Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cụm Môn: Toán Thêi gian: 120 (Kh«ng kĨ thêi gian giao đề) A Trắc nghiệm: HÃy chọn chữ A, B, C, D trước kết đúng: Câu 1: M = x2 + y2 + z2 A M xy + yz + xz C M > xy + yz + xz B M xy + yz + xz D M 2( xy + yz + xz) C©u 2: NÕu x + y = th× x.y: A Lín C Không bé B Không lớn D Bé Câu 3: Cho N = x + x A N B N > C N - D Mét kết khác Câu 4: Tập nghiệm phương trình (x2 – 6x + 9)2 – 15 x2 + 90 x – 151 = gåm: A Bèn phÇn tư C Tập rỗng B Hai phần tử D Một phần tử Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có BD = 12, lÊy E thuéc CD cho ED = DC, AE cắt BD K Độ dài DK lµ: A B C 3,5 D Câu 6: Cho hình bình hành ABCD, AB = 9, AD = Tia phân giác góc A cắt BC E Độ dài EC là: A 6,5 C 10 B D Một kết khác Câu 7: Cho x > y > vµ x – y = 7, xy = 60 giá trị x2 + y2 lµ A – 119 B 169 C 130 D 79 Câu 8: Đa thức dư phép chia ®a thøc: P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 cho ®a thøc: Q(x) = x2 – lµ: A R(x) = 5x B R(x) = - 5x C R(x) = 5x +1 D R(x) = 5x – B Tù ln: C©u 1: Cho biĨu thøc: P = x 1 x2 x x2 : ( + ) x 1 x x2 x x 2x a) Rót gän P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P x > Câu 2: Kẻ đường cao BD CE tam giác ABC, đường cao DF GE tam gi¸c ADE a) Chøng minh: AD.AE = AB.AG = AC.AF b) Chøng minh: FG // BC C©u 3: Cho tam giác ABC (AC > AB) lấy điểm D, E tuú ý thø tù n»m trªn AB, AC cho BD = CE Gọi K giao điểm DE, BC Chứng minh tỉ số phụ thuộc vào cách chọn điểm D E Câu 4: Cho a, b, c > chøng minh: 1 1 + 3 + 3 abc a b abc b c abc c a abc http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com KE không KD Đáp án môn Toán cấp cụm A Trắc nghiệm: điểm ( Mỗi câu 0.75 ) Câu KÕt qu¶ A B D B D B Tự luận: Câu 1: điểm B B A x( x 1) x 1 x2 a P = :( + ) x 1 x x( x 1) ( x 1) 0.25 x( x 1) x 1 x2 = :( + + ) x x 1 x( x 1) ( x 1) 0.25 x( x 1) ( x 1)( x 1) x x = : x( x 1) ( x 1) 0.5 x( x 1) = : ( x 1) 0.25 x 1 x x x( x 1) x( x 1).x( x 1) x2 = = x 1 ( x 1)( x 1) 0.5 x2 VËy P = x 1 x2 b P < < víi mäi x ≠ ±1; x ≠ x 1 x2 -1 => x – > => x – + x 1 => P DÊu “=” x¶y x = ( Tho¶ m·n ) VËy, minP = x = 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 1.0 0.25 A C©u 2: ®iÓm a (2 ®) BD // EG => F G D AE AG AB AD E => AE.AD = AB.AG T2 AF AD AE AC => AF.AD =AE.AD => AE.AD = AB.AG = AF.AC http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 B ThuVienDeThi.com C b) => ( ®) AB.AG = AF.AC AF AG AB AC => FG // ED C©u 3: (2 ®) A D E B K G C VÏ DG // AC ( G thuéc BC) KE KC KE EC BD => KD KG KD DG DG BD BA KE AB mà: => không đổi DG AC KD AC Câu 4: ( đ) Ta cã: a2 + b2 2ab a2 + b2 - ab ab ta cã: a3 + b3 + abc = (a + b) (a2 + b2 – ab) + abc (a + b) ab + abc ( a + b > 0) a3 + b3 + abc ab(a + b + c) Hai vÕ d¬ng ta cã 1 3 a b abc aba b c 1 t¬ng tù: 3 c b abc cba b c 1 a c abc aca b c 1 1 1 + + 3 3 3 a b abc c b abc a c abc a b c ab bc ca 1 1 + + 3 3 a b abc c b abc a c abc abc DÊu b»ng x¶y a = b = c http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm môn toán A TNKQ: Mỗi câu cho 0,75 điểm ĐA/Câu x A x x B x x C x D B Tự luận Bài (2 điểm ) (1,0 ®) 3(x + 2) – > 2(x – 3) + 3x + > 2x – 3x – 2x > – – x > - NghiƯm cđa bpt x > -7 (1,0 đ) (x 2)2 + x2 2x2 – 3x – 2x2 – 4x + 2x2 – 3x – + 2x2 – 3x + 4x – 2x2 x NghiƯm cđa bpt x Bài (4 điểm ) ( 2,0 đ ) TXĐ: x 1; x y; y MTC : x y x 11 y P x 1 x y 1 y x y x y x y 1 x 1 y x x 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® x y 1 x 1 y x y xy 1,0 ® x y 1 x 1 y P x y xy 0,5 ® x y xy x y xy x 1y 1 2 ( 2,0 đ ) Để P =3 0,5 đ 0,5 đ Các ước nguyên : 1; Suy ra: x 1 x y 2 y 3 x 1 x (lo¹i không thuộc TXĐ) y y x 1 x y y x 2 x 1 (loại không thuộc TXĐ) y 1 y 2 VËy: víi (x;y) = (3;0) (x;y) = (0;-3) P = 1,0 đ Bài 3.( điểm): (2,0 đ) EK BE (1) AE ED AE BE Do AB//DG, nªn (2) EG ED Do BK//AD, nªn A B E 0,5® K 0,5® D http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 ThuVienDeThi.com C G Tõ (1) vµ (2) suy EK AE AE EG D ®ã, AE2 = EK.EG (2,0 ®) Ta cã AE DE suy EK EB Tương tự: 0,5đ 0,5đ AE DE (3) AK DB AE BE (4) AG BD 0,5® 0,5® Céng tõng vÕ (3) víi (4) ta được: AE AE DE BE BD 1 AK AG DB DB BD 1 Hay AE AK AG 0,5® 0,5® ( 2,0 đ) Đặt AB = a, AD = b BK a KC CG KC CG b DG 1,0đ Nhân theo vế hai đẳng thức ta được: BK a suy BK.DG = ab không đổi b DG 1,0đ Bài 4.( ®iĨm): Ta cã: a a ac < < abc ba abc b b ba < < abc bc abc c c cb < < abc ca abc (1) 0,5 ® (2) 0,5 ® (3) 0,5 ® Céng tõng vÕ (1), (2), (3) : 1< a b c + + AF.AD =AE.AD => AE.AD = AB.AG = AF.AC http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 B ThuVienDeThi.com C b) => ( ®) AB.AG = AF.AC AF AG AB AC => FG // ED C©u 3: (2 ®) A D E B K