Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 Đề 2339493

23 Bài (5 điểm): 15 x 11 x  2 x    x  x  1 x x 3 a) Rót gän biĨu thøc A 1 b) Tính giá trị A x = 2 c) Chøng minh r»ng: A ≤ Bµi (3 ®iĨm): 1   2 a) Cho ba sè a, b, c d­¬ng tháa m·n a 1 b 1 c 1 Chøng minh r»ng : abc < b) Tìm giá trị lớn biÓu thøc: y x 1  x y  M xy Bài (3 điểm): x yz y  xz a) Chøng minh nÕu víi x  y, yz  1, xz  1, x  0, y  0,z   x 1  yz  y 1  xz  1 th× x  y  z    x y z Cho biÓu thøc A  2 1   1    b) Giải phương trình: x  x     x   x    x   x x  x  x  Bài (3 điểm): Đội A đội B thi đấu cờ với Mỗi đấu thủ đội A phải đấu ván cờ với đấu thủ đội B Biết tổng số ván cờ đà đấu bình phương số đấu thủ đội A cộng với hai lần số đấu thủ đội B Hỏi đội có đấu thủ biết số đấu thủ đội A không người? Bài (6 điểm): Cho hình vuông ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Kẻ tia Cx vuông góc với CE cắt AB F, M trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh rằng: a) CE = CF ฀ ฀ b) ACE  BCM c) Khi điểm N di chuyển cạnh AB ( N không trùng với A B) M chuyển động đường thẳng cố định Đặt BN = x a) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ACFE theo a x b) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp lần diện tích hình vuông ABCD Đáp án Biểu điểm Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện ThuVienDeThi.com Môn Toán Năm Học 2011-2012 Bài (5 điểm) a) ĐKXĐ: x ; x ≠ 15 x  11 A (0,5 ®iĨm)  x 2 x 3  x 1 x 3  x  3 x  1 15 x  11  3 x   x  3 2   x  1 x  3  (0,5 ®iĨm) x 3  x  1 (0,5 ®iÓm) 15 x  11  3x  x  x   2x  x  x     2  x  x  1  x x  5x     x  3 x  1  x  3 x  1 x     1 1     1  x  b) x = = 1 1 3 2 x 1 (0,5 ®iĨm) x 3 (0,5 ®iĨm) 2 1  1  x    24  17    x 3 1 22 2  x  15 x  x  17 x c) XÐt hiÖu: A      x 3 3 x 3 x 3 A  Ta cã: 17 x ≤ vµ 17 x   x  3> 0, x ≥ 0; x ≠ 0A  x Đặt (0,75 điểm) 2 0A 3 Bài 2: (3 điểm) 1 a) Tõ      (ab  ac  bc)  2abc a 1 b c Do a, b, c dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có: ab ac bc  3 a b 2c   3 a b 2c  2abc  2abc  3 a b 2c   (0,5 ®iĨm) (0,5 ®iĨm) (0,75 ®iĨm) (0,5 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) (*) a b 2c = t >  abc = t  t t (*)  2t t  3t    ( t  1) (2 t  1)   t   (do ( t  1) > 0, t > 0) 1  t   abc  b) Víi ®iỊu kiƯn x  1, y  ta cã: ThuVienDeThi.com (0,75 ®iĨm) y4 x 1 x y áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x - 1, ta cã: 1 x 1 x x 1 x   1x  1    (v× x  )  2 x Chøng minh t­¬ng tù ta cã: y4 1 4 y4 y y4  y       (v× y  )  2 y y4 1 x 1 M=     x y 4 VËy Max M =  x = 2, y = Bài (3 điểm) a) Với x  y, yz  1, xz  1, x  0, y  0, z  Tõ gt ta cã: M= (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) x  yz y  xz  x 1  yz  y 1  xz   x  yz y  xyz   y  xz x  xyz   x y  x yz  y z  xy z  xy  xy3z  x z  x yz   x y  xy  x yz  xy3z  x z  y z  x yz  xy z  (0,25 ®iĨm)  xy x  y   xyz x  y  z x  y  xyz x  y    x  y  xy  xyz x  y   z x  y   xyz    xy  xyz x  y   z x  y   xyz  (v× x  y  x  y  )  xy  xz  yz  xyz x  y   xyz 2 xy  xz  yz xyz x  y   xyz   xyz xyz 1    xyz x y z 2 (v× xyz  ) (0,75 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) 1   1    b)  x     x     x   x    x   (2) x x x x Điều kiện xác ®Þnh: x  2 1 1        (2)   x     x    x     x     x   x x   x   x     (0,25 ®iĨm) (0,25 ®iĨm) 1  2     x     x    x    x    16 x x     x  (lo¹i) x (TMĐK) (0,75 điểm) Vậy phương trình ®· cho cã mét nghiƯm x  8 (0,25 ®iĨm) Bài (3 điểm) ThuVienDeThi.com Gọi số đấu thủ đội A đội B x y (x, y  Z ; x ≥ 5) (0,5 điểm) Tổng số ván cờ đà đấu xy (ván cờ) Theo đề ta có phương trình: xy = x2 + 2y (0,75 ®iĨm) 2 x x 44  y(x-2) = x2  y = (0,75 ®iĨm) x2 x2 x2 x2 Để x, y nguyên dương (x 2) mà x > (do x > 5) nªn x – =  x = 4 62 (TMĐK) Khi y x  (0,75 ®iĨm) x2 62 VËy ®éi A cã người, đội B có người (0,25 điểm) Bài (6 điểm) Vẽ hình đến phần (0,5 điểm) 1.a) ฀ EDC  ฀ FBC (g.c.g)  CE  CF (1 điểm) b) ECF cân C CM phân giác C ECM  45o  ECB  BCM  45o ฀ ฀ ฀  45o  ACE  ECB  45o Mµ ACB ฀ ฀  ACE  BCM C D N A F B x M E (1 ®iĨm) EF EF CEF vuông C có CM trung tuyÕn  CM   AM  CM  M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AC hay M thuộc BD cố định (1 điểm) 2.a) Có BN = x  AN = a – x (0,25 ®iĨm) 1 SACFE = SACE + SCEF =  CD  AE   CE (0,25 ®iĨm) 2 XÐt ADC cã AE//BC AE AN BC.AN a(a  x) (Hệ định lí Ta-lét) (0,25 điểm) AE   BC BN BN x a(a  x)  a4  o 2 2 ฀ EDC cã D  90  CE  CD  DE  a   a    a  (0,25 ®iĨm) x x   2 a (a  x) a a a (x  a)  SACFE = (0,5 ®iĨm)   2 2x 2x 2x a (x  a) b) SACFE = 3.SABCD   3a  6x  ax  a  2x  (2x  a)(3x  a)  (0,25 ®iÓm) a Do x > 0; a >  3x + a >  2x  a  x N trung điểm cạnh AB (0,5 điểm) Vậy để ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vuông ABCD điểm N c) AEF vuông A có AM trung tuyến AM (0,25 điểm) trung điểm c¹nh AB ThuVienDeThi.com ...Môn Toán Năm Học 2011-2012 Bài (5 điểm) a) §KX§: x ≥ ; x ≠ 15 x  11 A (0,5 ®iĨm)  x 2 x 3  x 1 x... x (0,25 điểm) Bài (3 ®iĨm) ThuVienDeThi.com Gäi sè ®Êu thđ cđa ®éi A vµ đội B x y (x, y  Z ; x ≥ 5) (0,5 ®iĨm) Tỉng sè ván cờ đà đấu xy (ván cờ) Theo đề ta có phương trình: xy = x2 + 2y (0,75...   t   (do ( t  1) > 0, t > 0) 1  t   abc  b) Víi ®iỊu kiƯn x  1, y  ta cã: ThuVienDeThi.com (0,75 ®iĨm) y4 x 1  x y áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không ©m vµ x - 1, ta