Câu 1: (3đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 – 2016 LẦN MƠN: TỐN LỚP ( Thời gian làm 150 phút ) x 1 x 1 y 1 ; x2 ; x3 ; Tìm y : x1986 y 1 x1 x2 2 y yz z x y z b) Rút gọn biểu thức A x y z x yz 1 y z yz xy xz a) Giả sử y y , biết rằn : x1 câu 2:(5đ) a) Phân tích đa thức C = ( x – 2)( x – 4)( x – 6)( x – 8) + 15 thành nhân tử b) Chứng minh với số nguyên a : a5 – 5a3 + 4a 120 câu 3:(3đ) 1 x4 x ;z x x 1 Hãy tính z theo y a) Cho y 1 x x x x b).Cho xy + xz + yz = x,y,z khác 1 Chứng minh rằng: xyz x y z 2 2 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y2 1 z2 x2 Câu 4:(4đ) a) Cho x a b c a c b b + c - a 0; bc 0; a + b + c b2 c2 a ;y 2bc a b c b c a Tính giá trị biểu thức P = (x + y + xy + )3 b) Chứng minh a,b,c khác : bc ca a b 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Câu 5:(5đ) a) Cho tam giác ABC, trọng tâm G O điểm thuộc miền tam giác O khác G Đường thẳng OG cắt đường thẳng BC, BA AC theo thứ tự A’,B’,C’.Chứng minh rằng: OA' OB ' OC ' 3 GA' GB ' GC ' b) Từ điểm P thuộc miền của tam giác ABC Hạ đường vng góc PD, PE PF xuống cạnh BC, CA AB Tính PD PE PF BD CE AF ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN Câu x1 y y 2 y 1 1 : 1 : x1 y y y y y y 1 Tương tự, ta tính x3 ; x4 y, suy x5=x1; x6=x2;x7=x3;… 1 y 1 1 Vì 1986 = 4.496 + 2, nên x1986 x2 y y 2 y yz z x y z b) A x y z 1 1 x yz y z yz xy xz a) x2 y z yz y z x x y z xyz x y z x y z x yz y y z yz y z yz z x3 xyz x yz x3 y z xyz x yz x y z x y z Mà x + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) y y z yz y z yz z x3 xyz x yz 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4điểm x y z 0,5 0,5 Do kết viết thành : x y z x y z xy yz zx x yz x y z = 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx 2 0,5 = 3(x + y + z ) (xyz 0; y + z x + y + z 0) Câu a) C = (x2 – 10x + 21)(x2 – 10x + 19) ) a5 – 5a3 + 4a = (a – 2)(a – 1)a(a + 1)(a + 2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5; ; 8, chúng đôi nguyên tố nhau, nên a5 – 5a3 + 4a 3.5.8 = 120 Câu 1 x2 2 x 1 2x ; y 1 x 1 x2 a) Ta có: y 1 1 x2 x2 x2 x2 x x x x y y 1 x4 y 1 y 1 y 1 y2 1 x x z y 1 y 1 y 1 2y x x y 1 y 1 x2 ThuVienDeThi.com 5điểm 2,5 2,5 3điểm 0,5 b) Ta có: x y z 1 x 1 y2 1 z2 x(1 y2 )(1 z2 ) y(1 x )(1 z2 ) z(1 x )(1 y2 ) (1 x )(1 y2 )(1 z2 ) Phân tích tử thức phân thức trên, ta có: x – xy2 – xz2 + xy2z2 + y – x2y – yz2 + x2yz2 + z – x2z – y2z + x2y2z = xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1) Theo giả thiết xy + yz + xz = 1, nên xz = – xy – yz ; yz = – xz – xy ; xy = – xz – yz Thay vào (1), ta tử thức 4xyz Từ ta có kết tốn Câu a) Ta có (x + y + xy + 1)3 = [(x +1) + y(x + 1)]3 = [(x + 1)(y + 1)]3 b c a b c a b2 c2 a x 1 2bc 2bc a b c a c b y a b c a c b a b c b c a y a b c b c a a b c b c a Vì x a b c b c a 2 0,5 0,5 0,5 4điểm 0,5 0,5 0,5 4bc a b c b c a a b c b c a 3 P x y xy 1 x 1 y 1 b c a b c a 4bc 2 8 2bc b c a b c a ( bc 0, a + b + c b + c – a ) Vậy P = b).Ta có: 0,5 bc 1 ; a b a c a b a c tương tự, ta có: a b 1 ca 1 ; c a c b c a c b b c b a b c b a Cộng theo kết tìm được, suy điều phải chứng minh Câu 0,5 5điểm 0,5 ThuVienDeThi.com a) Từ G hạ GH, GE, GF vng góc với cạnh BC, CA AB (Xem Hình vẽ ) Từ O hạ OI, OM ON vng góc với BC, CA AB Áp dụng định lí Thales tam giác, ta có A'O OI B'O ON C'O OM ; ; A'G GH B'G GF C'G GE Mặt khác ABC nên GE = GF = GH = h OI + OM + ON = h (h đường cao ABC ) Từ suy điều phải chứng minh b) Từ P dựng đường song song với cạnh ABC, ta ba tam giác MNP, PIK PRS nhận PD, PE PF đường cao (Xem Hình vẽ ) Gọi x, y, z cạnh tam giác x + y + z = a (a cạnh tam giác ABC) Gọi h đường cao tam giác ABC, ta có h Ta lại có PD PE PF a a 2 Mặt khác BD z x y z ; CE x ; AF y nên 2 0,5 ThuVienDeThi.com BD + CE + AF = Vậy PD PE PF BD CE AF 3 a 0,5 0,5 Chú ý Nếu học sinh có cách giải khác, lập luận xác cho điểm tuyệt đối ThuVienDeThi.com ... – xy2 – xz2 + xy2z2 + y – x2y – yz2 + x2yz2 + z – x2z – y2z + x2y2z = xyz(xy + xz + yz) + y(1 – xy – yz) + x(1 – xz – xy) + z(1 – xz – yz) (1) Theo giả thi? ??t xy + yz + xz = 1, nên xz = – xy –. .. 2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx + x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx 2 0 ,5 = 3(x + y + z ) (xyz 0; y + z x + y + z 0) Câu a) C = (x2 – 10x + 21)(x2 – 10x + 19) ) a5 – 5a3 + 4a = (a – 2)(a – 1)a(a... z Mà x + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx ) y y z yz y z yz z x3 xyz x yz 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 4điểm x y z 0 ,5 0 ,5 Do kết viết thành :