sở GD&ĐT BắC GIANG Đề thức Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên bắc giang năm học: 2007 - 2008 môn thi: TOáN Ngày thi: 18.7.2007 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1(4 điểm) Cho phương trình sau: ( x m 3)( x 2(m 3) x 3m 9) (1), m tham số 1) Giải phương trình (1) m 2) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dương nghiệm âm Câu 2(3 điểm) 1 1 1 1 1 2 2 2007 2008 2006 2007 Chøng minh r»ng T nhá h¬n 2007 Cho T Câu 3(4 điểm) 1) Giải phương trình sau: x x 2) Cho biÓu thøc sau: A x y xy x 12 y 2036 Tìm x y để A nhận giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 4(3 điểm) x y z Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình sau: xy z z Câu 5(3 điểm) Tam giác ABC cân A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm AB , E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh OE CD Câu 6(3 điểm) Cho năm điểm mặt phẳng ba điểm thẳng hàng Chứng minh chọn bốn điểm đỉnh tứ gi¸c låi _HÕt _ (C¸n coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Giám thị số 1(Họ tên kí): Số báo danh: Giám thị số 2(Họ tên kí): DeThiMau.vn sở GD&ĐT BắC GIANG Đề thức hướng dẫn chấm thi môn toán tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên bắc giang năm học: 2007 - 2008 Ngày thi: 18.7.2007 (Híng dÉn chÊm cã trang) C©u Néi dung ý Câu1 1(1,5đ) Với m pt (1) trở thành: x( x 12 x) (4®) x ( x 12) x hc x 12 VËy víi m pt (1) cã nghiƯm lµ: x x 12 2(2,5đ) Th1: Với m không thỏa mÃn (theo phần 1) Th2: Với m suy x m nghiệm âm pt (1) Đkbt tương ®¬ng víi x 2(m 3) x 3m (*) cã hai ngh d¬ng ' S 2(m 3) (hƯ v« nghiƯm m ) P 3m Th3: Víi m suy x m nghiệm dương pt (1) Đkbt tương đương víi (*) cã hai nghiƯm tr¸i dÊu 3m m Câu2 (3đ) Vậy m thỏa mÃn đầu bài.(Hai nghiệm dương có thĨ b»ng nhau) XÐt: §iĨm 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 n (n 1) (n 1) n n (n 1) 2n(n 1) A 1 (n 1) n n (n 1) n (n 1) (n(n 1) 1) n (n 1) n(n 1) 1 suy A 1 , víi 2 n 2007 n(n 1) n n 1 Do ®ã 1,0 1,0 1 1 1 1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 3 2006 2007 2007 2008 1 2006 2008 suy T 2007 VËy T nhá h¬n 2007 0,75 0,25 Ta cã x x (1) Ta thÊy x lµ nghiƯm cđa pt (1) NÕu x th× VT(1) > = VP (1) pt kh«ng cã nghiƯm x NÕu x th× VT(1) < = VP (1) pt kh«ng cã nghiÖm x VËy pt (1) cã nghiƯm lµ x 0,25 0,75 0,75 0,25 T (1 Câu3 1(2đ) (4đ) DeThiMau.vn 2(2đ) Ta cã A ( x y xy 12 y x) ( x 10 x 25) 2007 ( x y 2) ( x 5) 2007 suy A 2007 (do ( x y 2) vµ ( x 5) víi x, y 1,0 0,5 x x y DÊu “=” x¶y x y VËy A 2007 x vµ y 0,5 Câu4 (3đ) x y z (1) x y xy z (2) 3 xyz z z XÐt (2) ( x y ) z 3xyz 3xy( x y ) x y z Ta cã hÖ 3 3 0,5 ( x y z )( x y z xy yz zx) 0,5 ( x y z ) ( x y ) ( y z ) ( z x) x yz 0 (do với x, y, z nguyên dương) nên (2) x y z , thay vµo (1), ta ®ỵc: 3 x y ( x y ) x xy y x y (do x y ) y ( x 1) y x x (*) Pt (*) cã nghiƯm ®èi víi y ( x 1) 4( x x) 3( x 1) Do x nguyên dương nên x 1; x Tõ ®ã suy hƯ cã ba nghiÖm ( x; y; z ) (1;2;3); (2;1;3); (2;2;4) Câu5 (3đ) 0,25 0,25 0,5 0,25 0,75 Kẻ trung tun CM , DN cđa ACD chóng c¾t E Gọi G giao điểm CD AO suy G trọng tâm ABC CE CG CM CD EG // AB Lại có OD AB nên OD EG (1) Ta cã 0,5 A 0,5 M 0,5 D Mặt khác DN // BC OG BC OG DN hay OG DE (2) Tõ (1) (2) suy O trực tâm GDE VËy OE DG hay OE CD (®pcm) B DeThiMau.vn E N O 0,5 G C 0,5 0,5 Câu6 (3đ) Giả sử A , B , C , D E điểm thỏa mÃn đầu Th1: Không giảm tính tổng quát A , B , C , D đỉnh tứ giác lồi toán đà chứng minh Th2: Nếu điểm không đỉnh tứ giác lồi tồn điểm (giả sử D ) nằm ABC Chia mặt phẳng thành miền (như hình vẽ) Khi E nằm bên miền (do điểm A điểm thẳng hàng) Nếu E thc c¸c miỊn 1, 4, ta chän bốn điểm E A , B , D (chúng đỉnh tứ giác lồi) D Tương tự E thuộc miền 2, 5, ta chọn bốn điểm E vµ A , C , D B C vµ nÕu E thc c¸c miỊn 3, 6, 9 ta chọn bốn điểm E B , C , D VËy lµ bao giê cịng cã thĨ chän điểm đỉnh tứ giác lồi Giám khảo chấm thi lưu ý số điểm sau: 1) Không cho điểm kể từ chỗ sai 2) Nếu thí sinh giải theo cách khác đáp án, làm lý luận chặt chẽ cho điểm tối ®a DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,5 0,75 0,25 ...sở GD&ĐT BắC GIANG Đề thức hướng dẫn chấm thi môn toán tuyển sinh lớp 10 thpt chuyên bắc giang năm học: 2007 - 2008 Ngày thi: 18.7 .2007 (Hướng dÉn chÊm cã trang) C©u... 1 , víi 2 n 2007 n(n 1) n n 1 Do ®ã 1,0 1,0 1 1 1 1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 3 2006 2007 2007 2008 1 2006 2008 suy T 2007 VËy T nhá h¬n 2007 0,75 0,25 Ta... 0,75 0,25 T (1 Câu3 1(2đ) (4đ) DeThiMau.vn 2(2đ) Ta cã A ( x y xy 12 y x) ( x 10 x 25) 2007 ( x y 2) ( x 5) 2007 suy A 2007 (do ( x y 2) vµ ( x 5)