Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán Trường Thcs Xuân Dương43871

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6đ)  x5 x   25  x x 3 x 5  Cho biểu thức A =   1 :    x 5 x    x  25   x  x  15 Rút gọn A Tìm số nguyên x để A nguyên Với x  , x  25, x  tìm giá trị nhỏ biểu thức B= A( x  16) Câu 2: (4đ) a) Giải phương trình: x  x   x   x  21x  11 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx   với x,y,z số dương x2 + y2 + z2 = z x y Câu 3: (3đ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1   6 x y yz zx 1    3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB M điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường trịn tâm O’ đường kính MB Gọi I trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vng góc với AB I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) J a) Chứng minh: Đường thẳng IJ tiếp tuyến đường tròn (O’) b) Xác định vị trí M đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn Câu 5: (1đ) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -Hết - ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu ý a (6đ) Nội dung trình bày Tìm điều kiện x  0, x  25, x  x  z => 1,0 Rút gọn A  b Điểm 1,5 x 3 x  Ư(5)  x 3 1 0,5 (loai ) =>  1,0  x    x  c B A( x  16) 5( x  16) x  16   x 3 5( x   x 3 25 x 3  x 3 25 x 3 0,5 6 1,0 => B  => B =  x=4 a 0,5 ĐK: x  x=0,5 0,5 x  x   x   x  21x  11 (4đ) Biến đổi:  x  2 x  1  2x 1  x  112 x  1  x  2 x  1  2x 1  x  112 x  1   x  1( x    x  11)   x   0(1) Hoặc x    x  11  (2) Giải (1) x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) x=5 (thỏa mãn) b A= 1,0 2 2 0,5 xy yz zx x y y z z x   Nên A2 =    ( x2+y2+z2 =1) z x y z x y = B +2 0,75 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương ta có x2 y2 y2 z2   z2 x x2 y2 y2 z2 y2 z2 z2 x2 Tương tự y    2z 2 2 z x x y 0,75 ThuVienDeThi.com x2 y2 z2 x2   2x Cộng vế với vế ta 2B   B  z y Do A2 = B +2  nên A  Vậy Min A =  x=y=z= a (3đ) 3 Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) b Áp dụng BĐT  1   a b ab 0,5 (với a, b > 0) 0,5 0,75 0,25 0,5 11 1     ab 4 a b Ta có:  1 1 1      3x  y  z 2 x  y  z   x  y  z   x  y  z x  y  z   1  1 1 1             x  y   x  z  x  y    y  z    x  y x  z x  y y  z    1 1      16  x  y x  z y  z  Tương tự: 1 1       x  y  z 16  x  z x  y y  z  1 1       x  y  z 16  y  z x  y x  z  Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 16  x  y x  z y  z  4 1         16  x  y x  z y  z  ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 1,0 (6đ) a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB  CD : gt)  ACMD hình thoi  AC // DM, mà AC  CB (do C thuộc đường trịn đường kính AB)  DM  CB; MJ  CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng ฀ ฀ ฀ = 900 ) + IMD = 900 (vì DIM Ta có : IDM ฀ = IDM ฀ Mà IJM (do IC = IJ = ID :  CJD vuông J có JI trung tuyến) 0,5 0,5 0,5 0,5 ฀ ฀ ฀ ˆ ' MJO' = JMO' = IMD (do O’J = O’M : bán kính đường trịn (O’); JMO ˆ đối đỉnh) IMD ฀  900  IJ tiếp tuyến (O’), ฀ + MJO' ฀  900  IJO  IJM J tiếp điểm b Ta có: IA = IM  IO’ = AB = R (R bán kính (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)  JIO’ vng I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 +  2IJ.O’J = 4SJIO’ R2  O’J2 Do SJIO’ 0,5 R2 SJIO’ = IJ = O’J  JIO’ vuông cân 0,5 0,5 0,5 0,5 có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2  O’J = R 2 Khi MB = 2O’M = 2O’J = R ThuVienDeThi.com 0,5 (1đ) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83  xy  x  y   167  (2 x  1)(2 y  1)  167 Do x,y nguyên dương  (2 x  1);(2 y  1)  Z  (2 x  1);(2 y  1)  Ư(167) Lập bảng tìm (x,y)=(0;83);(83;0) ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ...ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN Năm học: 2014 – 2015 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu ý a (6đ) Nội dung trình bày Tìm điều kiện x  0,...   2z 2 2 z x x y 0,75 ThuVienDeThi.com x2 y2 z2 x2   2x Cộng vế với vế ta 2B   B  z y Do A2 = B +2  nên A  Vậy Min A =  x=y=z= a (3đ) 3 Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320... AB)  DM  CB; MJ  CB (do J thuộc đường trịn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng ฀ ฀ ฀ = 90 0 ) + IMD = 90 0 (vì DIM Ta có : IDM ฀ = IDM ฀ Mà IJM (do IC = IJ = ID :  CJD vng J có JI trung tuyến)