Vận dụng suy luận hình học để giải một số bài toán về hàm số y = ax2 (a ≠ 0)40632

Vận dụng suy luận hình học để giải số toán hàm số y = ax2 (a 0) Trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thường xuất toán hàm số y = ax2 phát biểu dạng Tìm ®iĨm M thc Parabol (P) tho¶ m·n mét ®iỊu kiƯn Phần lớn học sinh vất vả tìm lời giải, nhiên khéo léo vận dụng suy luận tư hình học lời giải trở nên ngắn gọn dễ hiểu Trong viết giới thiệu cách làm thông qua toán cụ thể sau: Bài toán: Cho Parabol y = x2 có đồ thị (P) hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ -1 1/ Tìm điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB cân M 2/ Tìm điểm N thuộc (P) cho diện tích tam giác NAB (đvdt) 3/ Tìm điểm K thc (P) cho diƯn tÝch tam gi¸c KAB gấp đôi diện tích tam giác OAB 4/ Tìm điểm Q (có hoành độ m: -1m2) thuộc (P) cho diện tích tam giác QAB lớn 5/ Tìm ®iĨm F thc trơc hoµnh Ox cho FA + FB ngắn Sau hướng dẫn giải 1/ Phân tích: Điểm M có tính chất: M thuộc (P) cách A, B M giao điểm (P) đường trung trực đoạn thẳng AB (Hình 1) Vì toán giải theo bước sau: - Lập phương trình đường trung trực AB (d) - Tìm toạ độ giao điểm (d) (P) Lời giải Ta có A(-1;1), B(2;4) Suy toạ độ trung điểm AB I(0,5; 2,5) Nếu gọi phương trình đường thẳng (AB) có dạng: y = ax + b  a  b  a Thì a, b nghiệm hệ: PT (AB) là: y = x + 2 a  b  b Phương trình đường thẳng (d) trung trùc cđa AB cã d¹ng: y = mx + n Vì (d) AB nên m.1 = -1 suy m = -1 mà (d) qua I(0,5; 2,5) nªn 2,5 = -0,5 + n suy n = phương trình (d): y = - x + Toạ độ điểm M cần tìm nghiƯm cđa hƯ:  y  x2 x  x      y  x2  y  x      13  x    y   13      x    13    13  y   H×nh DeThiMau.vn    13  13     13  13   ; Vậy điểm M cần tìm là: ; ; 2 2     2/ Phân tích: Điểm N cần tìm giao điểm (P) hai đường thẳng song song với AB cách AB khoảng h độ dài chiều cao kẻ từ N đến AB Gọi H điểm đối xứng O qua AB(ở OAB vuông A) nên OA khoảng cách h suy ®­êng th¼ng thø nhÊt sÏ ®i qua O(0; 0), dùa vào tính chất đường thẳng song song cách suy đường thẳng lại qua D(0; 4) thuộc Oy (Hình 2) Do giải theo bước sau: - Lập PT đường thẳng song song với AB cách AB khoảng h (là chiều cao tam giác NAB) Hình - Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với Parabol (P) - Khẳng định điểm tìm thoả mÃn toán Giải: *) ĐK cần: - PT đường thẳng (AB) là: y = x + - PT ®­êng th¼ng (d) song song víi (AB) ®i qua O(0; 0) là: y = x - PT đường thẳng (d) song song với (AB) qua D(0; 4) là: y = x + +) Toạ độ giao điểm (d) vµ (P) lµ nghiƯm cđa hƯ: y  x2 y  x2  y  x2 y  y 1    hc   x  x 1 yx x  x x x hai điểm O(0; 0) Và N1(1; 1) +) Toạ độ giao điểm (d) vµ (P) lµ nghiƯm cđa hƯ:   17 2  y  yx  yx  yx       17 x x x x y  x          x    17 17 17 17 thêm hai điểm là: N2( ; ) N3 ( ; ) 2 2 *) ĐK đủ Dễ thấy OAB vuông A AB = 18 OA = suy SOAB = (đvdt) Mà OA khoảng cách đường thẳng : y = x; y = x+ 2; y = x+ nªn điểm N tìm thoả mÃn toán Tóm lại tìm bốn điểm thoả mÃn toán lµ:  17  17  17  17 O(0; 0); N1(1; 1); N2( ; ) vµ N3 ( ; ) 2 2 DeThiMau.vn 3/ Phân tích: PT đường thẳng (AB) y = x + cắt Oy điểm I(0;2) Nối OA OA AB (PT OA là: y = -x) ta suy điểm K thuộc đường thẳng (d) song song với AB cắt Oy D cách AB khoảng gấp hai lần OA, OA lấy H cho AH = 2OA, b»ng c¸ch xÐt tû số hai tam giác đồng dạng OAI OHD suy D(0;6) Do K giao điểm ®­êng th¼ng song song víi AB ®i qua ®iĨm D(0;6) (P) (Hình 3) Do toán giải theo bước sau: ID - Xác định toạ ®é ®iĨm D thc Oy cho OI H×nh - Lập PT đường thẳng () qua D song song với (AB) - Tìm toạ độ giao điểm K () (P) - Khẳng định K điểm thoả mÃn yêu cầu Lời giải *) Điều kiện cần Ta có A(-1;1), B(2;4) Nếu gọi phương trình đường thẳng (AB) có dạng: y = ax + b a  b  a  Th× a, b nghiệm hệ: PT (AB) lµ: y = x + 2 a  b b Phương trình đường thẳng (d) song song với (AB) có dạng y = x + m (m ≠ 2) ®i qua D(0;6) suy m = PT (d) là: y = x +  y  x2 x x Toạ độ điểm K cần tìm nghiệm hệ: y x   yx6  x   x  x   y 9   Vậy có hai điểm thoả mÃn K(-2; 4), K’(3; 9) x     y x     y   *) Điều kiện đủ Dễ thấy chiều cao kẻ từ K KAB khoảng cách hai đường thẳng song song y = x + vµ y = x + khoảng cách 2OA theo Talet SKAB = 2SOAB 4/ Phân tích: Ta cần tìm điểm Q thuộc (P) cách xa AB Điểm thoả mÃn điều tiếp ®iĨm cđa tiÕp tun víi (P) vµ song song víi AB (Hình 3) giải sau - Lập phương trình đường thẳng () song song với AB tiếp xúc với (P) - Tìm toạ độ tiếp điểm Q () (P) - Khẳng định khoảng cách từ Q đến AB lớn DeThiMau.vn Lời giải Ta có A(-1;1), B(2;4) AB có phương trình là: y = x + Phương trình đường thẳng (d) song song với AB có dạng y = x + m (m ≠ 2) (d) tiÕp xóc víi (P) phương trình hoành hoành độ giao điểm x2 = x + m cã nghiÖm kÐp  x2 – x – m = cã nghiÖm kÐp   =  m = - 0,25 ®ã nghiƯm kép x = 0,5 suy toạ độ tiếp ®iÓm Q (0,5; 0,25) Mäi ®iÓm Q’ thuéc cung AB khác điểm Q có khoảng cách đến AB nhỏ khoảng cách từ Q đến AB Vậy Q(0,5; 0,25) điểm cần tìm Hình 5/ Phân tích: Quan sát hình vẽ nhận thấy lấy A' đối xứng a qua Ox th× FA = FA' suy FA + FB = FA' + FB  A'B dÊu b»ng xảy A, F, B' thẳng hàng điểm F giao điểm đường thẳng A'B Ox (Hình 5) Do giải theo bước nh­ sau - LÊy A’ ®èi xøng víi A qua Ox - Lập PT đường thẳng AB - Tìm toạ độ giao điểm F AB Ox - Khẳng định F điểm thoả mÃn đề F Hình Lời giải *) ĐK cần Ta có A(-1;1), B(2;4) lấy A đối xứng A qua Ox A (-1; -1) Phương trình đường thẳng (AB) qua A(-1; -1) B(2; 4) có dạng: y = mx + n m, n nghiệm hệ: m   m  n   m         2m  n  2 m  n  n    suy phương trình (AB) là: y x  3 DeThiMau.vn Cho y = suy x   2 Do ®ã F(  ; 0) điểm cần tìm 3 *) ĐK ®đ V× A’ ®èi xøng víi A qua Ox th× A’(-1; -1) suy FA = FA’ Nªn FA + FB = FA’ + FB  AB suy FA + FB ngắn AB dấu xảy A, F, B thẳng hàng điểm F( ;0) giao điểm đường thẳng AB Ox điểm cần tìm Một lưu ý trình giải ta nên minh hoạ toán hình vẽ nhìn toán mắt hình học chắn giúp bạn nhanh chóng định hướng cách giải Sau sè bµi tËp tù lun Bµi 1: Cho (P) y = x2 đường thẳng (d) y = (m - 1)x + a Chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b Tìm m để tam giác OAB có diện tích (đvdt) c Tìm quỹ tích điểm kẻ hai tiếp tuyến với (P) mà hai tiếp tuyến vuông góc với x2 Bài 2: Cho (P) y = đường thẳng (d) y = x + 1,5 a Tìm toạ độ giao điểm A, B (d) (P) b Tìm điểm M có hoành ®é lµ m (-1 < m < 3) cho SMAB ≤ (S lµ ký hiƯu diƯn tÝch) x2 Bài Cho (P) y = hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ -2, Tìm điểm M thuộc (P) cho tam giác MAB cân M Bài 4: Cho (P) y = x2 hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ 2, Tìm điểm M trục hoành cho MA + MB ngắn Bài Cho (P) y = 2x2 đường thẳng (d) y = x + a Tìm toạ ®é giao ®iĨm A, B cđa (d) vµ (P) b Tìm điểm M (P) cho diện tích tam giác MAB gấp đôi diện tích tam giác OAB Nguyễn Thanh Toàn GV trường THCS Vũ Vân - Vũ Thư Thái Bình DeThiMau.vn ... a, b nghiệm hệ: PT (AB) lµ: y = x + 2 a  b b Phương trình đường thẳng (d) song song với (AB) có dạng y = x + m (m ≠ 2) ®i qua D(0;6) suy m = PT (d) là: y = x +  y  x2 x x Toạ độ điểm...  y  y? ??x  y? ??x  y? ??x       17 x x x x y  x          x    17 17 17 17 thêm hai điểm là: N2( ; ) N3 ( ; ) 2 2 *) ĐK đủ Dễ th? ?y OAB vuông A AB = 18 OA = suy SOAB = (đvdt)... đường thẳng (AB) y = x + cắt Oy điểm I(0;2) Nối OA OA AB (PT OA là: y = -x) ta suy điểm K thuộc đường thẳng (d) song song với AB cắt Oy D cách AB khoảng gấp hai lần OA, OA l? ?y H cho AH = 2OA, b»ng