Toán Chuyên đề 2: Tính chia hết39791

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH CHIA HẾT ============== A/ CHIA HẾT SỐ NGUYÊN : I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, (a+b+c) chia heát cho m 2/ a chia heát cho b  a = bq a không chia hết cho b  a = bq + r 3/ (a,b) = a.c chia hết cho b => c chia hết cho b 4/ c chia heát cho a, c chia hết cho b, (a,b) = => c chia heát cho a.b 5/ a chia heát cho m, b chia hết cho n, a.b chia hết cho m.n II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho n chia cho có số dư r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = n chia heát cho => A(n) chia heát cho b/ Với r = => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho c/ Với r = => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 (n2+1) chia heát cho 5=> A(n) chia heát cho d/ Với r = => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho e/ Với r = => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 2/ Phương pháp : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = ta chứng minh: A(n) chia heát cho p, A(n) chia heát cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p q không nguyên tố ta phân tích A(n) = B(n).C(n) chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia heát cho q => , A(n) chia heát cho p.q 3/ Phương pháp : Để chứng minh A(n)  m biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tữ chia hết cho n 4/ Phương pháp : Để chứng minh A(n)  m ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng đẳng thức : an – bn  a – b ( a  b) n baát kyø an – bn  a – b ( a  - b) n chaün an + bn  a + b ( a  - b) n leû 5/ Chứng minh quy nạp toán học : 1/ Với n = ta xét toán hay không 2/ Giả sử toán với n = k 3/ Ta chứng minh toán với n = k + ( Lưu ý thường sử dụng điều giả sử 2/) Ví dụ CMR 16n – 15n –  225  n  N* + Với n = ta coù 16 – 15 – =  225 + Giả sử toán với n = k tức ta có : DeThiMau.vn 16k – 15k –  225 Ta chứng minh toán với n = k + Thật vaäy : 16k+1 – 15(k+1) – = 16.16k – 15k – 15 – = = ( 15+1 ) 16k – 15k – 15 – = = (16k – 15k – 1) + 15 16k – 15 Theo giả thiết qui nạp : 16k – 15k –  225 Coøn 15 16k – 15 = 15(16k – 1) Maø (16k – 1)  ( 16 – 1) = 15  15(16k – 1)  15.15 = 225  Vì 16k+1 – 15(k+1) –  225 Hay 16n – 15n –  225  n  N* B/ CHIA HẾT ĐA THỨC : 1/ Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức f(x) x = a Từ ta có hệ : + Đa thức f(x)  ( x – a) < = > f(a) = tức a nghiệm đa thức/ Từ suy : _ Đa thức f(x) có tổng hệ số chia hết cho x – _ Đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ f(x)  ( x + 1) 2/ Đa thức bậc trở lên : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có nhân tử chi hết cho đa thức chia Cách : Xét giá trị riêng 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Cách : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x)  g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)  g(x) hoaëc f(x) - g(x)  g(x) Cách : Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia ============================= MỘT SỐ BÀI TẬP 1/ Chứng minh : + 1)( + 4)  2/ Chứng minh lập phương số nguyên n ( n>1) trừ 13 lần số nguyên chia hết cho 3/ Chứng minh : 24n –  15 4/ Chứng minh : 2.7n +  3;  n  N* 5/ Chứng minh : m3 + 20m  48;  n  N*, n chaün 6/ Chứng minh tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7/ Chứng minh raèng : 5.72(n+1) + 23n  41;  n  N* 8/ Phân tích thừa số : A = a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 n(n2 n2 DeThiMau.vn Từ kết suy biểu thức : n4 – 6n3 + 27n2 – 54n + 32 số chẵn với số nguyên dương n 9/ Chứng minh : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n  24;  n  N 10/ Chứng minh : A = n3(n2 – 7)2 – 36n  5040;  n  N 11/ Chứng minh : a/ Một số cho có số dư hay bắng b/ Một số phương chia cho có số dư hay bắng c/ Các số sau có phải số phương không ; M = 19922 + 19932 + 19942 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = + 9100 + 94100 + 1994100 12/ Chứng minh : 16n –  17 n  N vaø n chẵn 13/ Chứng minh :  a  Z ta coù : a/ a2 – a  b/ a3 – a  c/ a5 – a  d/ a7 – a  Từ toán rút điều ? 14/ Chứng minh raèng : a/ ( n2 + n – 1)2 –  24;  n  Z b/ n3 + 6n2 + 8n  48;  n chaün c/ n4 - 10n2 +  384;  n leû 15/ a/ Cho a số nguyên tố lớn 3, CMR : a2 –  24 b/ CMR a,b số nguyên tố lớn 3,t hì : a2 – b2  24 c/ Tìm điều kiện số tự nhiên a để a4 –  240 16/ Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B : A = n3 + 2n2 – 3n + ; B = n2 – n 17/ a/ Tìm số nguyên dương n để n5 +  n3 + b/ giải toán với n số nguyên 18/ Tìm giá trị n  N để n +  n – 19/ Tìm n  Z để : a/ n2 + 2n –  11 b/ 2n3 + n2 + 7n +1  2n – c/ n3 –  n – d/ n3 - 3n2 + 3n -  n2 +n + e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n +  n4 – 20/a/ CMR neáu n + 2n + (n  N) số phương n  24 b/ CMR 2n + 3n + (n  N) số phương n  40 21/ Các số p, p + 14, p + 10 số nguyên tố; tìm p 22/ CMR 32n+2 – 8n –  64;  n  23/ Không thực phép chia đa thức xét xem x3 – 9x2 + 6x + 16 có hay không chia heát cho : a/ x + 1; b/ x – 3; 24/ Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + cho x + 25/ CMR : a/ x50 + x10 +  x20 + x10 + b/ x2 - x9 – x1945  x2 - x + c/ x10 - 10x +  (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 +  (x – 1)2 DeThiMau.vn 26/ Tìm f(x); biết f(x) chia cho x – dư 7; chia cho x – dư 5; chia cho (x – 2)(x – 3) thương 3x dư 27/ Xác định a,b để : a/ x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b  x2 – x – b/ 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +  x2 – x + b 28/ Với điều kiện tổng đa thức chia hết cho x – 1, đa thức không chia hết cho x – 29/ Với điều kiện tích đa thức chia hết cho x2 – 1, mà đa thức không chia hết cho x2 – 30/ Xác định a,b,c để : a/ P(x) = x4 + ax2 + bx + c  (x – 3)3 b/ P(x) = x3 – 5x2 – 8x + a  x2 +x + b c/ P(x) = x3 + ax2 + 2x + b  x2 +x + 1/ Cho A = ( a+b+c)3 – a3 – b3 – c3 ( a,b,c số nguyên ) a/ Phân tích A thành nhân tử ? b/ CMR : Nếu a,b,c chẵn lẻ A  24 ? 2/ Tìm nghiệm nguyên phương trình : a/ x2 - y2 = 105 b/ x2 – 3y2 = 17 3/ Giải phương trình x3 x2  a/ x 1 m x b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 4/ Cho Q = 32n+1 + 2n+2 ( n số tự nhiên ) Chứng minh Q chia hết cho 5/ Cho điểm D  ABC Vẽ  BDE,  CDF ( E, F, D nằm phía BC) Chứng minh AEDF hình bình hành 2/ Cho B = n3+ 3n2+ 2n với n số nguyên Chứng minh B chia hết cho 3/ Cho n lẻ C = n3 – n ; D = n2 + 4n – Chứng minh C 24 D 4/ Cho F = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ( n: chẵn ) Chứng minh F chia hết cho 384 n8 5/ Cho K = ( n số nguyên) Tìm n để K số nguyên 2n  1/ Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 + 2y2 = 2/ Tìm hình chữ nhật biết cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi ? DeThiMau.vn 3/ Tìm tất các số nguyên tố p cho tổng tất ước tự nhiên p4 số phương ? 4/ Tìm chữ số x,y,z cho : xyz + xzy = zzz 5/ Tìm số nguyên tố p cho 4p + số phương ? 6/Tìm nghiệm nguyên dương x2 - y2 = 105 7/ Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 - y2 = 93 8/ CMR phương trình x2 – 3y2 = 17 nghiệm nguyên 9/ Giải biện luận phương trình : a/ a2x = a2(x + b) – b b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = x3 x2 x x   2 c/ ; d/ x 1 m x xa xb x2 b2 e/ x  a x  a   x2  b2 b  x2 DeThiMau.vn ... hết cho đa thức chia Cách : Xét giá trị riêng 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số chia hết cho đa thức chia Cách : Biến... + b 28/ Với điều kiện tổng đa thức chia hết cho x – 1, đa thức không chia hết cho x – 29/ Với điều kiện tích đa thức chia hết cho x2 – 1, mà đa thức không chia hết cho x2 – 30/ Xác định a,b,c... nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia ============================= MỘT SỐ BÀI TẬP 1/ Chứng minh : + 1)( + 4)  2/ Chứng minh lập phương số nguyên n ( n>1) trừ 13 lần số nguyên chia hết cho