SKKN Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số bài toán chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS và THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN HUYỆN TĨNH GIA Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ, NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC Mục Nội Dung Trang Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 10 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng giải vấn đề 11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động 19 giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường 12 Kết luận, kiến nghị 20 13 3.1 Kết luận 20 14 3.2 Kiến nghị 20 15 Tài liệu tham khảo 21 SangKienKinhNghiem.net 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Khoa học ngày phát triển, đòi hỏi người ngày hồn thiện Trong tốn học ngồi việc địi hỏi tư sáng tạo, kỹ tính tốn phương pháp cách thức giải toán quan trọng Trong sách giáo khoa hợp năm 2000 có trình bày cơng cụ hữu hiệu để giải số toán phương trình “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” nhiên sau thay đổi sách giáo khoa 2006 phần bị cắt bỏ với cơng cụ khơng sử dụng trường phổ thông Qua số năm phân công dạy học sinh khối 10 trường THCS THPT Nghi Sơn, nhận thấy bế tắc học sinh gặp toán phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số Chính lẽ tơi mạnh dạn chọn chuyên đề “Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia” làm sáng kiến kinh nghiệm cho Mục đính Sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp khác để giải vấn đề nêu trên, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào vấn đề sau: Trình bày khái niệm chiều biến thiên hàm số bậc hai, tương quan hình học D bao gồm tốn phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình có nghiệm tập D Các tốn có nghiệm tập Các tốn có nghiệm với x thuộc D bao gồm toán bất phương trình có nghiệm với x thuộc D 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đính Sáng kiến kinh nghiệm trình bày phương pháp chiều biến thiên giải số toán chứa tham số lớp 10, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu áp dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai để biện luận số toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình có tham số SangKienKinhNghiem.net Phạm vi nghiên cứu kiến thức chiều biến thiên hàm số bậc hai, với tương quan đồ thị để giải vấn đề 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế thực nghiệm NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn chứa tham số phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình thường gây khó khăn cho học sinh công cụ “Định lý đảo dấu tam thức bậc hai” giảm tải với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận với đạo hàm Qua nghiên cứu số tài liệu liên quan đến vấn đề, thấy nhiều tác giả tiếp cận vấn đề việc giải chưa thật triệt để Thông qua trình giảng dạy tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số, tơi thấy việc học sinh nắm vững tính chất hàm số bậc hai chiều biến thiên em giải vấn đề dễ dàng Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nói chung phân mơn Đại Số nói riêng trường THCS THPT Nghi Sơn, huyện Tĩnh Gia nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn vùng khó khăn trình độ nhận biết học sinh mức vừa phải nhận thấy áp dụng đề tài vào lớp mà phụ trách hiệu quả, đặc biệt năm học tiến hành lớp 10A2 trường THCS THPT Nghi Sơn, kết thu tương đối tốt Các em thấy khó khăn giải toán dạng này, sau tiếp cận, hướng dẫn, rèn luyện em giải thành thạo dạng toán Học sinh khơng cịn lúng túng gặp dạng tốn SangKienKinhNghiem.net 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các khái niệm Trong phần này, ta nhắc lại số kiến thức biến thiên hàm số bậc hai tương quan đồ thị hàm số để giải số tốn phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số 2.3.1.1 Định nghĩa [3] Hàm số bậc hai hàm số cho biểu thức có dạng y ax bx c a, b, c số với a 2.3.1.2 Chiều biến thiên hàm số bậc hai [3] Ta có hai bảng biến thiên hàm số bậc hai y ax bx c a sau: 2.3.1.3 Sự tương quan đồ thị Số nghiệm phương trình f x g m số giao điểm đồ thị hàm số y f (x) đường thẳng y g m (xem hình minh họa bên) Trong trang này: Mục 2.3.1.1 mục 2.3.1.2 tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình họa “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net 2.3.2 Các tốn có nghiệm tập D 2.3.2.1 Một số kết [2] Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử hàm y f x kí hiệu f x hay m ax f x tồn xD xD Điều kiện để phương trình f (x) g m có nghiệm x D f x g m max f x xD xD (Số nghiệm phương trình f x g m D phụ thuộc số giao điểm đồ thị y f x với đường thẳng y g m D ) Điều kiện để bất phương trình f x g m có nghiệm x D f x g m xD Điều kiện để bất phương trình f x g m có nghiệm x D max f x g m xD 2.3.2.2 Một số tốn 2.3.2.2.1 Về phương trình Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 1;3 x x 5m 1 Giải Ta có 1 x x 5m Xét f x x x 1;3 có hồnh độ đỉnh xD , ta có bảng biến thiên sau Từ bảng biến thiên ta có, f x , max f x 18 Vậy để phương trình có 1;3 nghiệm x 1;3 thì: 5m 18 1;3 18 m 5 Trong trang này: Mục 2.3.2.1 tham khảo TLTK số 2; Ví dụ “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x 2;3 x x 5m 2 Giải Ta có 2 x x 5m Xét f x x x 2;3 có hồnh độ đỉnh xD 1, ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có, f x , max f x 16 Vậy để phương trình có x2;3 x2;3 nghiệm phân biệt x 2;3 thì: 5m m Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm x m x 3 x m x x x m 3a Giải Ta có 3 x 3b x Bài tốn quy tìm m để phương trình (3a) có nghiệm thỏa mãn (3b) Xét f x x x 2; có xD , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì: m Trong trang này: Ví dụ 2, Ví dụ “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net Ví dụ [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x x x m m 4 x x 3m x m Giải Ta có 4 x x m x m Xét hai Parabol y f1 x x x 3m có xD 3 với x m Parabol y f x x x m có xD 1 với x m , ta có trường hợp sau Trường hợp 1: m 1 , ta có bảng biến thiên sau: m 1 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm phân biệt thì: 7 3m m 1 Trường hợp 2: m 3 , ta có bảng biến thiên sau: Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 2, lời giải “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm phân biệt: m 3 m 3 m Trường hợp 3: 3 m 1, ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm phân biệt thì: m 3m 3 m 1 3 m 1 7 3m m 2 m 1 3 m 1 3 m 7 3m m 3 m 1 m 7 3m Tóm lại phương trình có nghiệm phân biệt khi: m SangKienKinhNghiem.net m 2 Ví dụ [4] Tìm p phương trình sau có nghiệm: x px 5 8x p 6p 3 8 x p 5' x Giải Ta có 5 x px x p x x p p 5'' Đặt f x x x(p 4) 6p , có xD p , ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: xD 6p 3 , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm 6p 3 29 29 p 4 p p 14 trường hợp 14 132 p 84 p 132 p 84 p p 0 22 64 vô nghiệm 6p 3 Trường hợp 2: xD , ta có bảng biến thiên sau: Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm 29 p 6p 3 29 14 4 p p 14 p 132 p 84 p 22 132 p 84 p 64 29 p 29 p p 4 p 14 14 p 1 p 14 p 13 p 14 p 13 p 13 p 22 p 1 Vậy phương trình cho có nghiệm p p 22 Bài tập áp dụng hướng dẫn giải [6] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x 1 x m [6] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x mx m x [6] Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 1 x m 1 x m [6] Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x mx [6] Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x 2m x m Trong trang này: Các tập tham khảo từ TLTK số SangKienKinhNghiem.net 10 2.3.2.2.2 Về bất phương trình Ví dụ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x 1;3 x x 5m Giải Ta có 1 1 x 3x 5m Xét f x x x có hồnh độ đỉnh xD 1;3, ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có, f x 4, max f x 18 Vậy để bất phương trình 1;3 1;3 có nghiệm x 1;3 thì: 5m m Ví dụ [6] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x m x m 2 Giải Đặt Khi x m t t x t m t 2 có nghiệm có nghiệm t mt 2m Bài tốn quy tìm m để bất phương trình: t mt 2m có nghiệm t m Xét f x t mt 2m t có t D , ta có trường hợp sau: m Trường hợp 1: , ta có bảng biến thiên sau: Trong trang này: Ví dụ “của” tác giả; Ví dụ từ TLTK số 6, lời giải “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net 11 m 0 m Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì: 2m m Trường hợp 2: , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm thì: m 2m m m m Tóm lại, m m giá trị cần tìm Ví dụ [2] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx x m 3 Giải Đặt x t t x t t Khi 3 có nghiệm có nghiệm mt t m Bài tốn quy tìm m để bất phương trình: mt t 2m có nghiệm t t Với m , hệ trở thành t hệ có nghiệm, nên m giá trị cần t 1 tìm Với m Xét f t mt t 2m t có hồnh độ đỉnh t D , ta có 2m trường hợp sau: Trong trang này: Ví dụ tham khảo từ TLTK số 2, lời giải “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net 12 Trường hợp 1: m , ta có bảng biến thiên sau: 2m Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm với m m , ta có bảng biến thiên sau: Trường hợp 2: 2m m 1 Để bất phương trình có nghiệm thì: 8m 4m 0m 4m Tóm lại, m 1 giá trị cần tìm Bài tập áp dụng khơng có hướng dẫn giải [6] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m x mx 2 [6] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: xm xm [6] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m x mx [6] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m x mx Trong trang này: Bài tập áp dụng 1,2,3,4 tham khảo từ TLTK số SangKienKinhNghiem.net 13 2.3.2.2.3 Về hệ bất phương trình Ví dụ [2] Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 2 x x x x m 1 x3 Giải Ta có 1 x x m 1b có nghiệm thỏa mãn 1a 1a 1b 1 toán quy tìm m để bất phương trình 1 Xét f x x x có xD 1 ;3 , ta có 2 bảng biến thiên sau: 1 Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm x ;3 m 2 Ví dụ [2] Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm 2 x x x mx m 1 x3 Giải Ta có 1 x mx m 2a 2b 2 , tốn quy tìm m để bất phương 1 trình 2b có nghiệm thỏa mãn 2a Xét f x x mx m ;3 2 m xD , ta có trường hợp sau: m Trường hợp 1: m , ta có bảng biến thiên sau: 2 có Trong trang này: Các ví dụ ví dụ tham khảo từ TLTK số 2, lời giải “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net 14 m 1 1 m Từ bảng biến thiên ta có để bất pt có nghiệm x ;3 1 2m 2 m Trường hợp 2: m , ta có bảng biến thiên sau: 2 1 m 1 Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm x ;3 m2 0 m m m Trường hợp 3: m , ta có bảng biến thiên sau: m 1 Từ bảng biến thiên ta có để bất phương trình có nghiệm x ;3 2 9 2m m Tóm lại m m giá trị cần tìm SangKienKinhNghiem.net 15 Bài tập áp dụng khơng có hướng dẫn giải x mx m [6] Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: x x x m [6] Tìm m để hệ sau có nghiệm nhất: x x 6m x m m 1 x m3 [6] Tìm m để hệ sau có nghiệm: x x x m 1 x m [6] Tìm m để hệ sau có nghiệm: x 2.3.3 Các tốn có nghiệm với x tập D 2.3.3.1 Một số kết [2] Điều kiện để bất phương trình f x g x có nghiệm với x D max f x g m xD Điều kiện để bất phương trình f x g x có nghiệm với x D max f x g m xD 2.3.3.2 Một số toán Ví dụ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x 1;3 x x 5m 1 Giải Ta có 1 x x 5m Xét f x x x có xD 1;3, ta có bảng biến thiên sau: Trong trang này: Các tập 1, 2, 3, tham khảo từ TLTK số 6; Mục 2.3.3.1 tham khảo từ TLTK số 2; Ví dụ “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net 16 Từ bảng biến thiên ta có, f x 4,m ax f x 18 Vậy để bất phương trình x1;3 x1;3 18 Ví dụ Tìm m để bất phương trình sau nghiệm nghiệm với x 2;3 nghiệm với x 1;3 thì: 18 5m m x x 5m 2 Giải Ta có 2 x x 5m Xét f x x x có xD 1 2;3, ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta có, f x , max f x 16 x2;3 x2;3 Vậy để phương trình nghiệm nghiệm với x 2;3 thì: 5m m Ví dụ [5] Tìm m để bất phương trình sau với x thuộc tập xác định m x 3x x 3x m 3 Giải Tập xác định: x 1;2 Đặt: t x x t x x Với x 1;2 ta có bảng biến thiên để tìm điều kiện t sau: Từ bảng biến thiên ta thấy x 1;2 1 t 0; Bài tốn quy tìm m để 2 bất phương trình sau với 1 t 0; 2 t mt m 3a Trong trang này: Ví dụ “của” tác giả; Ví dụ tham khảo từ TLTK số 5, lời giải “của” tác giả SangKienKinhNghiem.net 17 m 1 Xét f t t mt m 0; có t D , ta có trường hợp sau: 2 Trường hợp 1: m m , ta có bảng biến thiên sau: Từ bảng biến thiên ta để bất phương 1 trình với t 0; 2 m m m Trường hợp 2: m m 1 , ta có bảng biến thiên sau: 2 Từ bảng biến thiên ta để bất phương 1 trình với t 0; 2 m 1 m 1 2m Trường hợp 3: m 1 m , ta có bảng biến thiên sau: 2 Tóm lại m giá trị cần tìm SangKienKinhNghiem.net Từ bảng biến thiên ta để bất phương trình với 1 t 0; 2 1 m 1 m m2 2m0 18 Bài tập áp dụng khơng có hướng dẫn giải [6] Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x thuộc tập xác định mx x m [6] Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x 2;4 4 4 x 2 x x x m 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, thân, đồng nghiệp nhà trường Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương học sinh lớp 10A2 lớp 10A3 trường THCS THPT Nghi Sơn – Tĩnh Gia Trong lớp 10A3 chưa tiếp cận phương pháp sử dụng đề tài, kiểm tra hình thức tự luận, thời gian làm 45 phút với kết thu sau: Lớp Sĩ số Điểm < Điểm < Điểm Số lượng % Số lượng % Số lượng % 10A2 39 5.1 10 25.5 27 69.4 10A3 42 23 55 11 26 19 Đối với đồng nghiệp trường triển khai buổi sinh hoạt chuyên môn đồng chí đánh giá cao hiệu trình giảng dạy Trong trang này: Các tập 1, tham khảo từ TLTK số SangKienKinhNghiem.net 19 ... đề tài ? ?Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS THPT Nghi Sơn huyện Tĩnh Gia” 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng... nghiệm trình bày phương pháp chiều biến thiên giải số toán chứa tham số lớp 10, cụ thể sử dụng chiều biến thiên hàm số bậc hai sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao với sử dụng tương quan đồ thị 1.3... phương trình chứa tham số Chính lẽ tơi mạnh dạn chọn chun đề ? ?Về chiều biến thiên áp dụng giải số toán chứa tham số nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh lớp 10 trường THCS THPT Nghi Sơn huyện