c ) 2 18 18 28 ab bc ca ab bc ca a b c a b c ab bc ca P 28 a b c ab bc ca Vậy giá trị nhỏ P 28 a = b = c Bài 73 Cho x, y, z số thực thỏa mãn: x4 y4 z4 (1) 16 x 16 y 16 z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P xyz Lời giải Ta có: 250 CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” x4 y4 z4 1 1 (1) 1 1 1 (2) 4 4 4 16 x 16 y 16 z 16 x 16 y 16 z Từ (2) suy ra: 1 1 1 y4 z4 16 x 16 16 y 16 16 z 16 16 y 16 z y4 z4 y2 z2 (BĐT Cauchy) 16 16 y 16 z (16 y )(16 z ) Tương tự ta có: 1 x2 z 16 y (16 x )(16 z ) 1 x2 y 16 z (16 x )(16 y ) (4); (5) Nhân theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) rút gọn lại ta được: x4 y z 83 xyz 4 4 xyz 4 Giá trị lớn P 4 đạt x, y, z có hai số số lại Giá trị nhỏ P 4 đạt x, y, z có hai số số lại , số Bài 74 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a b3 c Lời giải Đặt: T a3 b3 c3 3abc Do a b c nên: T (a b)3 c3 3abc 3ab(a b) (a b c)3 3c(a b)(a b c) 3abc 3ab(a b) 3c(a b) 3abc 3ab(1 c) Vậy T 3(ab bc ca) 6abc (1) Lại có: a a (b c)2 (a b c)(a b c); b2 b (a c)2 (a b c)(a b c); c c (a b)2 (a b c)(a b c) Hơn a, b, c độ dài cạnh tam giác nên: a b c 0, a b c 0, a b c 0; abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2c)(1 2b)(1 2a) 4(ab bc ca) 2(a b c) 8abc 1 4(ab bc ca) 7abc 0; Do đó: 6abc (ab bc ca) 3 (2) va ab bc ca 2abc Từ (1) (2) áp dụng BĐT (a b c)2 3(ab bc ca) ta có: 251 (3) CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” 1 1 1 T (ab bc ca) (a b c)2 ; 3 9 T a b c 1 abc abc Từ (1) (3) dẫn đến: T 3(ab bc ca) 2abc Bài 75 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca Chứng minh rằng: 1 1 1 ab bc ca a b c Đẳng thức xảy nào? Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: ab bc ca ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 1 1 1 ab bc ca a2 b2 c2 c(a b) a(b c) b(c a) (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) 2 ab bc ca a b c2 Do (ab bc ca 1) Đặt (1) c ( a b) a(b c) b(c a ) x, y va z, Khi (1) trở thành bất đẳng thức quen ab bc ca thuộc: x y z xy yz zx (luôn với số dương x, y, z) Đẳng thức xảy x y z a b c (1 a 2b)(1 b2 ) Bài 76 Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: (a a 1)(1 b3 ) Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với: (a 1)(1 b2 )(1 a 2b) a b2 b2 a a 2b b3a ba3 2a3 2b3 a3b3 (a 1)(a a 1)(1 b3 ) Từ áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương: 2b3 3b2 ; 3(a3 b3 ) 3(a 2b ab2 ); a3b3 a3 a3 3a3b; a3b3 a3b3 b3 3a 2b3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức (*) Bài 77 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải Ta có: x4 x2 ; y y 252 x y x y4 (1) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Do đó: x4 y x2 y ( x y)2 ( x y)2 ( x y)2 ( x y)2 x y Suy ra: x y x y Với x = 1, y = -1 thì: 4 x y 6 x y 6 4 Với x = -1, y = Vậy biểu thức (1) có giá trị lớn x y x y 6 4 1 giá trị nhỏ 4 y Bài 78 Cho x, y số dương thỏa mãn x Tìm GTNN biểu thức: A x y y x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có: 1 x x y , suy y y x (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có: A x y x y 15 y x y 15.4 17 2 y x y 16 x 16 x y 16 x 16 Vậy giá trị nhỏ A 17 đạt x y = 2 Bài 79 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a b4 b4 c c4 a4 ab(a3 b3 ) bc(b3 c3 ) ca(c3 a3 ) Lời giải a b c Từ giả thiết ab + bc + ca = abc Từ a4 b4 a3b ab3 suy ra: 2(a4 b4 ) a4 a3b b4 ab3 (a b)(a3 b3 ) Vậy a b4 ab 1 1 3 ab(a b ) 2ab a b Làm tương tự sau cơng theo vế kết hợp với giả thiết ta suy điều phải chứng minh Bài 80 Cho x, y thỏa mãn 16 x2 y 144 Chứng minh rằng: x y Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: (ax by)2 (a2 b2 )( x2 y ) 253 (1) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Thật vây: (1) 2axby a2 x2 b2 y (ax by)2 (đúng) Đẳng thức xảy ax = by Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1 (2 x y ) x y (16 x y ) 20 (do 16 x2 y 144 ) Suy ra: 2 36 2 x y x y 2 Từ suy ra: x y 8x y x Đẳng thức xảy khi: x y 2 16 x y 144 y Bài 81 Cho số thực a thỏa mãn a Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: T a 1 a a 1 a Lời giải Ta có: T a 1 a 2 3 1 1 2 1 1 1(do a 1) 2a 1 a a 1 a 2 (2 a)(1 a) Vậy max T 1, đạt a a Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a(1 a) (a a) 4 Vậy T đạt a a a Suy ra: T Bài 82 Cho a, b số dương thỏa mãn a b Chứng minh rằng: 14 ab a b Lời giải Với hai số thực dương x, y ta có: ( x y)2 xy x, y , suy ra: 1 Từ ta có: x y x y 1 2 ab (a b)2 3 2 12 2ab a b 2ab a b2 (1); Cộng (1) (2) theo vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a b 254 (2) xy ( x y )2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Bài 83 Các số thực x, y, z khác thỏa mãn ( z x)( z y) Chứng minh bất đẳng thức: 1 2 ( x y ) ( z x) ( z y ) Lời giải Đặt a z x, b z y từ giả thiết suy ra: a , b ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 a2 a2 (a 1) 2 4 a 4 a b ( a b) (a 1)2 a (a 1)2 a2 (*) Áp dụng BĐT Cô-si Cho hai số dương ta thấy (*) Vậy BĐT chứng minh Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 2 a (b c) b (a c) c (b a) abc Lời giải Chứng minh: abc Từ suy ra: a2 (b c) a(bc ca ab) 3a Do đó: 1 1 1 ; Tương tự ta có: 2 a (b c) 3a b (a c) 3b c (b a) 3c Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: 1 1 1 ab bc ca 2 a (b c) b (a c) c (b a) a b c 3abc 3abc abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 85 1) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: (a b c) a b c 1 2) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 2009 670 2 a b c ab bc ca Lời giải 1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: (a b c) 3 abc 3 9 a b c abc 1 1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 2) Do ab bc ca (a b c) 2007 nên 669 ab bc ca 255 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Mặt khác áp dụng bất đẳng thức phần ta có: 1 2 2 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca 9 2 a b c 2(ab bc ca) (a b c) Vậy 2009 670 2 a b c ab bc ca Đẳng thức xảy a = b = c Bài 86 Cho số thực x, y thỏa mãn: x y Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y( x y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P ( x y) y y( x y) x 8y 8y x 16 y x4 Đẳng thức xảy 1 y 8 y y ( x y ) y 64 Vậy minP = x = y = Bài 87 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 2(ab bc ca) abc Lời giải Theo giả thiết: P 2(a b c) 1 2 (a b c) 2(ab bc ca) abc a b c ab bc ca Áp dụng BĐT quen thuộc với số dương: Đẳng thức xảy a c (a c) (*) b d bd a c , suy ra: b d 1 ab bc ca ab bc ca ab bc ca 256 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Lại sử dụng BĐT (*) cho số dương ta có: 36 92 P 2 81 a b c 2(ab bc ca) (a b c)2 Đẳng thức xảy a b c Vậy Pmin 81 a b c 3 Bài 88 Cho ba số thực a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: a2 b2 c2 (b c)2 (c a)2 (a b) Lời giải Dễ thấy: bc ca ab (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a2 b2 c2 b c a Từ suy ra: 2 2 (b c) (c a) (a b) b c c a a b Đẳng thức xảy khi: a b c =0 bc c a a b Bài 89 Tìm giá trị lớn biểu thức: P x x x2 Lời giải (1 x x ) x2 2 Điều kiện: x x2 Ta có: P x Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị lớn P đạt x = Bài 90 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy x y x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y Lời giải Từ giả thiết suy ra: x > y > 0, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x y xy x y 2 1 xy x y xy xy x y xy x y 16 4 Do x y Vậy A x 2; y Bài 91 Cho số thực dương thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x2 y x3 xy y xy 257 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Lời giải Ta có: A x2 y 2 xy xy 3 2 x xy y xy xy x y xy x y x xy y xy 1 5 xy 11 xy 2 xy xy xy x xy y xy x y 2 x y Vậy A 11 x y Bài 92 Cho x,y,z thỏa mãn x + y + z = 0; x + > 0; y + > z + > xy z Tìm GTLN A ( x 1)( y 1) z Lời giải x 1 a y 1 b a b c Đặt z c A a 1 b 1 c ab a b c ab c ab c a b c 4 16 16 2 2 2 2 a b c 3 ab c MaxA Đẳng thức xảy abc a b x y 2 a b, a b c c3 z 1 Bài 93 Cho dương a, b, c thỏa mãn 2a + 3b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Q= 2002 2017 2996a 5501b a b Lời giải Q= ( 2002 2017 2996a 5501b a b 2002 2017 8008a) ( 2017b) 2506(2a 3b) a b Áp dụng BĐT Cô- si sử dụng giả thiết 2a + 3b ≤ ta có : 258 CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Q ≥ 2002 2017 8008a .2017b 2506.4 ≥ 8008 + 4034 – 10024 = 2018 a b 2002 a 8008a 2017 a Dấu « = » xảy : 2017b b b 2a 3b Vậy Qmin 2018 a ; b Bài 94 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 35 xy x y xy Lời giải Ta có: P 35 xy x y xy 2 x y 35 35 xy x y 35 xy = 2 xy x y 32 xy 16 32 16 = x y 35 35 xy ( x y)2 xy x2 y 32 xy 16 32 x2 y 2 35 35 xy Sử dụng Cô – si cho cặp ( ; 2 ) ( ; ) ta có: 32 x y 16 xy 352 2 x2 y 35 35xy 35 ≥2 = ; ≥ = 2 16 32 16 xy x y 32 Mặt khác: x + y ≤ ⇒ x.y ≤ nên xy ( x y ) ≤ , ≤ 32 2 35 1 + - - = 17 Dấu “=” xảy x = y = 2 2 Vậy minP = Bài 95 Cho a, b số số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: M (a b)( 1 ) a b ab ab Lời giải Ta có : 259 CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” 1 (a3 b)( b) (a b)2 ;(b3 a)( a) (a b) a b Khi : 1 a b a b3 1 1 ab a b a b ⇔ VT ≤ (a b) ab ab ab ab ab Đẳng thức xảy a = b = Vậy giá trị lớn M a = b = Bài 96 Xét số thực a, b, c không âm, khác thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức P 1 (a b)(4 5c) a bc b ac Lời giải Áp dụng BĐT : 1 (x, y 0) x y x y Tacó : P 1 (a b)(5c 4) (a b)(5c 4) a bc b ac (a b)(c 1) 5c c (1 c)(5c 4) 4 4 8 (1 c)(1 c) c 1 c 1 Vậy minP = Dấu « = » xảy c 0, a b Bài 97 Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P xy 1 ( ) 2( x y ) x y x y Lời giải Ta có : x2 + y2 ≥ 2xy nên : 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 Do : xy 1 xy 1 xy x2 y 2 P ( ) 2( x y ) ( )( x y ) 2 x y2 x y x y2 x y x y2 xy xy x2 y 3xy 3( x y ) 2 2 x y2 xy x y2 2( x y ) 6 2 260 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” x y xy Dấu « = » xảy xy x y x y x2 y xy Vậy minP = x = y a+b Bài 98 Chứng minh rằng: a 3a + b b 3b + a với a, b số dương Lời giải a+b Ta có: a 3a + b b 3b + a 2(a + b) 4a 3a + b 4b 3b + a (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b 2 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b 3b + a 3 2 4a 3a + b Từ (2) (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b Từ (1) (4) suy ra: a+b a 3a + b b 3b + a 2(a + b) Dấu xảy a = b 4a + 4b Bài 99 Cho x, y số thực dương thỏa mãn: x xy y Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y x xy y Lời giải x y y Ta có: x xy y x (do y 0) x y y Do đó: x 3 Mặt khác: P x2 x y y x y x xy y 2 x y x 1 y x x 2 y y x y Đặt t (0 t 1) tốn trở thành: 261 x y x y CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Cho t Tìm giá trị lớn P t 1 t2 t t t 1 0 t 1 Dễ thấy do: t nên: t t t 1 P t t 2 t 1 Vậy Pmax x y 1 1 t 1 x y x x y y Bài 100 xy Cho số thực x, y( x y 0) Chứng minh x y 2 x y 2 Lời giải : Đặt z xy ta có : xy yz zx 1 BĐT trở thành: x y x2 y z x2 y z 2( xy yz zx) ( x y z )2 ( đúng) Vậy BĐT chứng minh 262 ... kiện với số nguyên x P(x) số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b số chẵn Lời giải Do P c số phương nên c m2 với m số nguyên (hiên nhiên c số nguyên) 25 CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE...CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài Cho a + b + c = 2009 Chøng minh r»ng: a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b2 + c2 - ab - ac - bc Lời giải... 12012 Bài 28 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14 Tính giá trị biểu thức T = abc Lời giải 12 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” a b c 14 a