Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015
Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm).
1 1 x A
x
1) Tính giá trị biểu thức : x = 9.
2 1 1
.
2 2 1
x x
P
x x x x
x > 0;x1 2) Cho biểu thức với
1 x P
x
a) Chứng minh
2 x5 b) Tìm giá trị x để 2P =
Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm).
1)
4 1
5 1
1 2
1 1
x y y
x y y
Giải hệ phương trình
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x2. a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
b) Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn
3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ
Bài V (0,5 điểm).
2 2 2 .
Q a bc b ca c ab Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
-Hết
-Cán coi thi không giải thích thêm.
Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
(2)HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015
Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm).
1 1 x A x
1) Tính giá trị biểu thức : x = 9.
2 1 1
.
2 2 1
x x
P
x x x x
x > 0;x1 2) Cho biểu thức với
1 x P x
a) Chứng minh
2 x5 b) Tìm giá trị x để 2P =
Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm
Bài 1.1 (0,5 điểm)
3 4
9 3 2
3 2
x A
Với x = 0,
Bài 1.2. (1,5 điểm) 1 x P x
a) Chứng minh x > 0;x1 - Với ta có
2 1
.
( 2) ( 2) 1
x x x
P
x x x x x
0, 25 2 1 .
( 2) 1
x x x
P
x x x
0, 25
( 1)( 2) 1
.
( 2) 1
x x x
P
x x x
1 x x =
x > 0;x1
1 x P x
- Vậy vớita có
0, 25
x > 0;x1
1 x P x
b) - Với ta có:
2 x5
2 x 1
x
2 x5 - Để 2P = nên
0, 25
2x3 x 2 0 - Đưa phương trình
0, 25 2( ) 1 1 4 2 x loai x x
x > 0;x1- Tính thỏa mãn điều kiện 2 x5- với x = 1/4 2P =
0, 25
(3)Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm?
Bài 2 Hướng dẫn giải (2,0 điểm)
Bài 2 (2,0 điểm)
- Gọi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo x ( sản phẩm; đk x nguyên dương)
Khi thực tế ngày phân xưởng làm số sản phẩm x + (sp)
0,
1100
x - Số ngày làm theo kế hoạch là: ngày 1100
5
x Số ngày làm thực tế là: ngày
0,5
1100 1100 2 5
x x Vì thời gian thực tế kế hoạch ngày , ta có
phương trình: 0,25
1 55; 50
x x + Giải phương trình tìm 0,5
0
x x150 x2 55Vì nên thỏa mãn điều kiện ẩn, không thỏa mãn điều kiện ẩn
Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sp 0,25
Bài III (2,0 điểm).
4 1
5 1
1 2
1 1
x y y
x y y
1) Giải hệ phương trình
2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x2. a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
(4)Bài 3 Hướng dẫn giải Điểm
Bài 3.1 (1,0 điểm)
4 1
5(1) 1
4 8
4(2) 1
x y y
x y y
xy y; 1.Giải hệ phương trình đk
0,25
9
9 1 1 2( )
1 y y tm
y - Lấy (1) trừ vế cho (2) ta được: - Thay y = vào (1) ta tính x = -1
Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = ( - 1; )
0,
0,25 Bài 3.2.
(1,0 điểm) 2+ 2
3
x = -x + 6 x x - = 0 x
x
a) - Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
0, 25
2 4
3 9
x y
x y
- Chỉ ra:
- Kết luận: A(2;4) B(-3;9)
0, 25
- b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hoành
OAB AA 'B'B OAA' OBB'
S S S S Ta có
B' A ' B' A'
x x x x 5 yA 9 yB 4Ta có A’B’ = , AA’ =, BB’ =
0, 25
AA'B'B S
AA ' BB' 9 4 65
.A 'B' .5
2 2 2
Diện tích hình thang : (đvdt)
OAA'
S 12A 'A.A 'O272 SOBB'12B'B.B'O 4 (đvdt); (đvdt) OAB AA 'B'B OAA ' OBB'
65 27
S S S S 4 15
2 2
(đvdt)
- Kết luận
0, 25
Bài IV (3,5 điểm).
Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn
3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ
.Bài Hướng dẫn giải (3,5 điểm)
Hình vẽ: 0,25
(5)1 (0,75 điểm)
- Tứ giác AMBN có góc vng, góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O;R)
0,75
2 (1 điểm)
ANM ABM Ta có (cùng chắn cung AM (O;R) ) 0,25
ABM AQB - Chỉ (cùng phụ với góc MAB) 0,25
ANM AQB - Nên 0,25
ANM AQB - Vì nên MNPQ nối tiếp (do có góc ngồi đỉnh góc
trong đối diện ) 0,25
3 (1,0 điểm)
*/ Chứng minh: F trung điểm BP
- Chỉ OE đường trung bình tam giác ABQ
- Chứng minh OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP Suy F trung điểm BP
0,25 0,25
*/ Chứng minh: ME // NF
Mà AP vng góc với AQ nên OE vng góc OF
Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP
ONF 90 Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên
OME 90 Tương tự ta có nên ME // NF vng góc với MN
0,25 0,25
4 (0,5 điểm)
MNPQ APQ AMN
2S 2S 2S 2R.PQ AM.AN 2R.(PB BQ) AM.AN
- Ta thấy :
AB BP
QBBA AB2 BP.QB- Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy
2
PB BQ PB.BQ (2R) 4RNên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
0,25
2 2
AM AN MN
AM.AN
2 2
- Ta có = 2R2
2
MNPQ
2S 2R.4R 2R 6R SMNPQ 3R2
Do đó, Suy Dấu xảy AM =AN PQ = BP hay MN vng góc AB
0,25
Bài V (0,5 điểm).
A B
Q O
F
E N
(6)2 2 2 .
Q a bc b ca c ab Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Bài 5 Hướng dẫn giải (0,5 điểm)
(0,5 điểm)
Q 2a bc 2b ca 2c ab - Ta có
2a bc (a b c)a bc Mà (Do a + b +c = 2)
a ab bc ca
(a b) (a c) (a b)(a c)
2
(Áp dụng bất đẳng thức với số dương a+b a+c)
2a bc
(a b) (a c) 2
Vậy ta có (1)
0,25
Tương tự ta có : 2b ca
(a b) (b c) 2
(2) 2c ab
(a c) (b c) 2
(3) Q 2(a b c) 4
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế 2
3Khi a = b = c = Q = giá trị lớn Q 4.
0,25
Lưu ý chấm bài:
- Điểm tồn khơng làm trịn.
- Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng.