TRƯỜNG THCS VĂN MIẾU ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2015 – 2016 LẦN Mơn: Tốn (Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề ) ( Đề thi có 01 trang ) Câu (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n n 6n 7n 21 số nguyên tố b) Chứng minh với số tự nhiên n B n 15n 10 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương x, y, z khác cho b) Tính giá trị biểu thức C 1 1 x y z a b 2014c ab a 2014 bc b ac 2014c 2014 Biết abc = 2014 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x 3x 2x 2x 30 b) Tìm tất cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x y x y Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC Gọi O giao điểm đường trung trực BC AC a) Chứng minh OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG ; c) Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng GH = 2GO Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = 1+ a 1+ b 1+ c Chứng minh rằng: + + 1+ b2 1+ c2 1+ a –––––––––––– Hết –––––––––––– Họ tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn Tốn - Lớp Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./ Câu ( 4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức A n n 6n 7n 21 số nguyên tố b) Chứng minh với số tự nhiên n B n 15n 10 Đáp án a) Phân tích A n n 2n n n n Nhận xét: n 2n Điểm 0,50 (n n 10) với số tự 0,50 nhiên n Để A số nguyên tố n - = 1, hay n = Thử lại: n = P = 103 số nguyên tố Vậy số tự nhiên cần tìm n = b) Với n = B 9 n thỏa mãn 0,50 0,50 0,50 0,50 Giả sử toán với n = k ( k N ) Tức là: B k k 15k 10 Ta chứng minh toán với n = k +1 Thật vậy: B k 1 k 1 15(k 1) 10 4 k 15k 10 45k 45 4.B k 45k 45 0,50 Vậy: B n 15n 10 với số tự nhiên n 0,50 Câu (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương x, y, z khác cho b) Tính giá trị biểu thức: C a ab a 2014 b 1 1 x y z 2014c bc b ac 2014c 2014 Biết abc =2014 Đáp án Do vai trị x, y, z bình đẳng nên khơng tính tổng qt, giả sử 1 1 1 x y z x x 1,2 x y z x y z x 1 y z 1 1 1 + Với x y y z y z 2 y z y + Với x (Vơ lí) Vậy: (x, y, z) = (2, 3, 6) hoán vị Điểm 0,50 0,50 0,50 0,50 ThuVienDeThi.com a b) C b abc2 1,00 ab a abc bc b ac abc abc b bc bc b 1 bc b bc b 1 bc b bc b 1,00 Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x 3x 2x 2x 30 b) Tìm tất cặp số (x, y) thỏa mãn điều kiện x y x y Đáp án a) x 3x 2x 2x 30 x 1x 2x 2x 30 2x 2 7x 2x 7x 30 Đặt y 2x 7x Điểm 0,25 0,25 11 1 121 11 y y 30 y y 2 2 x 11 11 11 2 + Với y 2x 7x 2x 7x x 2x x 7 2 0,25 0,50 11 11 11 39 + Với y 2x 7x 2x 7x 11 x 2 16 ( PT vơ nghiệm) 0,50 Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm S 0; 0,25 x 1 x x y b) Vì x y Mà x3 y y 1 y y x Tóm lại: x 1;0 y 1,00 x x x y nên x3 x 1 y y 1 y y 1 x y 1,00 7 4 Lại có: x3 y x y x3 x 1 y y 1 Mà x3 x 1 0; y3 y 1 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC Gọi O giao điểm đường trung trực BC AC a) Chứng minh OMN đồng dạng với HAB ; b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh HAG đồng dạng với OMG ; c) Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng GH = 2GO ThuVienDeThi.com Đáp án * Vẽ hình: Điểm 0,50 A N O G H B C M HBA BAC 900 a) Ta có: ONM MNC 900 HBA ONM MNC BAC (doMN // AB) Chứng minh tương tự: BAH NMO Suy ra: ABH MNO (g-g) AH AB AG 2 b) Vì ABH MNO , mà HAG GMO ( so le trong, OM MN MG OM//AD) Suy ra: HAG OMG (c-g-c) c) Vì HAG OMG AGH bù MGH =>H, G, O thẳng hàng MGO MGO Lại có: GH GA GH 2GO GO GM Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = 1+ a 1+ b 1+ c + + 3 Chứng minh rằng: 1+ b2 1+ c2 1+ a Đáp án Vì + b 2b > nên 1 a b2 a 1 a b2 a 1 a b a 1 a b 1 a b a b2 b2 b2 2b 1 b c , c c 1 c a 1 b 1 b Tương tự 1 c a2 1 Do VT a b c ab bc ca ab bc ca (1) 2 2 1,50 1,50 1,25 1,25 Điểm Mặt khác ab bc ca a b c a b c 0,75 0,25 0,25 0,75 nên ab bc ca (2) Suy ra: đpcm 2 -HẾT ThuVienDeThi.com ... 30 x 1? ??x 2x 2x 30 2x 2 7x 2x 7x 30 Đặt y 2x 7x Điểm 0,25 0,25 11 1? ?? 12 1 11 y y 30 y y 2 2 x 11 11 11 2 + Với...HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2 015 - 2 016 Mơn Tốn - Lớp Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác tổ chấm thống cho điểm tương ứng với... 15 k 10 Ta chứng minh toán với n = k +1 Thật vậy: B k ? ?1 k ? ?1 15 (k 1) 10 4 k 15 k 10 45k 45 4.B k 45k 45 0,50 Vậy: B n 15 n 10 với số tự nhiên n 0,50