SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2015 - 2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) x3 x 1 x Q với x>0, x x4 x 2 x 2 1) Tính giá trị biểu thức P x = 2) Rút gọn biểu thức Q P 3) Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị nhỏ Q Cho hai biểu thức P Bài II (2,0 điểm) Giái tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Bài III (2,0 điểm) 2 x y x 1) Giải hệ phương trình x y x 5 2) Cho phương trình : x (m 5) x 3m (x ẩn số) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực m b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh huyền Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB=CH.CD 3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH 4) Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a b , tìm giá trị lớn ab biểu thức M ab2 ThuVienDeThi.com Bài I: (2,0 điểm) BÀI GIẢI 93 12 3 x x ( x 1).( x 2) x x4 x4 x 2 1) Với x = ta có P 2) Với Q x3 x 25 x 2 x x x ( x 2) x4 x4 ( x 2)( x 2) x x 2 P x3 x (Do bất đẳng thức Cosi) Q x x P Dấu xảy x = Vậy giá trị nhỏ Q Bài II: (2,0 điểm) Gọi t1 thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước Gọi t2 thời gian tàu tuần tra chạy xi dịng nước Gọi V vận tốc tàu tuần tra nước yên 60 48 Ta có : V ; V 2 t1 t2 60 48 60 48 Suy ra: 2 2 4 (1) t1 t2 t1 t2 t1 t2 (2) 3) 60 48 4 Từ (1) (2) ta có hệ : t1 t2 t t 1 60 48 Thế t1 t2 vào (1) ta : 4 4t22 16t2 48 t2 t2 t2 6 (loại) hay t2 V 22 (km/h) Bài III: (2,0 điểm) 1) Với điều kiện x 1 , ta có hệ cho tương đương: 6( x y ) x 12 7( x y ) ( x y ) x 5 ( x y ) x 5 x y x y x x 1 y 2 3 x 2) a) (m 5) 4(3m 6) m 2m (m 1) 0, m Do đó, phương trình ln có nghiệm với m b) Ta có x1 x2 m x1 x2 3m Để x1 0, x2 điều kiện m 5 m 2 m 2 (Điều kiện để S >0, P>0) ThuVienDeThi.com Yêu cầu toán tương đương : x12 x22 25 ( x 1 x2 ) x1 x2 25 (m 5) 2(3m 6) 25 (Do x1 x2 m x1 x2 3m ), m > - m 4m 12 0, m 2 m = hay m = -6, m > - m Bài IV (3,5 điểm) 1) Tứ giác ACMD có ACD AMD 900 Nên tứ giác ACMD nội tiếp 2) Xét tam giác vuông : ACH DCB đồng dạng (Do có CDB MAB (góc có cạnh thẳng góc)) CA CD N Nên ta có CA.CB CH CD CH CB 3) Do H trực tâm ABD A I Vì có chiều cao DC AM giao H , nên AD BN Hơn ANB 900 chắn nửa đường trịn đường kính AB Nên A, N, D thẳng hàng NDJ Gọi tiếp tuyến N cắt CD J ta chứng minh JND Ta có JND NBA chắn cung AN Ta có NDJ NBA góc có cạnh thẳng góc JND NDJ Vậy tam giác vuông DNH J trung điểm HD D J K H M F C O Q 4) Gọi I giao điểm MN với AB CK cắt đường trịn tâm O điểm Q Khi JM, JN tiếp tuyến đường tròn tâm O Gọi F giao điểm MN JO Ta có KFOQ tứ giác nội tiếp FI phân giác KFQ FOI Ta có KFQ KOQ KFI tứ giác KFOI nội tiếp 900 IK tiếp tuyến đường tròn tâm O IKO Vậy MN qua điểm cố định I (với IK tiếp tuyến đường tròn tâm O) Bài V: (0,5 điểm) ab (a b) (a b ) (a b) (a b 2)(a b 2) a b M ab2 2(a b 2) 2(a b 2) 2(a b 2) Ta có (a b) 2(a b ) a b 2(a b ) 2(a b ) 2.4 1 2 Khi a b M Vậy giá trị lớn M Vậy M 1 TS Nguyễn Phú Vinh (Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn – TP.HCM) ThuVienDeThi.com B ... a b M Vậy giá trị lớn M Vậy M 1 TS Nguyễn Phú Vinh (Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn – TP. HCM) ThuVienDeThi.com B ... đường tròn tâm O Gọi F giao điểm MN JO Ta có KFOQ tứ giác nội tiếp FI phân giác KFQ FOI Ta có KFQ KOQ KFI tứ giác KFOI nội tiếp 900 IK tiếp tuyến đường tròn tâm O IKO... cao DC AM giao H , nên AD BN Hơn ANB 900 chắn nửa đường trịn đường kính AB Nên A, N, D thẳng hàng NDJ Gọi tiếp tuyến N cắt CD J ta chứng minh JND Ta có JND NBA chắn cung AN