SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI AN GIANG Năm học 2009 – 2010 Môn: TỐN Lớp: Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC SBD: ……… PHÒNG: …… Bài 1: (4,0 điểm) Chứng minh số sau số nguyên: 12 1/ a = − + ( + 27 ) −1 3 −1 − 52 2/ b = + + 48 − 10 + Bài 2: (6,0 điểm) 1/ Cho phương trình ẩn x , tham số m : x − 2(m + 1) x + m2 + 2m − = Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 cho 2008 < x2 < x1 < 2013 ( 2( x + y ) = 3 x y + xy 2/ Giải hệ phương trình: x + y = Bài 3: (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số: ( ) ( y = x + + x3 + + x3 + − x3 + ) ) Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến A C đồng quy với đường thẳng BD M Chứng minh rằng: AB CD = BC AD Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC kéo dài phía C, lấy điểm M Một đường thẳng D qua M cắt cạnh CA, AB N P Chứng minh rằng: BM CM không đổi, M D thay đổi − BP CN -Hết - ThuVienDeThi.com !"#$%&"'$!()$"*"'$ g áo dụ Đào o $ (,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: h ® hän hä nh g n +,-$'.): 2009 - 2010 ôn h : oán h (hời gin ài: 150 phút, không kể thời gin gio đề) gày thi tháng năm 2010 2+ 3 + 2+ 4+2 2− 4−2 ✳ 2) ❈✁o hµm sè f(x) ❂ (x✂ ✰ ✻x - 5)2010✳ TÝnh f(a), víi a ❂ 3 + 17 + 3 17 (,5 điểm) 1) iải hệ phương tr×nh: x − 2x y + 2y = x y − 2y z + 2z = y z − 2z x + 2x = z iải phương trình: x x − x = 2/ ● ✳ ✳ (,0 điểm) ho đường tròn ( R) nội tiếp h×nh thang ❆B❈D (❆B//❈D), víi ❊❀ ❋❀ ●❀ ❍ theo thứ tự tiếp điểm (, R) với c¹nh ❆❇❀ B❈❀ ❈D❀ D❆✳ EB GD EB 4R 1) ❈✁✆ng minh Tõ ®ã, h·y tÝnh tû sè ,biÕt: ❆❇❂ BR = EA GC EA 2) Trên cạnh D lấy điểm M nằm hai điểm D cho chân đường vuông góc kẻ từ M đến D điểm nằm (, R) Đường thẳng cắt ( R) điểm T (khác ❍)✳ ❈✁✆ng minh MT ❂ M●✳ (✄,0 ®iĨm) 1/ ❈✁o tam gi¸c ❆B❈ cã B❈ ❂ a❀ ❈❆ ❂ b❀ B c R bán kính đường tròn ngoại tiếp thoả mÃn hệ thức R(b c) a bc Ãy xác định dạng tam giác B 2/ iả sử tam giác B góc tù, có hai đường cao B o biết B B Ãy tính góc tam giác B (,0 điểm) 1/ Tìm tất cặp số tự nhiên n k để ( n + 42k +1 ) số nguyên tố 2/ o số thực a b thay đổi tháa m·n a + b3 = ✳ T×m tất giá trị nguyên (a b) -/0%$1 (§Ị thi gồm 01 trang) ọ tên thí sinh: ký giám thị 1: Số báo danh: hữ ký giám thị 2: ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P THCS T NH BÌNH MƠN TỐN Th i gian: 150 phút Ngày 18 03 2009 NH Bài 1: (3 i m) Tìm t t c c p s nguyên (m, n) cho 2n3 mn2 3n2 + 14n 7m = Bài 2: (3 i m) Cho x, y, z s th c khác Ch ng minh r ng yz x2 zx y2 x y x xy z2 Bài 3: (3 i m) Gi i h ph ng trình: x y x 20 y Bài 4: (4 i m) Cho i m O thu c mi n c a tam giác ABC Các tia AO, BO, CO c t c nh tam giác ABC l n l t t i G, E, F OA OB OC Ch ng minh r ng AG BE CF Bài 5: (4 i m) ng tròn (O), ng kính AB Trên tia ti p n Ax v i ng tròn (O) l y Cho i m C cho AC = AB ng th ng BC c t ng tròn (O) t i D, M m t i m thay i o n AD G i N P l n l t chân ng vng góc h t M xu ng ng vng góc h t N xu ng ng th ng PD AB AC, H chân a) Xác nh v trí c a M tam giác AHB có di n tích l n nh t b) Ch ng minh r ng M thay i, HN i qua m t i m c nh Bài 6: (3 i m) Ch ng minh: 17 18 100 ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI -ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2009 – 2010 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) ĐỀ BÀI: Câu 1: (2,5 điểm) Chứng minh 21975 + 52010 chia hết cho Câu 2: (2,5 điểm) Chứng minh xy + (1 + x )(1 + y ) = , x + y + y + x = Câu 3: (3 điểm) Cho số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: 2 + + ≤ a b c a+b b+c c+a + + ab bc ca Câu 4: (3,5 điểm) Cho phương trình x − ( m − 1) x + m − = , m∈ ℝ a) Chứng minh với m∈ ℝ , phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm số nguyên m để nghiệm x1 x2 số nguyên Câu 5: (4 điểm) Trên mặt phẳng toạ Oxy cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx + , m∈ ℝ Chứng minh với m∈ ℝ : a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Diện tích tam giác AOB không nhỏ m + Câu 6: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vng A Đường trịn tâm I n i tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với CA CB M N Đường thẳng MN cắt đường thẳng AI P Chứng minh góc IPB vng HẾT ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP Nă m học 2009-2010 Mơn: Tốn Ngày thi : 31 - - 2010 Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (4 đ iểm) Tính giá trị biểu thức: A = ( x31 + x − x 2010 )2009 với x = 3(2 + 5) 17 − 38 + 14 − Bài I I (4 ểm) 1) Giải phương trình : x + x3 − x − x + = 2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: xy + x + y = a + x y + xy = a Bài I I I (4 đ iểm) 1) Giải bất phương trình: x4 + x3 + x + ≤0 x − x3 + x − x + 2) Tìm giá trị lớn của: B= 1 + 3 + 3 x + y +1 y + z +1 z + x + Với x, y, z số dương x, y, z = Bài I V (6 đ iểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) D điểm thuộc cung nhỏ AC (D khác A C) Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ D tới đường thẳng AB, AC Gọi P giao điểm đường thẳng MN, BC 1) Chứng minh DP BC vng góc với 2) Đường trịn (I; r) nội tiếp tam giác ABC Tính IO với R = 5cm, r = 1,6cm Bài V (2 điểm) Tìm số x, y nguyên dương để C số nguyên dương với C= x3 + x xy − Hết ( Giám thị khơng gi ải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com SỞ GD & ĐT HỊA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2009-2010 Đề thi mơn: tốn Ngày thi: 25 tháng năm 2010 Thời gian làm bài: 150 phút ( không k thời gian giao đề) ( Đề thi gồm có 01 trang) Đề thức Bài 1: ( điểm) 2+ 2− − −4 7+4 Rút gọn biểu thức: ( )( ) : Biết: x + x + y + y + = ; Tính giá trị biểu thức A= x + y Phân tích thành nhân tử biểu thức sau: ( n+ 1)( n+3)(n + 5)( n+ 7) + 15 ( yêu cầu phân tích thành nhân tử bậc nhất) Bài 2: ( điểm) Giải phương trình: x3 + 3x2 + x – = x3 + x = y + y Giải hệ phương trình: x + xy − 20 = Cho hàm số y = mx + 1- x+ m ( m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt tr c tọa độ thành tam giác có diện tích Bài 3: ( điểm) Cho hình thang cân ABCD biết đáy AB = 10, CD =22 DB phân giác góc ADC Tính diện tích hình thang Cho đường tròn (O; R) ( I ; r) cắt điểm A, B Biết R = 3; r = OI =5 Một cát tuyến qua B cắt đường tròn C D Chứng minh rằng: Tam giác ACD tam giác vng với vị trí cát tuyến CD Bài 4: ( điểm) Cho số a, b thảo mãn a ≥ 1; b ≥ 4, Tìm giá trị nhỏ tổng: a b A = a+ +b+ Bài 5:( điểm) Tìm số phương có chữ số thỏa mãn chữ số hàng ngìn hàng trăm nhau; Chữ số hàng chục hàng đơn vị …………………Hết…………………… ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP NĂM HỌC 2009 – 2010 Đề thức Mơn thi: TỐN LỚP - BẢNG A Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x) = (x + 12x − 31)2010 Tính f (a) a = 16 − + 16 + b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x + xy + y2 ) = 7(x + 2y) Câu (4,5 điểm): 2 a) Giải phương trình: x = x − x + x − x 1 1 x + y + z = b) Giải hệ phương trình: − =4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = 1 1 + 3 + Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 3 x + y + y + z + z + x3 + Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE = BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE ln qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH ⊥ PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - GV :TRương Quang Huệ - Quỳnh Bá – Q L - Ngh An ThuVienDeThi.com Sở giáo dục đào tạo Tỉnh ninh bình âu ềt i iể ) Rót gän biĨu thøc: P = ©u ©u ✟ho x = 1+ + 5+ + + 13 + + 5( + 1) − 5( − 1) Tính giá trị biểu thức: iể ) x hệ phương trình sau: ọ $ & )%( %+% , / 6$ 88 8: ô : phương trình: 16 x ✭✌ iĨ ) ✟ho tam gi¸c ✠B✟ cã 2006 + 2010 ✠ ✥ ✡☛ ☞15x + y + 2( xy − 2) = 2 x + y − xy = 16 + = x3 + x ✠✟ ✥ b, ✠B ✥ c (víi b ✑ c) §êng kính đường tròn ngoại tiếp tam giác B vuông góc với B M ọi lần lượ chân đường vuông góc hạ từ xuống đường thẳng B ọi lần lượ chân đường vuông góc hạ từ xuống đường thẳng B hứng minh tứ giác M nội tiếp hứng minh ba điểm , , M thẳng hàng vuông góc với Tính độ dài cạnh B bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ✠B✟ theo b, c ©u (2 iĨ ) ✟ho x ✑ 0, y ✑ vµ x + y ≤ BAC = 600 , x TÝnh giá trị nhỏ biểu thức: M = x + y + + ©u y (2 iĨ ) Tìm cặp số nguyên (x y) thỏa mÃn: 5x - ✚y ✥ 2xy - 11 ; ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM 2009-2010 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN: TỐN ( BẢNG B) Ngày thi: 25/3/2010 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1: ( 3,5 điểm ) xy + 2y + yz + 2y + zx + 2x + A = + + Cho biểu thức : xy + x + y + yz + y + z + zx + z + x + ( với x;y;z số thực có giá trị khác -1) Chứng minh A số nguyên Bài 2: ( 3,5 điểm ) Tìm số tự nhiên a cho A=a2 +10a +136 có giá trị số phương Bài (4điểm) Giải phương trình: − = 3x − x + 3x + 5x + x Bài 4.( điểm ) Cho n a đường trịn tâm O đường kính AB, C điểm cung AB, M điểm thuộc cung BC ( điểm M khác B C ) AM cắt OC I Kẻ CK vng góc với AM ( K∈AM), OK cắt BC N a) Chứng minh IKNC tứ giác nội tiếp b) Khi M di chuyển cung BC tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ICM nằm đường thẳng cố định Bài 5: ( điểm ) Trục thức mẫu: A = 2 + + Hết ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com S!"#i¸o dơc - Đào tạo Thái Bình 20 / 201 Môn: Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) th ( điểm) iải phương trình nghiệm nguyên: 2x y + 2y + y + 5x + 2y = 5xy + 2x + ( điểm) iải hệ phương trình: 85 2 = 4xy + ( x + y ) + ( x + y) 2x + = 13 x+y (✛ ®iĨm) ✢høng minh r»ng: ✣Õu ®a thøc ✤(x) ✦ x✧ ★ bx✩ ★ cx2 ★ bx ★ cã nghiƯm th× 2b + c ≥ (✛ điểm) ho x y số thực thoả mÃn: biÓu thøc: A= 2x + 3y 2x + y + y Tìm giá trị lín nhÊt, nhá nhÊt cđa 2 (✛ ®iĨm) Tõ điểm đường tròn tâm kẻ tiếp tuyến với đường tròn B ọi M điểm nằm đoạn B (M khác ✱ vµ B, M✱ ≠ MB) ✜äi ✢ vµ D điểm đường tròn cho M trung điểm D ác tiếp tuyến đường tròn D cắt hứng minh tam giác tam giác vuông ( điểm) ho đường tròn R) điểm B nằm đường tròn cho R Tìm điểm M đường tròn cho tổng M 2.MB đạt giá trị nhỏ (2 điểm) Một tam giác vuông có số đo cạnh số tự nhiên có chữ số ếu đổi c hai chữ số số đo cạnh huyền ta đư c số đo cạnh góc vuông Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác - HÕt - ThuVienDeThi.com i &$' + -( ,$ ( ) " $ 458 % 8; ®i%&"' 2x x + x − x x + x − x −1 x x −1 !ho biÓu thøc: P = ( x −1 x + 2x + x −1 x −1 a) Rót gän biĨu thøc P b) Tính giá trị biểu thức P )( ) + 49 − 20 − x = − 11 % ("#$%&"' 2x 13 x + =6 3x − x + 3x + x + x( x + y ) = b) Giải hệ phương trình: y = xy a) Giải phương trình: %