Phương pháp toạ độ mặt phẳng II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn có tâm I(a; b) bán kính R: ( x a)2 ( y b)2 R Nhận xét: Phương trình x y 2ax 2by c , với a2 b2 c , phương trình đường trịn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 b2 c Phương trình tiếp tuyến đường trịn Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng tiếp xúc với (C) d ( I , ) R VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm bán kính đường trịn Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: ( x a)2 ( y b)2 R (C) có tâm I(a; b) bán kính R Nếu phương trình đường trịn (C) có dạng: x y 2ax 2by c – Biến đổi đưa dạng ( x a)2 ( y b)2 R – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2 b2 c Chú ý: Phương trình x y 2ax 2by c phương trình đường trịn thoả mãn điều kiện: a2 b2 c Baøi Trong phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn Tìm tâm bán kính đường trịn đó: a) x y x y b) x y x y 12 c) x y x 8y d) x y x e) 16 x 16 y 16 x 8y 11 f) x y x y g) x y x 12 y 11 h) x y x 5y 10 VẤN ĐỀ 2: Lập phương trình đường trịn Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) bán kính R (C) Khi phương trình đường trịn (C) là: ( x a)2 ( y b)2 R Dạng 1: (C) có tâm I qua điểm A – Bán kính R = IA Dạng 2: (C) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng – Bán kính R = d ( I , ) Dạng 3: (C) có đường kính AB – Tâm I trung điểm AB AB – Bán kính R = Dạng 4: (C) qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Xác định tâm I giao điểm d – Bán kính R = IA Trang ThuVienDeThi.com Phương pháp toạ độ mặt phẳng Dạng 5: (C) qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB I d – Tâm I (C) thoả mãn: d ( I , ) IA – Bán kính R = IA Dạng 6: (C) qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng điểm B – Viết phương trình đường trung trực d đoạn AB – Viết phương trình đường thẳng qua B vng góc với – Xác định tâm I giao điểm d – Bán kính R = IA Dạng 7: (C) qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 d ( I , 1 ) d ( I , 2 ) (1) – Tâm I (C) thoả mãn: (2) d ( I , 1 ) IA – Bán kính R = IA Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định 1 2 hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến 1 2 – Nếu 1 // 2, ta tính R = d (1 , 2 ) , (2) thay bới IA = R Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường thẳng d d ( I , 1 ) d ( I , 2 ) – Tâm I (C) thoả mãn: I d – Bán kính R = d ( I , 1 ) Dạng 9: (C) qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Cách 1: – Phương trình (C) có dạng: x y 2ax 2by c (*) – Lần lượt thay toạ độ A, B, C vào (*) ta hệ phương trình – Giải hệ phương trình ta tìm a, b, c phương trình (C) IA IB Cách 2: – Tâm I (C) thoả mãn: IA IC – Bán kính R = IA = IB = IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC – Viết phương trình hai đường phân giác hai góc tam giác – Xác định tâm I giao điểm hai đường phân giác – Bán kính R = d ( I , AB) Baøi Viết phương trình đường trịn có tâm I qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Bài Viết phương trình đường trịn có tâm I tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2) a) I (3; 4), : x 3y 15 b) I (2;3), : x 12 y c) I (3;2), Ox d) I (3; 5), Oy Bài Viết phương trình đường trịn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Baøi Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A, B có tâm I nằm đường thẳng , với: (dạng 4) a) A(2;3), B(1;1), : x 3y 11 b) A(0; 4), B(2;6), : x y c) A(2;2), B(8;6), : x 3y Bài Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 5) a) A(1;2), B(3; 4), : x y b) A(6;3), B(3;2), : x y c) A(1; 2), B(2;1), : x y d) A(2; 0), B(4;2), Oy Trang ThuVienDeThi.com Baøi a) c) Baøi a) Phương pháp toạ độ mặt phẳng Viết phương trình đường trịn qua điểm A tiếp xúc với đường thẳng điểm B, với: (dạng 6) A(2;6), : x y 15 0, B(1; 3) b) A(2;1), : x y 0, B(4;3) A(6; 2), Ox , B(6; 0) d) A(4; 3), : x y 0, B(3; 0) Viết phương trình đường trịn qua điểm A tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2, với: (dạng 7) A(2;3), 1 : x y 0, 2 : x 3y b) A(1;3), 1 : x y 0, 2 : x y c) A O(0; 0), 1 : x y 0, 2 : x y d) A(3; 6), 1 Ox , 2 Oy Bài Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 có tâm nằm đường thẳng d, với: (dạng 8) a) 1 : x y 0, 2 : x 3y 15 0, d : x y b) 1 : x y 0, 2 : x y 0, d : x 3y c) 1 : x 3y 16 0, 2 : x y 0, d : x y Bài Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C O(0; 0) e) AB : x y 0, BC : x 3y 0, CA : x y 17 f) AB : x y 0, BC : x y 0, CA : x y Bài 10 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : x 3y 21 0, BC : x y 0, CA : x 3y d) AB : x y 11 0, BC : x y 15, CA : x 17 y 65 VẤN ĐỀ 4: Tiếp tuyến đường trịn (C) Bài Cho đường trịn (C) đường thẳng d i) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x y x y 0, d : x y b) (C ) : x y x y 0, d : x 3y Bài Cho đường trịn (C), điểm A đường thẳng d i) Chứng tỏ điểm A ngồi (C) ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d iv) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x y x y 12 0, A(7;7), d : x y b) (C ) : x y x 8y 10 0, A(2;2), d : x y Baøi Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) đường thẳng d : y 3 x a) Viết phương trình đường trịn (C1) (C2) qua A, B tiếp xúc với d b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) hai đường trịn Bài Cho đường trịn (C): x y x 2my m a) Tìm m để từ A(2; 3) kẻ hai tiếp tuyến với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến m = VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (C) Trang ThuVienDeThi.com độ Phương pháp toạ độ mặt phẳng Để biện luận số giao điểm đường thẳng d: Ax By C đường tròn (C): x y 2ax 2by c , ta thực sau: Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R – Xác định tâm I bán kính R (C) – Tính khoảng cách từ I đến d + d ( I , d ) R d cắt (C) hai điểm phân biệt + d ( I , d ) R d tiếp xúc với (C) + d ( I , d ) R d (C) khơng có điểm chung Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) d (C) nghiệm hệ phương trình: Ax By C (*) 2 x y 2ax 2by c + Hệ (*) có nghiệm d cắt (C) hai điểm phân biệt + Hệ (*) có nghiệm d tiếp xúc với (C) + Hệ (*) vô nghiệm d (C) khơng có điểm chung Bài Biện luận theo m số giao điểm đường thẳng d đường tròn (C), với: a) d : mx y 3m 0, (C ) : x y x y b) d : x y m 0, (C ) : x y x y c) d : x y 0, (C ) : x y 2(2m 1) x y m d) d : mx y 4m 0, (C ) : x y x y Bài Cho đường trịn (C): x y x y đường thẳng d qua điểm A(–1; 0) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng d b) Biện luận theo k vị trí tương đối d (C) c) Suy phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ A Baøi Cho đường thẳng d đường tròn (C): i) Chứng tỏ d cắt (C) ii) Tìm toạ độ giao điểm d (C) a) d qua M(–1; 5) có hệ số góc k = , (C ) : x y x y b) d : x y 10 0, (C ) : x y x y 20 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối hai đường trịn (C1) (C2) Để biện luận số giao điểm hai đường tròn (C1): x y 2a1 x 2b1y c1 , (C2): x y 2a2 x 2b2 y c2 ta thực sau: Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I1I2 với bán kính R1, R2 + R1 R2 I1I R1 R2 (C1) cắt (C2) điểm + I1I R1 R2 (C1) tiếp xúc với (C2) + I1I R1 R2 (C1) tiếp xúc với (C2) + I1I R1 R2 (C1) (C2) + I1I R1 R2 (C1) (C2) Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) (C1) (C2) nghiệm hệ phương trình: Trang ThuVienDeThi.com Phương pháp toạ độ mặt phẳng x y 2a x 2b y c 1 (*) 2 x y 2a2 x 2b2 y c2 + Hệ (*) có hai nghiệm (C1) cắt (C2) điểm (C1) tiếp xúc với (C2) + Hệ (*) có nghiệm + Hệ (*) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có điểm chung Bài Xét vị trí tương đối hai đường trịn (C1) (C2), tìm toạ độ giao điểm, có, với: a) (C1 ) : x y x 10 y 24 0, (C2 ) : x y x y 12 b) (C1 ) : x y x y 0, (C2 ) : x y 10 x 14 y 70 5 c) (C1 ) : x y 6x 3y 0, (C2 ) có tâm I 5; bán kính R2 2 VẤN ĐỀ 6: Tiếp tuyến đường tròn (C) Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng tiếp xúc với (C) d (I , ) R Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M0 ( x0 ; y0 ) (C) – qua M0 ( x0 ; y0 ) có VTPT IM0 Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước – Viết phương trình có phương cho trước (phương trình chứa tham số t) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ) R , ta tìm t Từ suy phương trình Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ điểm A( x A ; y A ) ngồi đường trịn (C) – Viết phương trình qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ) R , ta tìm tham số Từ suy phương trình Bài Cho đường trịn (C) đường thẳng d i) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x y x y 0, d : x y b) (C ) : x y x y 0, d : x 3y Bài Cho đường trịn (C), điểm A đường thẳng d i) Chứng tỏ điểm A ngồi (C) ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A iii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d iv) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với d a) (C ) : x y x y 12 0, A(7;7), d : x y b) (C ) : x y x 8y 10 0, A(2;2), d : x y Baøi Cho hai điểm A(1; 2), B(3; 4) đường thẳng d : y 3 x a) Viết phương trình đường trịn (C1) (C2) qua A, B tiếp xúc với d b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) hai đường trịn Bài Cho đường trịn (C): x y x 2my m a) Tìm m để từ A(2; 3) kẻ hai tiếp tuyến với (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến m = Trang ThuVienDeThi.com độ Phương pháp toạ độ mặt phẳng Baøi a) Trang ThuVienDeThi.com ... tuyến đường tròn (C) Bài Cho đường trịn (C) đường thẳng d i) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục toạ ii) Viết phương trình tiếp tuyến (C) vng góc với d iii) Viết phương trình. .. A ) đường trịn (C) – Viết phương trình qua A (chứa tham số) – Dựa vào điều kiện: d ( I , ) R , ta tìm tham số Từ suy phương trình Bài Cho đường trịn (C) đường thẳng d i) Viết phương trình. .. A(1; 2), B(3; 4) đường thẳng d : y 3 x a) Viết phương trình đường tròn (C1) (C2) qua A, B tiếp xúc với d b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (khác d) hai đường trịn Bài Cho đường tròn (C):