PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6đ) x5 x 25 x x 3 x 5 Cho biểu thức A = 1 : x 25 15 x x x x Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x , x 25, x tìm giá trị nhỏ biểu thức B= A( x 16) Câu 2: (4đ) a) Giải phương trình: x x x x 21x 11 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx với x,y,z số dương x2 + y2 + z2 = z x y Câu 3: (3đ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1 6 x y yz zx 1 3x y z 3x y 3z x y 3z Câu 4: (6đ) Cho đường trịn tâm O đường kính AB M điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường trịn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vng góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1đ) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu ý a (6đ) Nội dung trình bày Tìm điều kiện x 0, x 25, x Rút gọn A b x z => x 3 1 1,0 1,5 x 3 x Ư(5) => Điểm 0,5 (loai ) 1,0 x x c B A( x 16) 5( x 16) x 16 x 3 5( x x 3 a (4đ) 25 x 3 x 3 25 x 3 0,5 6 1,0 => B => B = x=4 0,5 ĐK: x x=0,5 0,5 Biến đổi: x x x x 21x 11 x 42 x 1 x 42 x 1 2x 2x x 112 x 1 x 112 x 1 x 1( x x 11) 1,0 x 0(1) Hoặc x x 11 (2) Giải (1) x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) x=5 (thỏa mãn) b A= xy yz zx z x y Nên A2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 = ( x2+y2+z2 =1) z x y = B +2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,75 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 2y2 2 2 z x z x 2 y z z2 x2 Tương tự 2z x2 y2 x2 y2 z2 x2 2x z2 y Cộng vế với vế ta 2B B Do A2 = B +2 nên A Vậy Min A = x=y=z= a (3đ) Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 Áp dụng BĐT 1 a b ab 0,5 3 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y khơng ngun (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) b 0,75 (với a, b > 0) 11 1 ab 4 a b ThuVienDeThi.com 0,5 0,75 0,25 0,5 Ta có: 1 1 1 3x y z 2 x y z x y z x y z x y z 1 1 1 1 x y x z x y y z x y x z x y y z 1 1 16 x y x z y z 1 1 x y z 16 x z x y y z 1 1 x y z 16 y z x y x z Tương tự: 0,5 Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4 3x y z 3x y 3z x y 3z 16 x y x z y z 4 1 16 x y x z y z 4 1,0 C (6đ) 0,5 J A I M O O’ B D a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB CD : gt) ACMD hình thoi AC // DM, mà AC CB (do C thuộc đường trịn đường kính AB) DM CB; MJ CB (do J thuộc đường trịn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 = 900 ) + IMD = 900 (vì DIM Ta có : IDM = IDM Mà IJM (do IC = IJ = ID : CJD vng J có JI trung tuyến) 0,5 MJO' = JMO' = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); ˆ ' IMD ˆ đối đỉnh) JMO 900 IJ tiếp tuyến (O’), + MJO' 900 IJO IJM 0,5 J tiếp điểm b Ta có: IA = IM IO’ = AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) JIO’ vuông I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + Do SJIO’ SJIO’ = 2IJ.O’J = 4SJIO’ R2 O’J2 R2 IJ = O’J JIO’ vuông cân 0,5 0,5 0,5 0,5 có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = R 2 Khi MB = 2O’M = 2O’J = R (1đ) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 xy x y 167 (2 x 1)(2 y 1) 167 Do x,y nguyên dương (2 x 1);(2 y 1) Z (2 x 1);(2 y 1) Ư(167) Lập bảng tìm (x,y)=(0;83);(83;0) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 ...ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu ý a (6đ) Nội dung trình bày... MJ CB (do J thuộc đường trịn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 = 90 0 ) + IMD = 90 0 (vì DIM Ta có : IDM = IDM Mà IJM (do IC = IJ = ID : CJD vng J có... = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); ˆ ' IMD ˆ đối đỉnh) JMO 90 0 IJ tiếp tuyến (O’), + MJO' 90 0 IJO IJM 0,5 J tiếp điểm b Ta có: IA = IM IO’ = AB = R (R bán kính