Sáng kiến kinh nghiệm Một số tính chất tương tự giữa tam giác và tứ diện39689

Nguyễn Huy Khôi Thpt đô lương Một số tính chất tương tự tam giác tứ diện - Các bạn trẻ yêu toán thân mến! Các bạn ®· lµm quen víi mét sè tÝnh chÊt rÊt thó vị tương tự tam giác vuông tứ diện vuông (khối tứ diện có mặt vuông) Chẳng hạn: - Trong tam giác vuông OAB (AOB = 900) ta có hệ thức: AB2 = OA2 +OB2 (Định lý Pithagore) - Trong tø diƯn vu«ng OABC (OA, OB, OC vuông góc với đôi một) ta có hệ thøc t­¬ng tù: S2ABC = S2OAB+ S2OAC+ S2OBC,…, - Trong báo xin gới thiệu số tính chất thú vị tương tự tam giác tứ diện đây, giới thiệu tính chất tương tự nói thông qua toán sau đây: Bài toán 1: Cho tam giác ABC (BC = a1, CA = a2, AB = a3) M điểm nằm tam giác Gọi Ra, Rb, Rc khoảng cách từ M đến dỉnh A, B, C; da, db, dc khoảng cách từ M đến cạnh BC, CA, AB Chứng minh bất đẳng thức kép sau đây: (S S ) i Ra Rb Rc dadbdc  i 1 (Trong ®ã S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB) Lời giải: Dựng AH BC, ta có bất đẳng thức sau: Ra + da (ha = AH)  a1Ra  a1ha - a1da  a1Ra2S 2S1 (1) Chứng minh cách hoàn toàn tương tù ta còng cã: a2Rb  2S – 2S2 (2) a3Rc  2S – 2S3 (3) Tõ (1), (2), (3) ta suy ra: a1Ra a2Rb a3Rc  (2S – 2S1)(2S – 2S2)  (2S – 2S3) (4) Chóng ta l¹i cã: (2S – 2S1)  a2db+a3dc  a a d b d c (2S – 2S2)  a 1a d a d c DeThiMau.vn (2S – 2S3)  a 1a d a d b VËy (2S – 2S1)(2S – 2S2) (2S – 2S3)  8a1a2a3dadbdc (5) Tõ (4), (5) ta suy bÊt đẳng thức kép cần chứng minh: (S S ) R R R i  a b c dadbdc i Bài toán (1) ta mở rộng toán không gian Bài toán 2: Cho tứ diện A1A2A3A4 M mét ®iĨm bÊt kú n»m tø diƯn ®ã Gäi Ra, Rb, Rc,Rd khoảng cách từ M đến đỉnh A1, A2, A3, A4; da, db, dc,dd khoảng cách từ M đến mặt đối diện với đỉnh Ai ( i = 1,4 ); V; Vi ( i = 1,4 ); Si ( i = 1,4 ) thể tÝch c¸c khèi tø diƯn A1A2A3A4; MA2A3A4; MA1A3A4; MA1A2A ; MA1A2A3; diện tích mặt khối tứ diện A1A2A3A4 Chứng minh bất đẳng thức kép sau: (V  Vi ) R a R b R c R d dadbdcdd   (6) 81 i1 S i Với cách giải hoàn toàn tương tự toán phẳng 1, bạn chứng minh bất đẳng thức kép dạng (6) Mời bạn chứng minh Bài toán 3: Cho tam giác ABC (BC=a, CA =b, BA = c) Gọi la độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A Chøng minh r»ng: A cos 1 ; a) + = b c la b+c b) la< ; Lời giải: a) Lời giải câu a) đơn giản xin nhường lời chứng minh cho bạn l b) Từ câu a) ta suy = a > la (7) A 1 cos + a c b+c L¹i cã  bc  (8) 1 + a c b+c Tõ (7), (8) ta suy la < (Đpcm) Từ toán ta đến toán mở rộng sau: Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB tứ diện cắt cạnh CD E Đặt diện tích ABC, ABE, ABD tương ứng S1, S2, S3 DeThiMau.vn a Chøng minh hÖ thøc 1 2cosφ   S1 S3 S2 (Trong số đo nhị diện c¹nh AB cđa tø diƯn ABCD) S  S3 b Chøng minh hÖ thøc: S2 < ; Lêi giải: Dựng mặt phẳng () qua E vuông góc với AB M = mf()AB Qua C D kẻ đường thẳng song song với AB chúng cắt () C D, ta có: dtABC’ = S1; dtABD’ = S3, AB(), D’M  AB, C’M  AB, EM  AB vµ mf(ABE) mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AB nên: CME = DME = ( 0<