Chuyên đề Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng37514

GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng A – NGUYÊN HÀM I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa tính chất Định nghĩa:  VD 01: ( x2 ) '  x  x' 1  (a x ) '  a x ln a   F '( x)  f ( x) f ( x)dx  F ( x)  C với  C  const (ln x) '  , x    2xdx  x  C x (s inx) '  cos x   dx  x  C a x ln adx  a x  C (e x ) '  e x  x dx  ln | x | C  cos xdx  sin x  C  e dx  e  C  x Tương tự ta có nhiều ví dụ khác nữa… Các tính chất nguyên hàm: Tính chất 1: Tính chất 2: Tính chất 3: x  f ( x) 'dx  f ( x)  C  k f ( x)dx  k  f ( x)dx, k  const  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx VD 02: a)  xdx b)  x dx d)  (cos x  sin x)dx e)   Nguyên hàm số hàm thường gặp Bảng 1:  kdx  kx  C x n 1  C , n  1 n 1 ax x a dx  C  ln a VD 03: a)  x dx    e x  dx x  f)  3x dx n x dx   Với a  e :  e x dx  ex  C  ex  C ln e b)  xdx c)  3x dx f)  x dx i)   3x 1  x   dx 3 l)  dx  o)  r)  (2 x d)  4x dx e)  x3 dx g)  x      x  dx   h)  ( x  1)( x j)  (2 x  x  7)dx k)   x m)  10 dx n)  x  x dx q)     x  x  dx 2x  a dx C (n  1) x n 1 Với n  1:  x 1dx   dx  ln | x | C x x n  x dx  c)   x)dx   x   dx 2 x x x x dx x2 p)  x( x  1)( x  5)dx YM: Quangthai19885 trang ThuVienDeThi.com  1) dx Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng ( s) x  1)( x  x  2)dx t) Bảng 2:  (e x  1)3 dx  (2 x  1) g) dx  e dx x x (ax  b) n 1 n ( ax  b ) dx  C  a n 1 ax b ax  b  e dx  a e  C  ax  b dx  a ln | ax  b | C k ax b ax  b  C k dx  a ln k VD 04: a)  x  dx x4 d)  x  x  dx u) b)  x  dx c) e) x3  x  x  dx f) h)  x( x i)  1)3 dx 4x  dx  2x  x3  x  dx x  e x  e 2 x  2dx Bảng 3:  sin xdx   cos x  C  sin x  cos xdx  sin x  C dx   (1  cot x)dx   cot x  C  cos x dx   (1  tan x)dx  tan x  C  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx   [1  cot (ax  b)]dx (ax  b)   cot(ax  b)  C a VD 05: a) b)  sin xdx  cos (ax  b) dx   [1  tan  sin d) g) k)  tan xdx  cos xdx  sin 2xdx e) h) l)  cos xdx  cot xdx  sin x.cos xdx x  cos dx m)  4(cos x  sin x)dx  sin xdx  cos(3x  4)dx  sin x cos xdx c) f) i) o)  sin xdx p)  cos q)  sin x cos r)  sin 3xdx s)  cos xdx II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Một số kết thường gặp tính nguyên hàm  f ( x)dx   f (t )dt  (ax  b) u'  u dx  ln | u | C Nếu n n  u '.u dx  dx    cos (3x  2) dx (ax  b)]dx  tan(ax  b)  C a n) 2 xdx x sin xdx 1 C a (n  1)(ax  b) n 1 u n 1 C n 1  f ( x)dx  F ( x)  C  f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C Các phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến: YM: Quangthai19885 trang ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng Bước 1: Đặt t  u ( x) , ta dt  u ( x) ' dx Bước 2: Tính nguyên hàm theo biến t Bước 3: Thay t  u ( x) để kết theo biến x VD 06: a)  ( x  1) d) g) x b)  1 x 4x   x  x  dx e) sin x  e cos xdx 2x 1 dx  x 1 c) x  2 x x   18  1 dx f)  sin h) 1 x  x.e dx i)  dx k) x l)   x dx n)  sin o)  x cos( x q)  cot xdx r) 3e c)  x e dx  xe dx  x cos xdx 100 9x2 j)  m)  3x p)  tan xdx 1 x dx dx  x dx x x cos dx 2 b) Phương pháp lấy nguyên hàm phần: I   f ( x) g ( x)dx  u  f ( x) Đặt  dv  g ( x)dx x cos xdx dx 5x  dx x (1  x ) x 2x )dx dx du  f ( x) ' dx   v   g ( x) Khi đó: I  uv   vdu VD 07: a)  x cos xdx d) g) j)  ln xdx  x cos xdx  x ln(2 x)dx b) e) h) l) LUYỆN TẬP  ln xdx x  x sin dx  x sin xdx  e dx f) i) x x x 9 Phương Pháp: nguyên hàm hữu tỉ P( x)  Q( x) dx  Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) ta chia P(x) cho Q(x)  Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x): 1 1  (ax  b)n dx   a (n  1) (ax  b)n1  C dx  1   ( x  a)( x  b)  a  b   x  a  x  b  dx dx  1   x  a  2a   x  a  x  a  dx 1) Tính nguyên hàm sau: YM: Quangthai19885 trang ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng a) d) g) j) dx 1 x2  x   x  3x  dx dx  x2  5x  x3  x  dx x dx x ( x  1) m)  p) x 1  x3  dx g) x x  e dx ln | x  |  x  dx 3) Tính nguyên hàm sau: a)  d) 3    x  x  x x dx j) m) x x x dx  xdx x  xdx  x 2x x2 1 n) b) x 1  x 1  10 x dx e x  e x  e x  e x dx x k) t) j) g) h) x 1 dx 4 3x  3x   x3  3x  dx dx  x2  x  x5   x dx x c) f) i) l)  x  x  dx e) h) 3.2 x  2.3x  x dx ex  e x  dx sin(ln x)  x dx x2  (1  x)100 dx r)  x( x  1)( x  2)dx u) x2   x  dx c)  (2 f) i)  3x ) dx x (ln x  1)  x dx ex  e x  4e x  dx l) ex  e x  e x dx c) (  x  13 x  x e x dx x2 f)   x2 dx 2 x i)   1 x  1 x n)  xdx 4 x  4 x o)  b)  sin cos2 x dx x cos x c)   4sin cos  tan e)  tan  tan  cot  tan  tan  tan k)  e x  e2 x dx b)   e) h) k) dx  2   3x  x3  dx x2   x dx dx  3x  dx  x2  x  x  11  x  x  dx x2  x   ( x  1)( x  2)( x  3) dx x o) x2  x  dx 2) Tính: d) e) q) s) a) b)   x x3  x2  dx  dx l) x  1)( x  x  1)dx x  x 4  2dx x  x  (1  x )  x  x 1 3 dx dx (1  x)  x  x6  5x  x dt 4) Tính: a) d) g) j)  sin dx x cos x sin x   3sin x dx  tan xdx  cot xdx h) k) xdx f) xdx i) xdx l)  x x xdx xdx n xdx, n  ฀ x  dx 2 5) Tính nguyên hàm sau: YM: Quangthai19885 trang ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng a)  cos x   cos x dx b)  d)  cos e) g) j) x sin xdx cos x  cos x  cos x  sin x  sin x  sin 3x dx dx  cos5 x sin x c)  sin x cos8 xdx  sin x  cos x dx f)  sin x sin x sin 3xdx h) sin x cos3 x   cos2 x dx i)  sin k)  sin l)  sin o)  sin c)  x tan  sin 2xdx sin x  cos x x cos xdx sin x  cos4 x dx dx p) q)  2sin x  cos x   sin x cos xdx sin x cos x I  dx J   dx Tính I, J s) sin x  cos x sin x  cos x 6) Tính nguyên hàm hàm số sau: m)  cos x sin xdx a)  ln x    x  dx n) d) b)  cos x ln(1  cos x)dx e)   x ln x   x  x2 x cos xdx x cos3 xdx dx x dx r)  , cos x  a cos x  b sin x x  cos x dx dx f) a 2 xdx sin x cos x dx sin x  b cos x B – TÍCH PHÂN I – KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa tính chất Mọi tính chất học nguyên hàm sử dụng cho tích phân Ok!  b  f ( x)dx  F ( x) |  F (b)  F (a) Định nghĩa: b a a VD 08: 1  2  x  x  dx a) 3 x dx Các tính chất tích phân: b)  (1  x) c) 2010 dx a  f ( x)dx  Tính chất a b a  f ( x)dx   f ( x)dx Tính chất a b b c c a b a  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx Tính chất VD 09: a)  (x 1  1  t  t  t  dt  x  2)dx b) c)  (5 x  2)dx  d)  (2 cos x  sin x)dx YM: Quangthai19885 e) y y  (3  ) dy trang ThuVienDeThi.com f)  s.s s s ds Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng 5 g)   sin x  cos x dx  sin x  h) | x  x  | dx i) 5 3  cos 3xdx   cos 3xdx   cos 3xdx II – PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến dạng Bước 1: Đặt t  u ( x) , ta dt  u ( x) ' dx x a b Bước 2: Đổi cận t t1 t2 Bước 3: 3 Thay cận biến t ta tích phân theo biến t Tính tích phân theo định nghĩa VD 10: a)  2 x  3dx b)  xe x2 dx c)  x  1dx  d) 4  t (1  t )dt e) tan x 0 cos2 x dx f)  (x 5x dx  4)  g)  4x h) dx  (1  cos 3x) sin 3xdx x 1 Phương pháp đổi biến dạng Bước 1: Đặt x  u (t ) , ta dx  u (t ) ' dt x a b Bước 2: Đổi cận t t1 t2 Bước 3: i)  t  2t (2  5t )dt dx Thay cận biến t ta tích phân theo biến t Tính tích phân theo định nghĩa VD 11: a)   x dx b)  0 x4 e) 0 x  dx Phương pháp tích phân phần d) dx 1 x c) x 0 x  dx  1 x f) x  x dx b I   f ( x) g ( x)dx a du  f ( x) ' dx   v   g ( x)  u  f ( x) Đặt  dv  g ( x)dx b Khi đó: I  uv |ba   vdu a VD 12:  a) x  xe dx b)  x ln xdx c)  x sin xdx  2 d)  x cos xdx YM: Quangthai19885 e) x ln xdx f)  ( x  1)e dx x trang ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng   g)  x sin x cos xdx e h) x cos xdx  i) 0 x3 dx x2  LUYỆN TẬP P( x)  Q( x) dx Phương pháp: Tích phân hàm hữu tỉ  R( x)   Nếu P(x) có bậc lớn Q(x): chia P(x) cho Q(x) ta   A( x)  dx Q( x)  R( x)  Nếu P(x) có bậc nhỏ Q(x): tương tự với việc ta tính  dx Q( x) + Xét Q( x)  ax  bx  c (có bậc 2) R( x)  mx  n TH 1: Q( x)  a ( x  x1 )( x  x2 ) (x1, x2 hai nghiệm Q(x) = 0) R( x)  A  Q( x) dx    x  x  B   dx với x  x2  k  k  1   ( x  a)( x  b)dx  a  b   x  a  x  b  dx TH 2: Q( x)  a ( x  xo ) (xo nghiệm kép Q(x) = 0)  B dx  ( x  xo )  o TH 3: Q(x) = vơ nghiệm, ta phân tích để R( x)  A.Q( x) ' B đó: R( x)  A  Q( x) dx    x  x   A.Q( x) ' B    dx Q( x) Q( x)  Trường hợp ta sử dụng phương pháp đổi biến dạng + Xét Q( x)  ax3  bx  cx  d ( có bậc 3) R( x)  mx  nx  p TH 1: Q( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) R( x)  Q( x) dx    R( x)  A  Q( x) dx    x  x  B C    dx x  x2 x  x3  TH 2: Q( x)  ( x  x1 ) ( x  x2 ) R( x)  A  Q( x) dx    x  x  B C    dx ( x  x1 ) x  x2    B C  dx  ( x  xo ) ( x  xo )  TH 3: Q( x)  ( x  xo ) R( x)  A  Q( x) dx    x  x o TH 4: Q( x)  ( x  xo )(ax  bx  c) Bx  C   dx ax  bx  c  o + Xét Q(x) hàm có bậc lớn tốn xét với dạng đơn giản 1) Tính tích phân sau R( x)  A  Q( x) dx    x  x a)  x (1  x ) dx d)   dx x( x  1) YM: Quangthai19885  b) 19  x(1  x) dx c) e) trang ThuVienDeThi.com (1  x3 ) n dx, n  1, n  ฀ x2 0  x dx x f) x  4 x dx Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng g) x4  2 x3  x dx h) j) 1  x2 1  x dx , đặt t  x k) 1 m) n) p)  (2 x  1) dx q)  (3x  1) dx t) y) x xdx  4x  dx 3 x  3x  o) z) x 10  ( x  2) dx r)  dx 3 2x2  dx x2  xdx 2 x  x  u) w) 4 v) 1  x2 1  x dx xdx 0 x  l)  x(1  x) dx 1 s) i) x3 0 x  x  dx 2 1 x 2  x dx dx 0 x  3x  x3 dx 0 x  x  dx 0 x  x) x dx  4x  xdx  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)( x  5) Phương pháp: Tích phân hàm lượng giác  Biến đổi tích phân (sử dụng công thức lượng giác)  Đổi biến số + Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác (PP đổi biến số) + Đổi biến số theo chu kì hàm lượng giác Quy tắc chung: Đặt t    x, t   x (Tích phân đặc biệt – đẳng thức tích phân) x 2t 1 t2 + Đổi biến qua t  tan Khi đó: sin x  cos x  1 t2 1 t2 2t 1 t2 tan x  cot x  1 t2 2t a sin x  b cos x  c Tích phân lượng giác tổng quát:  dx , ta biến đổi d sin x  e cos x  f a sin x  b cos x  c (d sin x  e cos x  f ) ' d cos x  e sin x  A B  A B d sin x  e cos x  f d sin x  e cos x  f d sin x  e cos x  f  Sử dụng cơng thức tích phân phần Chú ý công thức lượng giác: 2sin x.sin y  cos( x  y )  cos( x  y )   sin a  cos a  sin(a  )  cos(  a ) cos x.cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) 4   2sin x.cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) sin a  cos a  sin( x  )   cos(  x) 4 x y x y x y x y sin x  sin y  2sin cos sin x  sin y  2sin cos 2 2 x y x y x y x y cos x  cos y  cos cos cos x  cos y  2sin sin 2 2 2) Tính (biến đổi tích phân bản) a) 4  (cos x  sin x)dx YM: Quangthai19885   b)  cos xdx trang ThuVienDeThi.com c)  cos x(sin x  cos x)dx Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng d)   2 dx 0  sin x e) f)  (sin x cos x  cos3 x sin x)dx xdx   g)  sin 4  cos2 x(sin x  cos x)dx  h)     2 cos x cos xdx i) dx   sin x đổi sin cos  sin xdx 2 2 j) k) 0 cos x cos xdx 0 sin x cos xdx 0 cos x  3) Tính (đổi biến hữu tỉ hóa tích phân lượng giác) dx sin(a  x) a) b) c)  cos 3x  cos2 x dx  d)     dx x sin h) k)  4sin xcos3 xdx n)  tan xdx l)  sin x 0  sin x dx o) sin xdx x3 t)  cos xdx  cos xdx  cos x  q) cos x   sin x dx  dx (2  cos x)(3  cos x) sin x 0  cos2 x dx i)     2 2 sin x 0  cos x dx  5(5  cos t ) sin tdt    p) f)  sin x cos x(1  cos x) dx m)  sin x(1  sin x)dx   j) e) 4 g)  sin x dx (2  sin x) dx  sin x  2sin x r)  sin xdx  s)  cos 4) Tính (đổi biến qua t  tan a) 1 sin cos dx x x x )    3sin x  cos x 0 2sin x  cos x dx dx 0 sin x  cos x  b)  c) sin x  cos x   4sin x  3cos x  dx  d) x dx 0 cos x e) sin xdx  cos x  2sin x f) cox  s inx  sin x  cos x dx  g) cos x  3sin x   4sin x  3cos x  dx 5) Tính (sử dụng cơng thức tích phân phần) a)    x cos xdx YM: Quangthai19885 b)  x cos xdx trang ThuVienDeThi.com  c)  x cos x sin xdx Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng  d)  (2 x  1) cos xdx e) g)    ( x sin x) 2 dx  (x f)  2  cos x ln(1  cos x)dx h)  1) sin xdx 0   sin x  e sin x cos xdx  x cos xdx i)    j) xdx  sin x k) x  sin xdx  xcos xdx l) 0   m)  x sin xdx n) xdx  cos 0 o) x Phương pháp: Tích phân hàm vơ tỉ (chứa thức)  Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ Sử dụng phương pháp đổi biến dạng b a x  a dx Đặt t  x  x  a , (phép Ơle)  Đưa tích phân vơ tỉ tích phân lượng giác (Phương pháp đổi biến dạng 2) b Đặt x  a tan t a a  x dx b  a a  x2 dx Đặt x  a sin t x  a cos t b  a  x dx Đặt x  a sin t x  a cos t a  Sử dụng tích phân phần b  x  adx Sử dụng tích phân phần a 6) Tính tích phân sau (Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ) a)  x  3dx 2x 1 b) d)  1 x  x 1 dx e) 28  x  xdx h)  x dx x2  YM: Quangthai19885  xdx f) x 1 dx 3x  i) x3 x  1dx l)   x q) x x3  1dx  xdx  1 o) p) n)  x dx 0  x  x dx  x k) m)   x  x dx x j)  c) g) dx 25  x  dx x 1  x  trang 10 ThuVienDeThi.com r) x5  x3 x2  dx x2 1 xdx  x2  x dx xdx x2  Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng s) dx  t) x x2  v) x x x2  1  xdx x) dx  xdx 2 x  2 x  u) x dx x  x2 7) Tính (Lượng giác hóa tích phân vơ tỉ) 2 a) x  x dx b) j) x ln x  dx h) k)  4x2   x2 dx x2  2  x dx dx  a2  x2 s) c)  (2 x n) ,a0 1 x q)   1) x  i) x l)  a o)  , đặt x  tan t dx 9 x dx  x2 a  x dx, a  0 dx x  x2 2 t)  x dx 2 xdx  x dx a p) x dx 0 x6  1 dx  dx 1 m)  x2 0 g) x  1 x dx , đặt x  cos t 1 x  r) dx x x2 1 u)  (1  x )3 dx 8) Tính (sử dụng tích phân phần) a)  x  1dx b)  x  1dx Phương pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)  Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ  Sử dụng tích phân phần 9) Tính (Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ) x3 a) b) x e dx 1 1 x (ln x) dx e2 d)  e dx x ln x e)  e x  1dx h) j) dx 0 e x  m) (1  e ) dx 0  e2 x e p) x YM: Quangthai19885  i) e x  e  x  2dx k) dx 0 e x  e 0  e x dx  (e 1 l) x e ln 2 x q) x 1 n) ln(2  x) dx  x  e x ln xdx  ln x f) e x dx   ex 1 x  xe dx ln g) c) e o) x dx ln x  dx  4e  x ln(ex)   x ln x dx dx , đặt t=-x sử dụng phép truy hồi  1)( x  1) trang 11 ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng e r) dx 1 x(1  ln x) s)  e dx x x 1 u)  x v) dx t) e  e4 tan xdx  x dx   ln | cos x | 0 x e w) 1  e dx x cos (ln x  1)  e x) e2 dx x y)  ln x 10) Tính (sử dụng tích phân phần) e a) x b) ln xdx  xe 2 x  x ln x 1 x dx e) h) c) dx (e x  1)3  ln(2 x  1)dx  x  1x  x    e dx 1  x x xe 0 (1  x)2 dx f)  ( x  3)e dx x i) 1  1  [ ln( x  1)  ln( x  1)]dx e x dx 0 e g) ln z) ln 2 d)  cos (ln x)dx  (2 x  1) ln xdx  e j)  x ln xdx k)  cos x ln(sin x)dx l)   (1  x) e 2x dx  e m) e 2x n) sin xdx x e 2 o) ln xdx p) q) s) e x  e sin xdx r)  t) cos xdx  ln( x  e x sin xdx x ln xdx   x ln(1  x )dx  x x  1)dx u)  [ln( x  x  1)]3 dx  v) w) 1  x ln 2x  e sin 3xdx e y) 2x  x(e  x  1)dx x)  (x  x)e x dx 2 z) xdx  ln( x  1)dx Phương pháp: Tích phân hàm chứa trị tuyệt đối Được ứng dụng nhiều tốn tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể Bước 1: xét dấu biểu thức chứa trị tuyệt đối đoạn Bước 2: Chia đoạn [a; b] , [b; c] , [c; d ] ,… Bước 3: Tính b c d a b c  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  11) Tính YM: Quangthai19885 trang 12 ThuVienDeThi.com Bn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng 1 a) | x  1| dx  b) 5  | x  | dx e) 3 g)  c) h)  1| dx   | cos x | dx f)  i) x  x 2  2dx |x 2 2 d)  x  x2 dx 1 x  | cos x | 3 e x  e  x  2dx  sin xdx  cos 2xdx j)  x  x  9dx Phương pháp: Tích phân đặc biệt – Các đẳng thức tích phân  a  a 2  f ( x)dx f hàm chan  f ( x) liên tục [  a; a ] ,  f ( x)dx   a  f hàm le  a  f ( x) liên tục, chẵn [  a; a ] ,  f ( x) liên tục [  a; a ] ,  1 a f ( x)  a b x  dx  0 f ( x)dx , đặt t   x f ( x)dx   [f ( x)  f ( x)]dx  f ( x) liên tục [-1;1] , đó:    f (sin x)dx   f (cos x)dx , đặt t     x    xf (sin x)dx   f (sin x)dx    f (sin x)dx , đặt t    x Chú ý: b b a a  f ( x)dx   f (a  b  x)dx  0 sin mx sin nxdx        sin   n xdx   cos n xdx với n  ฀   2  ln x   x dx 2 mn , m, n số nguyên dương mn a) đặt t  a  b  x f ( x)dx   f (1  x)dx , f ( x) liên tục  12) Tính   cos x ln x   x dx b) 2 c)   ln x   x 2  dx 13) Tính  a) x 1  x dx b)    x | sin x | dx  2x 2 c)   sin x sin x cos x dx ex 1 14) Tính YM: Quangthai19885 trang 13 ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng x  sin x a)  x  dx 1 15) Tính 1 b)  a) x sin x 0  cos2 x dx sin x dx cos x  sin x  c) b) 1  x2 dx , đặt t  x x   x sin x cos sin x  cos x  sin x dx   xdx c) sin n x 0 cosn x  sin n x dx e)    d) dx 1 (e x  1)( x  1)   sin x  f)  ln   cos x  dx C - ỨNG DỤNG LUYỆN TẬP D – ƠN TẬP 1) Tính ngun hàm sau: a)  (x d)  1   x  x  dx  x  4)dx c)     x  x  dx f)  (a  a  a  2dx cos x   2sin x dx i)  n)  ( x  9) dx o) q)  dx 2x 1 r) b)  (ax e)   x  x  dx g) j)  (a  b )  tan xdx x x 3x  m)  ( x  1) p)  dx dx xdx 1 x xdx  ( x  1)3 h) k)  b) dx 3 x x x5  3x  x  dx  x dx x v) w)   (2  x )dx  ex dx xdx y) z)  sin x cos2 x   x2 2) Tính nguyên hàm sau phương pháp đổi biến số: s) a) x 23  x3 dx YM: Quangthai19885 t) b)  xe  x2 dx trang 14 ThuVienDeThi.com l) x  1)3 dx a x  a  x  2dx sin x dx x  (2  x)2 dx  cos x  cos2 x dx  cos dx x2  x2 u)  x)  (2 x  1)( x c)  (1  x x 2 )  x  3)dx dx Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng d) g) j)  (1  x) x dx cos x  sin x  sin x  cos x dx sin x  cos2 x dx  e x  e x dx e) h) k) (ln x)  x dx x  (1  x )2 dx  cos xdx f)  sin x cos i) x l) sin x  cos4 x dx xdx sin dx x x3 o)  x  dx  x x  1dx ln x e2 x sin x dx p) e cos xdx q) r)  x  e2 x  dx  x2 1 x2  dx s) t)  x4   x  x  dx 3) Áp dụng phương pháp lấy nguyên hàm phần tính nguyên hàm sau: x x a) b) c)  (1  x)e dx  xe dx  x ln(1  x)dx m) n) e)  ln x  h)  k) x d)  x sin g)  j)  (2 m) x  sin x dx n) p)  sin 3x cos xdx q) s) x e v) xdx ln(sin x) dx cos x x  3x ) dx sin xdx t) x cos xdx w)   x dx ln(sin x) dx cos x  xdx   x dx sin x cos x  a sin x  b cos x 2  x ln( x  1)dx  xe dx x 4) Bằng cách biến đổi hàm số lượng giác tính: a) b)  sin x dx  sin xdx 4 d) e)  cos x sin x dx  sin x cos xdx g) h)  sin x sin xdx  sin 3x cos xdx 5) Tìm nguyên hàm hàm số sau: x a) b)  x  dx  x  x  dx 2x d) e)  ( x  3)( x  4) dx  ( x  1)( x  3) dx g) j) m) x3  x  dx x2  x  x  dx x  x  dx YM: Quangthai19885 x2 dx  2x 1 dx  x ln  x dx i)  x(3  x) dx l)  ( x  2)( x  3) dx o) sin x  cos2 x dx r)  u) x)  cos x ln(1  cos x)dx  x e dx c)  sin f)   cos x dx  sin 3x cos xdx i) c) f) h) x k) x2  x3  dx l) n) x o)  xdx trang 15 ThuVienDeThi.com 1 x f) i) x 1 x ln xdx x x cos xdx  sin x 2x 1 dx  2x  x3  x  dx x dx 1 x2  ( x  1)( x  1)2 dx x x  xdx Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng p) s) v) y) x  x dx x2  x  dx  (2 x  3)2 dx  x  dx 6) Tính tích phân hữu tỉ dx a) 0 x  x  3x  x3  x  0 x  dx q) x t) x3  3x  x   x  dx u) w)  2x x) z)   cos g) x j)  (x m) x dx  5x  dx  1) 2 6x  dx  x 1 b) dx 0 x  x  s) x dx  5x   xdx 0 ( x  1)3 dx 0 x  x  h) x k) n) xdx  5x  x dx 1 x x 4x 1 dx  x 1 q) x dx 2 x8  x  x dx x2 x  11 x dx dx w)   5x  x 1 0 7) Tính tích phân hàm vơ tỉ xdx dx a) b) 0 x   x x2  8) Tính tích phân hàm vơ tỉ trị tuyệt đối 2 dx x | x  1| dx a) b) 0 0 x  | x  1| v) x g) c)  x( x  1) 2003 dx f) x i)  (x a l) x o) x 2 r) x u) x xdx  4x  xdx  1) 2 dx ,a0  a2 dx  x 1 dx  6x  dx 3 9) Tính tích phân hàm lượng giác dx a) b)   cos x d) t) ( x  1)3  x dx 2x 1  x  x  dx 4x 1  ( x  2)3 dx cos x x  sin dx 2 x sin x 2 e) p) x  1dx r) 1 d)  x dx  sin x cos xdx e) dx  sin x  h) x  x dx c) x  | x  1| 0 x  | x  | dx c)  sin x sin x sin 3xdx  dx  cos4 x  dx 0  sin x  cos x c) 4sin x 0  cos x f)   tan xdx  sin x 0 sin x  cos6 x i) YM: Quangthai19885 trang 16 ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng  j) sin x 0  sin x dx k)  sin x  e cos xdx n)  (x  1) sin xdx  ( x ln x) dx o)  x tan xdx   x cos x dx q) tan x dx x  cos  v) l)   s) xdx e p)  m)  2 sin x   cos x dx cos x  sin x dx t)    w) r)    cot x  cos x  dx 2  cos x dx sin x u)  cos x  cos3 xdx    (2  x) sin 3xdx x) x sin xdx  cos x  sin x  cos x    cos2 x sin x  dx 10) Tính tích phân hàm siêu việt y) a) b) ln d)  e  3e dx 2x e  3e x  2x ln x  ln x dx 1 x   e e 3x  x e dx x x  ( xe  log x)dx c) e)   sin x ln(cos x)dx f)  cos x ln(1  cos x)dx  3  e2 g) e x cos xdx h) e j)  e e2 i) dx k) e  xe  1   dx x   ln x  ln e ln x  ( x  1) dx x ln x ln( x  1) dx x 1 3x dx l) 3x  e sin xdx o)   m)  x ln( x  1)dx p) x x e dx  ( x  2) n) q) e sin ( x)dx   e2  sin x ln(tan x)dx  x r)  cos (ln x)dx e x ln xdx e x dx s) t) u) 1 e dx 1 ( x  1)2 0  e x   e x 11) Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng tích phân đăc biệt x  ln x 12) Ứng dụng tích phân Tính diện tích phẳng giới hạn Tính thể tích khối giới hạn 13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm ứng dụng YM: Quangthai19885 trang 17 ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 GV: Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng 14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm ứng dụng 15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm ứng dụng YM: Quangthai19885 trang 18 ThuVienDeThi.com Buôn Ma Thuột 2010 ... dụng tích phân phần) a)  x  1dx b)  x  1dx Phương pháp: Tích phân hàm siêu việt (mũ – logarit)  Đổi biến số đưa tích phân hữu tỉ  Sử dụng tích phân phần 9) Tính (Đổi biến số đưa tích phân. .. Phạm Văn Quang Tel: 0968.468956 Nguyên hàm – tích phân ứng dụng 14) Tính (đề thi ĐH CĐ 2000 – 2004) bao gồm ứng dụng 15) Tính (đề thi ĐH CĐ 2004 – 2010) bao gồm ứng dụng YM: Quangthai19885 trang... Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng tích phân đăc biệt x  ln x 12) Ứng dụng tích phân Tính diện tích phẳng giới hạn Tính thể tích khối giới hạn 13) Tính (đề thi TN, THCN) bao gồm ứng dụng