Phương pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Vectơ Dạng toán 1: Mở đầu vectơ Thí dụ Cho OAB vuông cân với OA = OB = a HÃy dựng vectơ sau tính độ dài cđa chóng: OA + OB , OA OB , OA + OB 21 OA + 2.5 OB , 14 OA OB Giải a Với C đỉnh thứ tư hình vuông OACD, ta có ngay: O OA + OB = OC , theo quy tắc hình bình hành Từ đó, suy ra: OA + OB = OC = OC = a b Ta cã ngay: B OA OB = BA , quy tắc hiệu hai vectơ gèc A O OA OB = BA = BA = a c Để dựng vectơ OA + OB ta thực hiện: B Trên tia OA lấy điểm A1 cho OA1 = 3OA Trên tia OB lấy điểm B1 cho OB1 = 4OB Dựng hình chữ nhật OA1C1B1 Từ ®ã, ta cã: OA + OB = OA1 + OB1 = OC1 B1 3 OA + OB = OC1 = OC1 = OA12 C1A12 = 5a 21 d Thực tương tự câu c), ta dựng vectơ OA + 2.5 OB 21 a 541 OA + 2.5 OB = 4 14 e Thực tương tự câu c), ta dựng vectơ OA OB 14 a 6073 OA OB = 28 ThÝ dô Cho ABC có cạnh a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC Giải DeThiMau.vn A C A1 C1 Gọi M trung điểm BC, lÊy ®iĨm A1 ®èi xøng víi A A1 B qua M, ta có ABA1C hình bình hành, suy ra: AB + AC = AA1 M a AB + AC = AA1 = 2AM = = a A C Chó ý: Víi c¸c em học sinh chưa nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thường kết luận rằng: AB + AC = AB + AC = a + a = 2a Dạng toán 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp áp dụng Ta lựa chọn hướng biến đổi sau: Hướng 1: Biến đổi vế thành vế lại (VT VP VP VT) Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ Hướng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức đà biết Hướng 3: Biến đổi đẳng thức vectơ đà biết thành đẳng thức cần chứng minh Hướng 4: Tạo dựng hình phụ Khi thực phép biến đổi ta sử dụng: Quy tắc ba điểm: AB = AC + CB Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD HiÖu hai vect¬ cïng gèc AB AC = CB TÝnh chÊt trung ®iĨm: Víi ®iĨm M tuỳ ý I trung điểm AB cã: MI = ( MA + MB ) Tính chất trọng tâm tam giác: Víi ABC cã träng t©m G ta cã: GA + GB + GC = MA + MB + MC = MG , víi M t ý C¸c tÝnh chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân sè víi mét vect¬ ThÝ dơ Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD + BC = AD Giải DeThiMau.vn Ta trình bày theo ba cách sau: Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta cã: VT = ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD , đpcm Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: VT = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD , đpcm Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: AD = AC + CD = AB + BC + CD , đpcm Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: AD = AB + BD = AB + BC + CD , ®pcm NhËn xÐt: ViƯc trình bày thí dụ theo bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý tưởng sau: Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối vectơ thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ sử dụng chiều thuận quy tắc ba điểm Với cách cách 4, sử dụng chiều ngược lại quy tắc ba điểm, cụ thể "với vectơ AB xen thêm vào điểm tuỳ ý để từ phân tích vectơ AB thành tổng hai vect¬" ThÝ dơ Cho ®iĨm A, B, C, D Chøng minh r»ng AB + CD = AD + CB Gi¶i Ta cã thể trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta cã: VT = ( AD + DB ) + CD = AD + CD + DB = AD + CB = VP C¸ch 2: Ta cã: VT = ( AC + CB ) + CD = AC + CD + CB = AD + CB = VP Cách 3: Biến đổi tương đương biểu thøc vỊ d¹ng: AB AD = CB CD DB DB , Điều phải chứng minh Cách 4: Biến đổi tương đương đẳng thức dạng: AB CB = AD CD AB + BC = AD + DC AC = AC , Nhận xét: Để thực chứng minh đẳng thức vectơ đà cho lựa chọn hướng biến đổi VT thành VP hai cách giải có chung mét ý tëng, thĨ b»ng viƯc lùa chän vectơ xuất phát AB ta có: Trong cách 1, ta ý thức cần tạo xuất vectơ AD ta xen vào điểm D Trong cách 2, ta ý thức cần tạo xuất vectơ CB ta xen vào điểm C DeThiMau.vn Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy thêm có cách khác để giải toán, cụ thể: Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát CD Hai cách theo hướng biến đổi VP thành VT Thí dụ Cho M N trung điểm đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: MN = AC + BD = AD + BC A M Gi¶i B a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta cã ph©n tÝch: (1) AC = AM + MN + NC , D C N BD = BM + MN + ND (2) Céng theo vÕ (1) vµ (2) víi lu ý AM + BM = vµ NC + ND = (vì M N trungđiểm đoạn thẳng AB CD), ta được: (*) AC + BD = MN , đpcm Cách 2: Ta cã ph©n tÝch: MN MA AC CN , (3) MN MB BD DN , (4) Céng theo vÕ (3) vµ (4) víi lu ý MA MB NC ND (vì M N trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta được: MN = AC + BD , ®pcm b Ta cã: AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC , đpcm (**) Từ (*) (**) ta đẳng thức cần chứng minh Thí dụ Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với ®iĨm M bÊt k×, ta cã: MO = ( MA + MB + MC + MD ) Gi¶i Ta cã: MA + MB + MC + MD = MO + OA + MO + OB + MO + OC + MO + OD = MO + ( OA + OC ) + ( OB + OD ) = MO ( MA + MB + MC + MD ) = MO , ®pcm Chó ý: Các em học sinh hÃy trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP DeThiMau.vn Thí dụ Cho ABC Gọi M, N, P trung ®iĨm cđa BC, CA, AB Chøng minh r»ng: AM + BN + CP = Giải Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến ®æi: VT = (AB AC) + (BA BC) + (CA CB) 2 = (AB BA AC CA BC CB) , ®pcm ThÝ dơ Cho A1B1C1 A2B2C2 có trọng tâm lµ G1, G2 Chøng minh r»ng: A1A + B1B2 + C1C2 = G1G Giải Với G1, G2 tâm A1B1C1 vµ A2B2C2, ta cã: G1A1 + G1B1 + G1C1 = G A + G B2 + G C = Mặt khác, ta cã: A1A = A1G1 + G1G + G A B1B2 = B1G1 + G1G + G B2 C1C2 = C1G1 + G1G + G C2 Céng theo vế (3), (4), (5) sử dụng kết (1) (2), ta được: A1A + B1B2 + C1C2 = G1G , ®pcm (1) (2) (3) (4) (5) ThÝ dơ Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a Chøng minh r»ng AK = AB + AC b Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BC Chøng minh r»ng KD = AB + AC Gi¶i a Tõ gi¶ thiÕt ta nhËn thÊy: AB 2AM AB = AM ; AB AM Vì K trung điểm MN nªn: AC 3AN AC = AN AC AN DeThiMau.vn 1 AK = ( AM + AN ) = ( AB + AC ) = AB + AC , ®pcm 2 b Vì D trung điểm BC nên: AD = ( AB + AC ) tõ ®ã, suy ra: KD = AD AK = ( AB + AC )( AB + AC ) = AB + AC , ®pcm Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả đẳng thức vectơ cho trước Phương pháp áp dụng Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước dạng: OM = v , ®ã ®iĨm O cố định vectơ v đà biết Thí dụ Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O a Chøng minh r»ng OA OB OC b HÃy xác định điểm M, N, P cho: OM = OA OB ; ON = OB OC ; OP = OC OA Giải a Vì ABC nên O trọng tâm ABC, ta cã ngay: A OA OB OC b Gäi A1, B1, C1 theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB M C1 Dựng hình bình hành AOBM việc lÊy ®iĨm M O ®èi xøng víi O qua C1, ta có OM = OA OB B Các điểm N, P xác định tương tự C Thí dụ Cho ABC HÃy xác định điểm M thoả mÃn điều kiện: MA MB + MC = (*) Giải Biến đổi (*) dạng: BA + MC = MC = AB ABCM hình bình hành Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện: Kẻ Ax // BC KỴ Cy // AB Giao Ax Cy điểm M cần tìm DeThiMau.vn M A B C ThÝ dô Cho ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm O a HÃy xác định điểm M, N, P cho: OM = OA + OB , ON = OB + OC , OP = OC + OA b Chøng minh r»ng OA + OB + OC = A Gi¶i P M a Dùa theo quy tắc hình bình hành, ta có: Với điểm M thoả mÃn: O C B OM = OA + OB M đỉnh thứ tư hình bình hành AOBM N CM đường kính (O), ABC Với ®iĨm N tho¶ m·n: ON = OB + OC N đỉnh thứ tư hình bình hành BOCN AN đường kính (O), ABC Với điểm P thoả mÃn: OP = OC + OA P lµ đỉnh thứ tư hình bình hành AOCP BP đường kính (O), ABC Vậy, điểm M, N, P nằm đường tròn (O) cho CM, AN, BP đường kính đường tròn (O) b Dựa vào kết câu a) vµ OC = MO , ta cã ngay: OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = ThÝ dô Cho ABC a Tìm điểm I cho IA + IB = b Tìm điểm K cho KA + KB = CB c Tìm điểm M cho MA + MB + MC = Giải a Ta biến đổi: = IA + (IA AB) = IA + AB IA = AB , suy ®iĨm I hoàn toàn xác định b Ta biến ®æi: = KA + KB + ( KB + BC ) = KA + KB + KC K lµ träng tâm ABC c Gọi E, F, N trung điểm AB, BC, EF, ta cã: = ( MA + MC ) + ( MB + MC ) = ME + MF = MN M N DeThiMau.vn ThÝ dơ Cho tríc hai ®iĨm A, B hai số thực , thoả mÃn + a Chøng minh r»ng tồn điểm I thoả mÃn IA + IB = b Tõ ®ã, suy với điểm M, ta có: MA + MB = ( + ) MI Gi¶i a Ta cã: IA + IB = IA + ( IA + AB ) = ( + ) IA + AB = ( + ) AI = AB AI = AB V× A, B cố định nên vectơ AB không đổi, tồn điểm I thoả mÃn điều kiện đầu b Ta có: IA ) + ( MI + IB ) = ( + ) MI + ( IA + IB ) MA + MB = ( MI + = ( + ) MI , ®pcm NhËn xÐt quan träng: NÕu = = điểm I trung điểm AB Bài toán mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C ba sè thùc , , cho tríc tho¶ m·n + + 0, tøc lµ: a Tồn điểm I thoả mÃn: IA + IB + IC = b Tõ ®ã suy víi ®iĨm bÊt kú M, ta lu«n cã MA + MB + IC = ( + + ) MI vµ = = = I trọng tâm ABC ViƯc më réng cho n ®iĨm Ai, i = 1, n vµ bé n sè thùc i, i = 1, n tho¶ m·n n i 1 i 0, xin dành cho bạn đọc Kết sử dụng để giải toán: Cho n điểm Ai, i = 1, n n sè thùc i, 1, n tho¶ m·n n i i Tìm số thực k điểm cố định I cho đẳng thức vectơ n i MAi = k MI , (1) tho¶ mÃn với điểm M Phương pháp giải Vì (1) thoả mÃn với điểm M, víi M I, ®ã: n i IAi = k II = (2) i i DeThiMau.vn Xác định ®ỵc ®iĨm I tõ (2) Tõ (2), suy n n i MAi = i MI i 1 Tõ (1) vµ (3), suy ra: n i MI = k MI k = i 1 (3) i 1 n i 1 i ThÝ dơ Cho tø gi¸c ABCD, M điểm tuỳ ý Trong trường hợp hÃy tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thoả mÃn với ®iÓm M a MA + MB = k MI b MA + MB + MC = k MJ c MA + MB + MC + MD = k MK Gi¶i a Vì (1) thoả mÃn với điểm M, ®óng víi M I, ®ã: IA + IB = k II = (1.1) Từ (1.1), ta được: IA + ( IA + AB ) = IA = AB xác định điểm I Từ (1.1), ta ®ỵc: MA + MB = (2 + 1) MI = MI (1.2) Tõ (1) vµ (1.2), suy ra: MI = k MI k = b Vì (2) thoả m·n víi mäi ®iĨm M, ®ã ®óng víi M J, ®ã: JA + JB + JC = k JJ = (2.1) Gọi E trung điểm AB, từ (2.1), ta được: JE + JC = J trung điểm CE Từ (2.1), ta được: (2.2) MA + MB + MC = (1 + + 2) MJ = MJ Tõ (2) vµ (2.2), suy ra: MJ = k MJ k = c Vì (3) thoả mÃn víi mäi ®iĨm M, ®ã ®óng víi M K, ®ã: KA + KB + KC + KD = k KK = (3.1) Gọi G trọng tâm ABC, từ (3.1), ta được: KG + KD = K trung điểm GD Từ (3.1), ta được: MA + MB + MC + MD = MK (3.2) DeThiMau.vn Tõ (3) vµ (3.2), suy ra: MK = k MK k = Chú ý: Bài toán tìm điểm mở rộng thành toán tìm tập hợp điểm (quĩ tích) Với toán quĩ tÝch ta cÇn nhí r»ng: NÕu | MA | = | MB |, víi A, B cho trước M thuộc đường trung trực đoạn AB | MC | = k| AB |, với A, B, C cho trước M thuộc đường tròn tâm C, bán kính k.AB NÕu MA = k BC , víi A, B, C cho trước a Với k điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC b Víi k + ®iĨm M thc nưa ®êng th¼ng qua A song song víi BC theo híng BC c Víi k ®iĨm M thc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược híng BC ThÝ dơ Cho ABC, t×m tËp hợp điểm M thoả mÃn: a MA + k MB k MC = b (1k) MA + MB k MC = (1) (2) Gi¶i a Ta biến đổi (1) dạng: MA = k( MC MB ) MA = k BC M thuộc đường thẳng qua A song song với BC b Ta biến đổi (2) dạng: MA + MB k( MA + MC ) = Gäi E, F theo thứ tự trung điểm AB AC, ta ®ỵc: (3) ME 2k MF = ME = k MF M thuộc đường trung bình EF ABC (3) Dạng toán 4: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ Phương pháp áp dụng Ta lựa chọn hai hướng: Hướng 1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biểu diễn phương pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Hướng 2: Từ giả thiết thiết lập mối liên hệ vectơ đối tượng, từ khai triển biểu thức phương pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc 10 DeThiMau.vn Thí dụ Cho đoạn thẳng AB điểm I cho IA + IB = a T×m sè k cho AI = k AB b Chøng minh r»ng víi mäi ®iĨm M ta cã MI = MA + MB 5 Giải a Biến đổi giả thiết: = IA + IB = IA + 3( IB IA ) = 5 AI + AB AI = AB VËy, víi k = thoả mÃn điều kiện đầu b Biến đổi giả thiết: = IA + IB = 2( MA MI ) + 3( MB MI ) MI = MA + MB MI = MA + MB , ®pcm 5 ThÝ dơ Cho OAB Gọi M, N trung điểm hai cạnh OA OB HÃy tìm số m n thích hợp đẳng thức sau đây: OM = m OA + n OB ; MN = m OA + n OB ; AN = m OA + n OB ; MB = m OA + n OB ; Gi¶i O M a Ta cã OM = OA A đẳng thức OM = m OA + n OB sÏ cã m = vµ n = b Ta cã: MN = AB = ( OB OA ) = OA + OB 2 2 1 đẳng thức MN = m OA + n OB sÏ cã m = vµ n = 2 c Ta cã: AN = AO + ON = OA + OB đẳng thức AN = m OA + n OB sÏ cã m = 1 vµ n = d Ta cã: MB = MO + OB = OA + OB đẳng thức MB = m OA + n OB sÏ cã m = vµ n = 11 DeThiMau.vn N B Thí dụ Gọi G trọng tâm ABC Đặt a = GA vµ b = GB H·y biĨu thị vectơ AB , GC , BC , CA qua vectơ a b Giải a Sử dụng quy tắc hiƯu cđa hai vect¬ cïng gèc, ta cã ngay: AB = GB GA = b a b Vì G trọng tâm ABC nªn: GA + GB + GC = GC = GA GB = a b c Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc kết b), ta có: BC = GC GB = a b b = a b d Sư dơng quy tắc hiệu hai vectơ gốc kết b), ta cã: CA = GA GC = a ( a b ) = a + b ThÝ dô Cho ABC Gäi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Tính vectơ AB , BC , CA theo vectơ BN CP Giải Ta có: AB = AM MB = 3GM (GB GM) = 2GM GB = (GB GC) GB = 2GB GC = 2 BN CP 3 P = BN CP 3 B BC = GC GB = CP BN 3 Vectơ CA biểu diễn tương tù AB A G N M ThÝ dô Cho ABC a Tìm điểm M N cho: MA MB + MC = , NA + NB + NC = b Với điểm M N câu a), tìm số p vµ q cho: MN = p AB + q AC Giải a Ta lần lỵt thùc hiƯn: = MA MB + MC = BA + MC = AB + MC MC = AB M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM = NA + NB + NC = NA + NE , với E trung điểm BC NA + NE = N trung điểm AE 12 DeThiMau.vn C b Ta cã biĨu diƠn: MN = MA + AN = CB + AE = ( AB AC ) + ( AB + AC ) = AB AC 4 ThÝ dụ Cho ABC trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5JB = 2JC a TÝnh AI , AJ theo AB vµ AC A b Tính AG theo AI AJ Giải a Ta cã: 2CI 3BI IC = 3 IB J IC IB 2( AC AI ) = 3( AB AI ) AI = AB + AC AI = AB + AC 5 Ta cã: 5JB 2JCI JB = JC 5( AB AJ ) = 2( AC AJ ) JB JC AJ = AB 2 AC AJ = AB AC 3 b Gọi M trung điểm BC, ta cã: AG = AM = ( AB + AC ) = ( AB + AC ) 3 Mặt khác từ hệ tạo (1) (2), ta nhận được: 25 AB = AI + AJ vµ AC = AI AJ 8 16 16 Thay (4) vào (3) ta nhận được: 35 AG = AI AJ 48 16 G B I C (1) (2) (3) (4) Dạng toán 5: Chứng minh hai điểm trùng Phương pháp áp dụng Muốn chứng minh hai điểm A A trùng nhau, ta lùa chän mét hai c¸ch sau: 1 C¸ch 1: Chøng minh A1A = C¸ch 2: Chøng minh OA1 = OA với O điểm tuỳ ý Thí dụ Chøng minh r»ng AB = CD vµ chØ trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trïng 13 DeThiMau.vn Gi¶i Ta cã: Nếu AB = CD ABCD hình bình hành Do đó, AD BC có trung điểm trùng Nếu AD BC có trung điểm trùng ABCD hình bình hành Do đó: AB = CD ThÝ dơ Cho lơc gi¸c ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải Gọi G träng t©m cđa MPR, ta cã: GM + GP + GR = L¹i cã: GM = GA + GB , GP = GC + GD , GR = GE + GF 2( GM + GP + GR ) = GA + GB + GC + GD + GE + GF Suy ra: GA + GB + GC + GD + GE + GF = (do(1)) Do ®ã: ( GA + GF ) + ( GB + GC ) + ( GD + GE ) = GS + GN + GQ = GS + GN + GQ = Vậy, ta G trọng tâm SNQ Tóm lại, MPR NQS có trọng tâm Dạng toán 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp áp dụng Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB = k AC , k Để nhận (1), ta lựa chọn hai hướng: Hướng 1: Sử dụng quy tắc biến đổi vectơ đà biết Hướng 2: Xác định vectơ AB AC thông qua tổ hợp trung gian (1) (1) Chó ý: Ta cã kÕt qu¶: “ Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng là: MC = MA + (1) MB , víi ®iĨm t ý M vµ sè thùc bÊt kú ” ThÝ dô Cho ABC, lấy điểm I, J thoả mÃn IA = IB , JA + JC = Chứng minh IJ qua trọng tâm G ABC 14 DeThiMau.vn Giải Viết lại IA = IB díi d¹ng: IA 2 IB = BiÕn ®ỉi JA + JC = vỊ d¹ng: 3( IA IJ ) + 2( IC IJ ) = IA + IC = IJ Trừ theo vế (1) cho (2), ta được: 2( IA + IB + IC ) = IJ IG = IJ I, J, G thẳng hàng (1) (2) Thí dụ Cho ABC Gäi O, G, H theo thø tù tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm cña ABC Chøng minh r»ng: A a AH = OE , với E trung điểm BC b OH = OA + OB + OC c Chøng minh r»ng O, G, H thẳng hàng Giải H O B a Gọi A1 điểm đối xứng với A qua O, ta được: BH // CA1 cïng vu «ng gãc víi AC A1BHC hình bình hành CH // BA1 vu «ng gãc víi AB A1, E, H thẳng hàng AH = OE , đpcm b Ta cã: OH = OA + AH = OA + OE = OA + OB + OC , ®pcm c Ta cã: OG = ( OA + OB + OC ) = OH O, G, H thẳng hàng 3 C E A1 Thí dụ Cho ABC, lấy điểm M, N, P tho¶ m·n: MA + MB = , AN 2 AC = , PB = PC Chứng minh M, N, P thẳng hàng Giải Ta cã: MP AP AM , MN AN AP Ta ®i tÝnh AP, AM, AN theo AB AC , cụ thể từ giả thiÕt: MA + MB = AM AB AN 2 AC = AN = AC PB = PC AB AP (AC AP) AP = AB 2AC 15 DeThiMau.vn (1) (2) (3) (4) (5) Thay (3), (4), (5) vào (1) (2) ta được: MP AB 2AC AB AB 2AC 2 MN AC + AB 2AC AB AC 3 Tõ (6) vµ (7) ta nhËn thÊy: MN = MP M, N, P thẳng hàng (7) Dạng toán 7: Xác định đặc tính K đối tượng S thoả mÃn đẳng thức vectơ Phương pháp áp dụng Phân tích định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết Lưu ý tới hệ thức đà biết trung điểm đoạn thảng trọng tâm tam giác Thí dụ Cho ABC, có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả mÃn: a GA + b GB + c GC = (1) Chøng minh r»ng ABC tam giác Giải Ta có: GA + GB + GC = GA = GB GC (2) Thay (2) vào (1), ta được: a.( GB GC ) + b GB + c GC = (ba) GB + (ca) GC = (3) Vì GB GC hai vectơ không phương, (3) tương đương với: b a a = b = c ABC lµ tam giác c a Thí dụ Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn ®iÓm O cho: | OA || OB || OC || OD | OA OB OC OD Chứng minh ABCD hình chữ nhật Giải Từ phương trình thứ hệ , ta suy ra: O tâm đường tròn ngoại tiÕp tø gi¸c ABCD (1) Gäi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA , từ phương trình thứ hai hệ ta được: = OA + OB + OC + OD = OM + OP OM + OP = M, P, O thẳng hàng O trung điểm MP (2) 16 DeThiMau.vn = OA + OB + OC + OD = ON + OQ ON + OQ = N, Q, O th¼ng hàng O trung điểm NQ Từ (2), (3), suy MNPQ hình bình hành suy A, C, O thẳng hàng O trung điểm AC B, D, O thẳng hàng O trung điểm BD Do ABCD hình bình hành Từ (1) (4) suy ABCD hình chữ nhật Đ2 (4) hệ trục toạ độ Dạng toán 1: Toạ độ vectơ Toạ độ điểm Phương pháp áp dụng Ta cần nhớ kết sau: Với hai điểm A(xA, yA) B(xB, yB), ta có: AB = (xBxA, yByA), AB = | AB | = (3) Víi hai vect¬ a (x1, y1) vµ b (x2, y2) , ta cã: a = x1 i + y1 j , x x a = b , y1 y a + b = (x1 + x2, y1 + y2) (x B x A ) (y B y A ) ThÝ dô Trong mặt phẳg toạ độ, cho ba điểm A(4 ; 1), B(2; 4), C(2 ; 2) a Tìm toạ độ trọng tâm ABC b Tìm toạ độ điểm D cho C trọng tâm ABD c Tìm toạ độ điểm E cho ABCE hình bình hành Giải a Gọi G trọng tâm ABC, ta có G(0, 1) b Giả sử D(xD, yD), với điều kiện C trọng tâm ABD, ta được: 4 x D 2 x D D(8; 11) y D 11 2 y D c Gi¶ sư E(xE; 0), với điều kiện ABCE hình bình hành, ta được: x x 4 AE BC E E E(4; 5) y E 6 y E 5 17 DeThiMau.vn ThÝ dụ Cho điểm M(12t; + t) Tìm điểm M cho x 2M y M2 nhá nhÊt Gi¶i Ta cã: x 2M y M = (12t)2 + (1 + t)2 = 5t2 2t + = 5(t 9 ) + 5 đạt : 1 t = t = M0( ; ) 5 5 Vậy, điểm M0( ; ) thoả mÃn điều kiện đầu 5 suy ( x 2M y M2 )Min = ThÝ dô Cho ba ®iĨm A(1; 1); B(3; 3); C(2; 0) a TÝnh diƯn tích ABC b HÃy tìm tất điểm M trªn trơc Ox cho gãc AMB nhá nhÊt Gi¶i a Ta cã: AB2 = + = 8, BC2 = + = 10, CA2 = + = 2 2 AB + AC = BC ABC vuông A Vậy diện tích ABC cho bởi: 1 22 22 12 (1) = (®vdt) SABC = AB.AC = 2 b Gãc AMB nhá nhÊt AMB = 00 A, M, B thẳng hàng AM // AB x 1 x xA y yA 1 M = M M = xM = M O 1 1 xB xA yB yA Vậy, điểm M(0; 0) thoả mÃn điều kiện đầu Dạng toán 2: Biểu diễn vectơ c (c1; c2) theo vectơ a (a1; a2), b (b1; b2) Phương pháp áp dụng Ta thực theo bước: Bước 1: Giả sö c = a + b (1) Bíc 2: Ta cã: a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) Vậy (1) xảy chØ khi: Bíc 3: c1 a1 b1 c a b Giả hệ (I), ta nhận giá trị cỈp (, ) KÕt ln 18 DeThiMau.vn (I) ThÝ dơ H·y biĨu diƠn vect¬ c theo vectơ a , b , biết: a (2; 1), b (3; 4) vµ c (4; 7) Gi¶i Gi¶ sư c = a + b Ta cã: a + b = (2; 1) + (3; 4) = (23; + 4) Khi (1) xảy vµ chØ khi: 4 2 3 7 Vậy, ta c = a + b (1) ThÝ dô Cho ®iĨm A(1; 1), B(2; 1), C(4; 3) D(16; 3) HÃy biểu diễn vectơ AD theo vectơ AB , AC Giải Gi¶ sư AD = AB + AC Ta cã: AD (15; 2), AB (1; 2), AC (3; 2) AB + AC = (1; 2) + (3; 2) = ( + 3; 2 + 2) Khi ®ã (1) xảy khi: 15 2 2 VËy, ta AD = AB + AC (1) Dạng toán 3: Xác định toạ độ điểm M thoả mÃn đẳng thức vectơ, độ dài Phương pháp ¸p dơng Thùc hiƯn theo c¸c bíc: Bíc 1: Gi¶ sử M(x; y) Bước 2: Toạ độ hoá vectơ có đẳng thức sử dụng công thức khoảng cách hai điểm, để chuyển đẳng thức biểu thức đại số Bước 3: Giải phương trình hệ trên, ta nhận toạ độ M Chú ý: Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo tỉ số k (tức MM xác định công thức: x1 kx x k y y1 ky 1 k 19 DeThiMau.vn = k MM ) Đặc biệt k = 1, M trung điểm đoạn thẳng M1M2, toạ độ M xác ®Þnh bëi: x1 x x y y1 y ThÝ dơ Cho hai ®iĨm A(0; 2) B(4; 3) Tìm toạ độ: a Trung điểm I cđa AB b §iĨm M cho MA + MB = Gi¶i a Ta cã I(2; ) b Tõ gi¶ thiÕt MA + MB = MA MB điểm M chia đoạn AB theo tỉ sè k =2 Do ®ã: x A kx B x k M: M( ; ) 3 y y A ky B 1 k Chó ý: Ta cịng trình bày theo cách: Giả sử M(x; y), ta cã: MA ( x, y) MA + MB = (83x;43y) MB (4 x, 3 y) V× MA + MB = , nªn: x 8 3x M( ; ) 3 4 3y y ThÝ dô Cho ABC, biÕt A(1; 0), B(3; 5), C(0; 3) a X¸c định toạ độ điểm E cho AE = BC b Xác định toạ độ điểm F cho AF = CF = c Tìm tập hợp điểm M cho: |2( MA + MB )3 MC | = | MB MC | Gi¶i a Gi¶ sư E(x; y), ®ã AE (x1; y), BC (3; 8) Tõ ®ã: 20 DeThiMau.vn (1) ... (3) Dạng toán 4: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ Phương pháp áp dụng Ta lùa chän mét hai híng: Híng 1: Tõ giả thiết xác định tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biểu diễn phương pháp. .. DeThiMau.vn Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy thêm có cách khác để giải toán, cụ thể: Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát CD Hai cách theo hướng biến đổi VP thµnh VT ThÝ dơ Cho M vµ... AC )( AB + AC ) = AB + AC , đpcm Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả đẳng thức vectơ cho trước Phương pháp áp dụng Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước dạng: OM = v , điểm O cố định vectơ