Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ trong giải bài tập hình học THCS39708

TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CƯ KUIN TRƯỜNG THCS NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ ĐƯỜNG PHỤ TRONG GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC THCS ******** Họ tên: Tổ : MAI TRỌNG MẬU Toán -lý-Tin Năm học : 2011 - 2012 ********* Ng­êi thùc hiÖn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 I NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG Lý viết sáng kiến kinh nghiệm 1.1- Cơ sở lý luận: Các toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ tốn khó với học sinh THCS Bởi để giải tốn dạng không yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà cịn địi hỏi học sinh cần có kỹ giải tốn định, có sáng tạo định Để tạo đường phụ liên kết tường minh mối quan hệ toán học điều kiện cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) địi hỏi phải thực thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố, đặc biệt hố, Hay nói cách khác giải toán phải kẻ thêm đường phụ sáng tạo nhỏ Kẻ thêm đường phụ để giải tốn hình mặt phương pháp biểu mức độ cao kỹ năng, thể tình hình học phù hợp với định nghĩa, định lý hay cịn gọi quy lạ quen Ở khoảng cách từ lạ đến quen xa mức độ sáng tạo lớn Do việc học tốt tốn hình có lời giải phải kẻ thêm đường phụ có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ tư khoa học học sinh 1.2- Cơ sở thực tiễn: Giải toán hình có kẻ thêm đường phụ địi hỏi phải thực nhiều thao tác tư Vì địi hỏi học sinh phải rèn luyện mặt tư hình học thuật phát triển Do định lý sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử dụng việc vẽ đường phụ sách giáo khoa (SGK) đề cập đến, việc làm ví dụ tốn lớp có loại tốn dạng Tuy nhiên tập SGK đưa nhiều dạng toán tập nâng cao tốn khó hay lại toán giải cần phải kẻ thêm đường phụ Trên thực tế, học sinh giải tốn dạng cần phải có nhiều thời gian nghiên cứu Do việc sâu vào nghiên cứu tìm tịi cách giải tốn có vẽ thêm đường phụ học sinh cịn Cịn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ hạn chế Các tài liệu viết riêng loại toán việc tham khảo học sinh cịn gặp nhiều khó khăn Vì với trình bày đề tài nội dung tham khảo cho giáo viên để góp phần tạo nên sở cho giáo viên dạy tốt loại tốn hình có kẻ thêm đường phụ Mục đích viết sáng kiến kinh nghiệm: Ng­êi thùc hiƯn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 Việc gợi mở lại cho học sinh nội dung kiến thức giải tốn có kẻ thêm đường phụ cần thiết, sở giáo viên cung cấp đầy đủ kiến thức cho học sinh Với việc phân dạng tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ, đồng thời sâu vào hướng dẫn số toán cụ thể tạo điều kiện để học sinh bổ sung cho trình độ kiến thức, góp phần gợi phương pháp giải toán cách cụ thể dựa vào mức độ phức tạp việc kẻ thêm đường phụ II NỘI DUNG A Các bước tiến hành Điều tra: Trước đưa vào thực sáng kiến tiến hành điều tra hiểu có kỹ giải tốn hình có lời giải vẽ thêm đường phụ học sinh sau: - Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 9A+9B THCS Nguyễn đình Chiểu – Cư Kuin năm học 2011-2012 - Thời gian điều tra: Bắt đầu tư ngày 28/8/2011 - Tổng số học sinh điều tra: 67 em - Thống kê điều tra sau: 01 Số học sinh nắm sơ lược loại đường phụ thường sử dụng giải Toán THCS có: 20 em chiếm 30 % 02 Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải tốn THCS có: 15 em chiếm 22,4% 03 - Số học sinh dựng đường kẻ phụ hợp lý giải số tốn chương trình tốn lớp 8, gồm có: 10 em chiếm 15% 04 Số học sinh lúng túng, chưa giải tốn hình học có vẽ thêm đường phụ giải Tốn THCS có: 33 em chiếm 50 % 05 Số học sinh thành thạo dạng tốn, có kỹ tốt giải tốn tương đối khó : em chiếm 0% Q trình thực hiện: Ng­êi thùc hiƯn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 Trước hết giáo viên cần giúp học sinh thấy nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ 2.1 Các yêu cầu vẽ đường phụ 01- Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh tốn Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tương tự hố, mày mị dự đốn theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho toán kết luận phải tìm Do khơng vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mò, dự đốn) đường phụ khơng giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vẽ đường phụ phải ln tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ có đạt mục đích muốn khơng?" Nếu "khơng" nên loại bỏ 02- Đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định 03 Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thườngthỏa mãn tính chất , việc lựa chọn đường phụ quan trọng.Tuy đường phụ vẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác 04.Một số loại đường phụ thường sử dụng giải tốn hình chương trình THCS a) Đường phụ điểm: Vẽ điểm chia hay chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp Xác định giao điểm đường thẳng đường thẳng với đường tròn b) Đường phụ đường thẳng, đoạn thẳng: Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý Nối hai điểm cho trước hai điểm xác định Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng xác định Ng­êi thùc hiÖn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 Từ điểm cho trước dựng đường vng góc với đường thẳng xác định Dựng đường phân giác góc cho trước Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước Hai đường tròn giao dựng dây cung chung Hai đường trịn tiếp xúc ta kẻ tiếp tuyến chung đường nối tâm Vẽ tia đối tia Dựng đường đặc biệt tam giác ( Trung tuyến , trung bình, phân giác , đường cao ) c) Đường phụ đường tròn: *Vẽ thêm đường trịn cung chứa góc dựa điểm có *Vẽ đường trịn tiếp xúc với đường trịn đường thẳng có *Vẽ đường trịn nội ngoại tiếp đa giác Trên sở, yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ, giáo viên cần phân dạng tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ 2.2 Các sở để xác định đường phụ : Ta đưa dựa sở sau để xác định đường phụ vễ đường ? vẽ từ đâu ? 01- Kẻ thêm đường phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải toán 02- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán 03- Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán 04- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng 05 Kẻ thêm đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải toán Ng­êi thùc hiƯn Mai trọng Mậu DeThiMau.vn TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 2.3 Các biện pháp phân tích tìm cách vẽ đường phụ: 01 Dựa vào toán biết: Dựa vào toán quen thuộc, định lý tính chất học , học sinh nghiên cứu giả thiết kết luận toán, tìm điểm tương đồng từ vẽ đường phụ thích hợp để đưa tốn cần giải toán quen thuộc Cho tam giác cân ABC đáy BC Lấy AB kéo dài đoạn BD = AB Gọi CE trung tuyến tam giác ABC CMR: CE = CD Ví dụ1: A E B C M D Ta phân tích phần nội dung: Kẻ đường phụ Phân tích: Từ kết luận toán gợi ý cho ta xét đến trung điểm CD Muốn chứng tỏ đoạn thẳng nửa đoạn thẳng khác cách làm chia đôi đoan thẳng chuyển toán chứng minh hai đoạn thẳng Gọi M trung điểm CD ta có CM = MD, ta phải chứng minh CE=CM CE=DM Chọn CE = CM Từ phân tích tổng hợp ta nối B với M ta suy chứng minh  EBC =  MBC ta có CE=CM điều phải chứng minh Đến điều cần chứng minh rõ ràng phải chứng minh  EBC =  MBC, hai tam giác theo trường hợp c.g.c Việc hướng dẫn học sinh kẻ đường phụ ta dựa vào phân tích trên, ta đưa cho học sinh câu hỏi gợi mở, chẳng hạn: - Với M trung điểm CD, em cho biết CE CM cạnh tam giác nào? - Vậy để chứng minh CE = CM ta phải kẻ thêm đường phụ chứng minh điều gì? Ng­êi thùc hiƯn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 - Hoặc với học sinh khá, giỏi ta hỏi: Vậy để chứng minh CE = CM ta phải chứng minh điều gì? 02 Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán: Đối với trường hợp (dạng này) thường toán chứng minh đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vng góc, đường trung tuyến tam giác, tam giác cân có đường cao đồng thời đường trung tuyến Ví dụ2: Bài tốn: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M trung điểm cạnh E C ฀ B CD N điểm đường chéo AC cho BNM  900 Gọi F điểm đối xứng A qua N, chứng minh:FB  AC I K M F N A D Ta phân tích nội dung kẻ đường phụ gợi ý chứng minh ฀ góc BFC, đối chiếu với định lý: Phân tích: Ta thấy BFC ฀  BCF ฀  BFC ฀  1800 , "Tổng góc tam giác 180O có FBC ฀  BCF ฀ độ nên suy ta chưa thể tính FBC ฀ Vậy khơng thể vận dụng định lý để chứng minh số đo góc BFC - Nhưng toán cho ta giả thiết liên quan đến góc vng trung điểm đoạn thẳng , ta liên kết giả thiết lại với để chứng minh toán cách nào? Đó câu hỏi lớn mà giáo viên nên đặt cho học sinh hướng dẫn em tự đặt câu hỏi Liệu BF có đường cao  BNC không? Để chứng minh BF đường cao tam giác BNC ta phải chứng minh BF qua điểm đặc biệt tam giác? BNC Dựa vào ta hiểu phải chứng minh BF qua trực tâm Do phân tích - tổng hợp ta đến việc dựng NE  BC E Ng­êi thùc hiÖn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 Gọi giao điểm NE với BF I Ta suy chứng minh CI // MN suy CI vng góc với BN (Vì MNBN) tức CI đường cao  BNC Vậy I trực tâm  BNC (Vì I  NE  CK) Do suy điều phải chứng minh là: BF  AC Tóm lại việc kể thêm NE BC E nhằm tạo điểm I  NE  BF để chứng minh I trực tâm  BNC Từ phân tích ta dựa vào đề hệ thống câu hỏi gợi mở cho học sinh tực giác, tích cực tìm lấy lời giải Chẳng hạn sử dụng câu hỏi như: - Để chứng minh BF vng góc với AC ta chứng minh BF đường  BNC? - Để chứng minh BF qua trực tâm BCN ta phải có điểm nào? - Ta phải kẻ thêm đường phụ để có điểm giao BF với đường cao  BNC? - Với NE đường cao  BNC NE  BF I, ta phải chứng minh I điểm có tính chất gì? Ví dụ3: Cho  ABC M điểm  Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H Chứng minh rằng: MK = MH Đây toán tương đối khó với học sinh ? Sau tìm nhiều cách chứng minh khơng có kết Ta ý đến giả thiết toán cho tacác yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất? Câu trả lời mong đội đâylà định lý Talet - Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành đoạn nhỏ ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’,BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? Ng­êi thùc hiƯn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 - Điểm P Q giao KH với AB AC A B' C' P M H B Q K C A' Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo định lý Talét MH CA ' MQ BC MP BA '    ; ; MP CB MK BA ' MQ CA ' MH MQ MP CA ' CB BA ' MH      MH  MK MP MK MQ CB BA ' CA ' MK 03 Dựa vào biến đổi đại số để xác định đường phụ Ví dụ 4: Cho  ABC có ฀A  B฀ Chứng minh rằng: BC2 = AC2 + AC.AB Hướng dẫn: - Các định lý tính chất giúp ta công thức liên quan đến công thức cần chứng minh ? Câu trả lời định lý Pitago cơng thức gần với cơng thức , GV cần hướng dẫn học sih loại bỏ ý định sử dụng định lý Pitago khơng tạo góc vng có liên quan đến độ dài ba cạnh - Ngoài định lý Pitago cịn cách khác khơng? Câu trả lời mong đội định lý ta lét tam giác đồng dạng - Hãy biến đổi đại số hệ thức cần chứng minh để đưa dạng tỷ số để gắn vào tam giác đồng dạng BC  AC  AC AB  BC  AC  AC  AB  Đến GV yêu cầu học sinh đưa toán quen thuộc việc chứng minh hệ thức ab= cd dự vào tam giác đồng dạng cách tạo đoạn thẳng AB+AC Ng­êi thùc hiÖn DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 -Từ học sinh đưa hai cách vẽ đường phụ đặt liên tiếp cạnh AB doạn AC đặt cạnh AC đoạn AB ? Nên đặt dựa điểm ? Chọn đặt kề cạnh đẻ vận dụng giả thiết ฀A  B฀ ? Câu trả lời mong đợi lấy tia đối tia AC đoạn AB Từ ta có lời giải D Giải: A Trên tia đối tia AC lấy D cho AD = AB Khi  ABC cân A nên: ฀ BAC  2฀ ABD  ฀ ADB B C 1฀ ฀ ฀ ABC  BAC Xét  ABC  BDC có: BDC ฀ chung nên  ABC đồng dạng với  BDV (g.g) C  BC AC   BC  AC.CD  AC ( AC  AD)  AC ( AC  AB)  AC  AC AB CD BC Như việc dạy cho học sinh biết cách giải toán mà lời giải có kẻ thêm đường phụ khơng đơn đưa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ, sau phân dạng tốn đưa vào gợi mở học sinh tìm lời giải cho tốn cụ thể Trong q trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải tốn hình học 2.4 Một số tập hướng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh hình thoi ABCD biết bán kính đường trịn ngại tiếp cac tam giác ABC ABD Bài : Cho tam giác nhọn ABC cân A Đường cao BH AB  AC  Chứng minh :   2CH  BC  Bài 3: Cho tam giác ABCcân A có ฀A  200 Chứng minh : AB BC  3 BC AB Bài : Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh : tg ฀ ABC AC 1  với p nửa chu vi tam giác ABC 2 p  AC Bài :Cho góc nhọn xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm M N Ng­êi thùc hiÖn 10 DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 cho OM +ON = 2a không đổi a ) Chứng minh : Khi M ,N chạy Ox , Oy trung điểm MN nằm đoạn thẳng cố định A b ) Xác định vị trí M N để tam giác OMN có diện tích lớn Bài 6: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) gọi D;E;F thứ tự trọng điểm BC;AC AB Kẻ đường thẳng DP' // OA; EE'//OB; EF//OC Chứng minh đường thẳng DD'; EE'; FE' đồng quy Bài 7: Cho đường tròn (O) điểm A bên đường trịn kẻ cát tuyến BAC Gọi (P) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) B (Q) đường tròn qua A tiếp xúc với (O) C a) Tứ giác APOQ hình ? b) Gọi giao điểm thứ hai (P) (Q) E; (E  A) Tìm tập hợp điểm E cát tuyến BAC quay quanh A Bài 8: Cho góc vuông xOy Các điểm P, Q thứ tự di chuyển tia Ox Oy cho OP + OQ = 2007 Vẽ đường tròn (P; OQ) (Q; OP) a) Chứng minh hai đường tròn (P) (Q) cắt b) Gọi M, N giao điểm hai đường tròn (P) (Q) chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định P Q thay đổi B KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Qua thời gian áp dụng kiến thức phương pháp dạy vừa trình bày (Từ 28/8/2011 đến nay) 67 em học sinh lớp 9A -9B trường THCS Nguyễn đình Chiểu – Cư Kuin thu kết sau: 01 Số học sinh nắm loại đường phụ thường sử dụng giải tốn THCS có: 67 em chiếm 100% 02 Số học sinh nắm phép dựng hình thường sử dụng giải tốn THCS có: 60 em chiếm 90% 03 Số học sinh vẽ (dựng) đường phụ hợp lý giải số tốn hình chương trình Tốn lớp có: 47 em chiếm 70% 04 Số học sinh thành thạo dạng tốn, có kỹ tốt giải toán tương đối khó : Ng­êi thùc hiƯn 17 em chiếm 25% 11 DeThiMau.vn Mai trọng Mậu TrườngTHCS Nguyễn đình Chiểu Năm học 2011-2012 Trong trình dạy học sinh theo phương pháp , thu nhiều kết tốt Bảng kết thi khảo sát sau cho thấy rõ điều đó: Tổng số Học sinh Giỏi Khá TB Yếu - Kém Đầu năm 67 KH I 67 Giữa KHII 67 12 10 26 32 33 33 23 22 0 III KẾT LUẬN KINH NGHIỆM RÚT RA Các tốn hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tốn khó lại tốn hay, giúp cho tư logic học sinh phát triển, giúp rèn luyện lúc nhiều thao tác tư cho học sinh Đây đề tài nghiên cứu nghiên cứu phạm vi rộng, hẹp tuỳ ý đề tài mang tính ứng dụng rộng rãi trường THCS Khi áp dụng đề tài giáo viên cần phải lưu ý trước hết phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ sau phân dạng toán đưa hướng dẫn số toán cụ thể theo dạng chia Việc củng cố kỹ cho học sinh phép dựng hình cần thiết nội dung thực Do điều kiện chưa cho phép nên đề tài chưa nghiên cứu phạm vi rộng chưa thể trình bày hết phương pháp dạy dạng toán nêu gới hạn đề tài Rất mong đồng nghiệp nghiên cứu tiếp đề tài với nội dung phong phú Mong góp ý chân thành bạn đọc./ Ngày 12 tháng 12 năm 2011 Người viết Mai trngj Mậu Ng­êi thùc hiÖn 12 DeThiMau.vn Mai trọng Mậu ... tìm lời giải cho toán cụ thể Trong trình hình thành cho học sinh kỹ vẽ đường phụ giải tốn hình học 2.4 Một số tập hướng dẫn học sinh giải Bài 1: Tính cạnh hình thoi ABCD biết bán kính đường trịn... học sinh biết cách giải tốn mà lời giải có kẻ thêm đường phụ không đơn đưa số giải mẫu cho học sinh mà phải giúp học sinh nắm vững yêu cầu vẽ đường phụ, sau phân dạng tốn đưa vào gợi mở học sinh. .. vào nghiên cứu tìm tịi cách giải tốn có vẽ thêm đường phụ học sinh cịn Cịn đa số học sinh việc nắm vững mục đích, yêu cầu vẽ đường kẻ phụ kiến thức số loại đường phụ hạn chế Các tài liệu viết