Toán 9 Một số bài toán chọn lọc34825

Β◊ι 1(2) : Τm tất χ〈χ số χηνη phương dạng Lời giải : λ◊ số χηνη phương νν = κ2 Dο Lại ϖ : 10001 ≤ ≤ 99999, => 101 ≤ κ < 317 Vậy κ phải λ◊ số χ⌠ βα chữ số Đặt κ = Cũng từ giả thiết β◊ι το〈ν λ◊ số χηνη phương νν α thuộc {1, 4, 5, 6, 9} < 142 (τρονγ π = π = 9) +) Nếu α = τη : 100 < Với π = 1, τα χ⌠ χ〈χ số thỏa mν điều kiện β◊ι το〈ν λ◊ : 1012 = 10201, 1112 = 12321, 1212 = 14641 ; χ∫ν với π = τα thấy κηνγ χ⌠ số ν◊ο thỏa mν điều kiện đề β◊ι +) Nếu α = τη : 200 < < 224 (π = π = 8) Thử trực tiếp τα χ⌠ χ〈χ số thỏa mν λ◊ : 2022 = 40804, 2122 = 44944 +) Nếu α = τη : 223 < < 245 (τρονγ π = 5) Τρονγ trường hợp ν◊ψ κηνγ χ⌠ số ν◊ο thỏa mν điều kiện đề β◊ι < 265 (π = π = 6) Chỉ χ⌠ số thỏa mν trường hợp ν◊ψ λ◊ : +) Nếu α = τη : 244 < 2642 = 69696 < 317 (π = π = 7) Trường hợp ν◊ψ χ⌠ số thỏa mν +) Nếu α = τη : 300 < λ◊ : 3072 = 94249 Τ⌠m lại χ⌠ số thỏa mν điều kiện β◊ι ρα : 10201, 12321, 40804, 14641, 44844, 69696, 94249 Nhận ξτ : − Nếu β◊ι το〈ν χ⌠ τηm điều kiện α, β, χ đôi κη〈χ νηαυ τη χ⌠ số thỏa mν đề β◊ι Β◊ι 3(2) : Χηο ταm γι〈χ ΑΒΧ Χ〈χ điểm Μ, Ν τηεο thứ tự thuộc χ〈χ cạnh ΑΒ, ΑΧ σαο χηο diện τχη ταm γι〈χ ΑΜΝ nửa diện τχη ταm γι〈χ ΑΒΧ (Μ ≠ Β ; Ν ≠ Χ) Chứng mινη : Trọng τm ταm γι〈χ ΑΒΧ nằm τρονγ ταm γι〈χ ΑΜΝ Lời giải : (của bạn Nguyễn Thị Quỳnh Μαι, 6Β, ΤΗΧΣ Β〈ν χνγ Hương Κη, Η◊ Tĩnh) Gọi Γ λ◊ trọng τm ΑΒΧ Đặt Λ λ◊ γιαο điểm ΒΓ ϖ◊ ΑΧ ; Ο λ◊ γιαο điểm ΒΛ ϖ◊ ΜΝ Τα χ⌠ : ΑΛ = ΧΛ ; ΓΒ/ΓΛ = (1) Τηεο giả thiết : Σ(ΑΜΝ) = 1/2 Σ(ΑΒΧ) Mặt κη〈χ, ϖ ΑΛ = ΧΛ νν : Σ(ΑΒΛ) = 1/2 Σ(ΑΒΧ) Vậy Σ(ΑΜΝ) = Σ(ΑΒΛ) => Σ(ΟΛΝ) = Σ(ΟΜΒ) => Σ(ΒΛΝ) = Σ(ΝΜΒ) => ΜΛ // ΒΝ => : ΟΒ/ΟΛ = ΒΝ/ΜΛ = ΑΝ/ΑΛ < ΑΧ/ΑΛ = (2) (định λ Ταλτ) Từ (1), (2) => : ΟΒ/ΟΛ < ΓΒ/ΓΛ => ΟΒ/ΟΛ + < ΓΒ/ΓΛ + => ΒΛ/ΟΛ < ΒΛ/ΓΛ => ΓΛ < ΟΛ => Γ thuộc đoạn ΟΛ => Γ thuộc ταm γι〈χ ΑΜΝ (đpcm) Nhận ξτ : 1) Β◊ι ν◊ψ χ⌠ κη〈 nhiều bạn τηαm για giải, tất giải Τυψ νηιν, nhiều bạn giải θυ〈 δ◊ι ϖ◊ phức tạp 2) Νγο◊ι χ〈χη giải τρν χ∫ν hướng giải κη〈χ Đặt Π λ◊ γιαο điểm ΑΓ ϖ◊ ΒΧ ; Θ λ◊ γιαο điểm ΑΠ ϖ◊ ΜΝ −1− ThuVienDeThi.com Τα χ⌠ đẳng thức θυεν thuộc : ΑΒ/ΑΜ + ΑΧ/ΑΝ = 2.ΑΠ/ΑΘ (3) Τηεο giả thiết : Σ(ΑΒΧ) / Σ(ΑΜΝ) = => ΑΒ/ΑΜ ΑΧ/ΑΝ = (4) Từ (3), (4), σαυ ϖ◊ι biến đổi đại số, τα χ⌠ : ΑΓ < ΑΘ Từ => đpcm Β◊ι 4(2) : Giải phương τρνη : ξ2 + 2ξ + = (ξ2 + ξ + 1) (ξ4 + ξ2 + 4) Lời giải : (của bạn Πηαν Việt Τη◊νη, 8D, ΤΗΧΣ Lương Thế ςινη, Τυψ Η∫α, Πη Ψν) Τα χ⌠ : ξ2 + ξ + = (ξ + 1/2)2 + 3/4 > với ξ Mặt κη〈χ : Với ξ τα χ⌠ ξ4 + ξ2 + ≥ => (ξ2 + ξ + 1) (ξ4 + ξ2 + 4) ≥ (ξ2 + ξ + 1) = ξ2 + 2ξ + + 2ξ2 + (ξ + 1)2 > ξ2 + 2ξ + Chứng tỏ phương τρνη ϖ nghiệm Β◊ι 5(2) : Τm ξ, ψ để biểu thức : đạt γι〈 trị nhỏ Lời giải : Τα χ⌠: Dấu “=” xảy ρα κηι ϖ◊ κηι ψ = −1 ϖ◊ ≥ ξ ≥ −1 Β◊ι (3) : Τm tất χ〈χ cặp số νγυψν κηνγ m (ξ, ψ) σαο χηο : ξ − ψ = ξ2 + ξψ + ψ2 Lời giải : Giả sử χ⌠ cặp số νγυψν κηνγ m (ξ, ψ) thỏa mν hệ thức ξ − ψ = ξ2 + ξψ + ψ2 (1) Từ dễ δ◊νγ => ξ ≥ ξ − ψ = ξ2 + ξψ + ψ2 ≥ 3ξψ (2) − Nếu ξ = 0, từ (1) τα χ⌠ −ψ = ψ2 => ψ = − Nếu ξ ≠ 0, τηαψ ξ = ϖ◊ο (2) => ≥ 3ψ => ψ = 0, τηαψ ψ = ϖ◊ο (1) => ξ = ξ2 => ξ = Τ⌠m lại : Χ⌠ ηαι cặp số (0, 0); (1, 0) thỏa mν đề β◊ι Β◊ι 2(4) : Χηο α, β, χ λ◊ số thỏa mν điều kiện : Τνη tổng : α2001 + β2002 + χ2003 Lời giải : −2− ThuVienDeThi.com Từ (1) => α, β, χ ≤ Trừ vế (1) χηο (2) τα χ⌠ : α2002(1 − α) + β2002(1 − β) + χ2002(1 − χ) = (3) ς α, β, χ ≤ νν α2002(1 − α) ≥ ; β2002(1 − β) ≥ ; χ2002(1 − χ) ≥ Từ τα χ⌠ α2001 = α2003 ; β2002 = β2003 => : α2001 + β2002 + χ2003 = α2003 + β2003 + χ2003 = Nhận ξτ : 1/ Từ lời giải τρν, kết hợp với (1) (2) χ⌠ thể => τρονγ βα số α, β, χ χ⌠ số ϖ◊ ηαι số χ∫ν lại 2/ Một số bạn từ (1) => ≤ α ≤ λ◊ σαι Một số bạn tự τηm giả thiết α, β, χ λ◊ χ〈χ số νγυψν dương Β◊ι 4(4) : Χηο ΔΑΒΧ nhọn, βα đường χαο ΑD, ΒΕ ϖ◊ ΧΦ cắt νηαυ Η Θυα Α vẽ χ〈χ đường thẳng σονγ σονγ với ΒΕ, ΧΦ cắt χ〈χ đường thẳng ΧΦ, ΒΕ Π ϖ◊ Θ Chứng mινη ΠΘ ϖυνγ γ⌠χ với τρυνγ tuyến ΑΜ ΔΑΒΧ Lời giải : ς ΔΑΒΧ nhọn νν trực τm Η nằm τρονγ ΔΑΒΧ (ηνη dưới) Lần lượt đặt Ι λ◊ γιαο điểm ΑΗ ϖ◊ ΠΘ ; Κ λ◊ γιαο điểm ΑΜ ϖ◊ ΠΘ Từ giả thiết => tứ γι〈χ ΑΠΗΘ λ◊ ηνη βνη η◊νη, νν Ι λ◊ τρυνγ điểm ΑΗ Cũng từ giả thiết => ΑΠ ϖυνγ γ⌠χ với ΑΧ ; ΑΘ ϖυνγ γ⌠χ với ΑΒ =>  ΒΑΧ = ΑΘΗ;  ΑΧΒ =  ΑΗΘ (χ〈χ cặp γ⌠χ χ⌠ ηαι cạnh tương ứng ϖυνγ γ⌠χ) => ΔABC đồng dạng với ΔQAH (γ.γ) => ΑΒ/ΘΑ = ΒΧ/ΑΗ = ΑΧ/ΑΗ Mặt κη〈χ Μ, Ι λ◊ τρυνγ điểm ΒΧ, ΑΗ νν : ΑΜ/ΘΙ = ΒΧ/ΑΗ = ΜΧ/ΙΗ => ΑΜ/ΘΙ = ΜΧ/ΙΗ = ΑΧ/ΘΗ => ΔAMC đồng dạng với ΔQIH (χ.χ.χ) =>  ΧΑΜ =  ΗΘΙ ηαψ  ΕΑΚ =  ΕΘΚ => tứ γι〈χ ΚΑΘΕ nội tiếp =>  ΑΚΘ =  ΑΕΘ = 90ο (χνγ chắn χυνγ ΑΘ, ΒΘ ϖυνγ γ⌠χ với ΑΧ) => ΠΘ ϖυνγ γ⌠χ với ΑΜ (đpcm) −3− ThuVienDeThi.com Β◊ι 3(5) : Σο σ〈νη Α ϖ◊ Β biết : Α = (20032002 + 20022002)2003 Β = (20032003 + 20022003)2002 Lời giải : (của bạn ς⌡ Văn Tuấn) Τα chứng mινη β◊ι το〈ν tổng θυ〈τ : (αν + βν)ν + > (αν + + βν + 1)ν với α, β, ν λ◊ χ〈χ số νγυψν dương Thật vậy, κηνγ τνη tổng θυ〈τ, giả sử α ≥ β (αν + βν)ν + = (αν + βν)ν.(αν + βν) > (αν + βν)ν.αν = [(αν + βν)α]ν = (αν.α + βν.α)ν ≥ (αν.α + βν.β)ν = (αν + + βν + 1)ν Với α = 2003, β = ν = 2002, τα χ⌠ Α > Β Β◊ι 4(5) : Ταm γι〈χ ΑΒΧ χ⌠ Ε λ◊ τρυνγ điểm cạnh ΒΧ σαο χηο  ΕΑΒ = 15ο ,  ΕΑΧ = 30 Τνη  Χ Lời giải : (của bạn Phạm Thị Hồng Ανη) Gọi Φ λ◊ điểm đối xứng Χ θυα ΑΕ ϖ◊ Ι λ◊ γιαο điểm ΧΦ ϖ◊ ΑΕ, => ΑΙ ϖυνγ γ⌠χ với ΧΙ Ξτ ταm γι〈χ ϖυνγ ΙΑΧ, ϖυνγ Ι, χ⌠  ΙΑΧ = 30ο =>  ΑΧΦ =  ΑΧΙ = 60ο (1) Τα χ⌠ ΑΙ λ◊ τρυνγ trực ΧΦ νν ΔAFC χν, từ (1) => ΔAFC Nhận ξτ rằng, ΙΕ λ◊ đường τρυνγ βνη ΔBFC νν ΙΕ // ΦΒ, m◊ ΙΕ ϖυνγ γ⌠χ với ΦΧ => ΒΦ ϖυνγ γ⌠χ với ΦΧ ηαψ ΔBFC ϖυνγ Φ => γ⌠χ ΒΦΧ = 90ο ; ΔAFC =>  ΧΦΑ = ΧΑΦ = 60ο , => :  ΒΦΑ =  ΒΦΧ + ΧΦΑ = 90ο + 60ο = 150ο  ΦΑΒ =  ΧΑΦ −  ΧΦΑ −  ΒΑΕ = 60ο − 30ο − 15ο = 15ο Ξτ ΔΦΒΑ,  ΒΦΑ = 150ο ϖ◊  ΦΑΒ = 15ο =>  ΦΒΑ = 15ο συ ρα ΔΦΒΑ χν Φ => ΦΒ = ΦΑ = ΦΧ Từ đó, ΔΒΦΧ ϖυνγ χν Φ =>  ΒΧΦ = 45ο (2) Từ (1), (2) =>  ΑΧΒ =  ΑΧΦ +  ΒΧΦ = 60ο + 45ο = 105ο Vậy  Χ = 105ο Β◊ι 2(7) : Χηο α, β, χ thỏa mν : α/2002 = β/2003 = χ/2004 Chứng mινη : 4(α − β)(β − χ) = (χ − α)2 Lời giải : Τηεο τνη chất tỉ lệ thức τα χ⌠ : α/2002 = β/2003 = χ/2004 = (α − β)/(2002 − 2003) = (β − χ)/(2003 − 2004) = (χ − α)/(2004 − 2002) => : (α − β)/−1 = (β − χ)/−1 = (χ − α)/2 => : (α − β)(β − χ) = [ (χ − α)/2 ]2 => 4(α − β)(β − χ) = (χ − α)2 (đpcm) Β◊ι 4(8) : Χηο ηνη chữ nhật ΑΒΧD (như ηνη vẽ), biết ΑΒ = 30 χm, ΑD = 20 χm, ΑΜ = 10 χm, ΒΠ = χm, ΑΘ = 15 χm Τνη diện τχη ταm γι〈χ ΜΡΣ Lời giải : Giả sử đường thẳng ΠΘ cắt χ〈χ đường thẳng ΧD, ΑΒ tương ứng Ε, Φ −4− ThuVienDeThi.com Τα χ⌠ : DΕ/ΕΧ = ΘD/ΧΠ = 5/15 = 1/3 , ηαψ DΕ/DΧ = 1/2 => DΕ = 15 χm Τα thấy ταm γι〈χ ΘDΕ = ταm γι〈χ ΠΒΦ => ΒΦ = DΕ = 15 χm Lại χ⌠ : DΕ/ΜΦ = DΡ/ΜΡ = 15/35 = 3/7 => ΜΡ/ΜD = 7/10 (1) ς ΜΣ/ΜΧ = ΜΦ/ΕΧ = 35/45 = 7/9 => ΜΣ/ΜΧ = 7/16 (2) Τα χ⌠ : ΣΜDΧ = ΣΑΒΧD − ΣΑΜD − ΣΒΜΧ = ΑΒ.ΑD − 1/2ΑD.(ΑΜ + ΜΒ) = 300 (χm2) (3) Mặt κη〈χ, từ (1) ϖ◊ (2) τα χ⌠ : ΣΜΡΣ/ΣΜΧD = (ΜΡ/ΜD).(ΜΣ/ΜΧ) = 7/10 7/16 = 47/160 Dο đó, từ (3) τα χ⌠ : ΣΜΡΣ = 300 (49/160) = 91,875 (χm2) Β◊ι 5(8) : Χηο ταm γι〈χ ΑΒΧ κηνγ ϖυνγ Χ〈χ đường χαο ΒΒ’, ΧΧ’ cắt νηαυ Η Gọi Κ λ◊ τρυνγ điểm ΑΗ, Ι λ◊ γιαο điểm ΑΗ ϖ◊ Β’Χ’ Chứng mινη : Ι λ◊ trực τm ταm γι〈χ ΚΒΧ Lời giải : Trường hợp : Ταm γι〈χ ΑΒΧ nhọn (ηνη vẽ) Gọi Λ λ◊ điểm đối xứng Η θυα ΒΧ Τα χ⌠ :  ΒΛΧ =  ΒΗΧ =  Β ∋ ΗΧ ∋ (đối đỉnh) = 180ο −  ΒΑΧ (ς ΑΧ ∋ΗΒ ∋ nội tiếp) =>  ΒΛΧ +  ΒΑΧ = 180ο => tứ γι〈χ ΑΒΛΧ nội tiếp =>  ΧΛΑ =  ΧΒΑ (1) Mặt κη〈χ, ϖ  ΒΒ ∋Χ =  ΒΧ ∋Χ ( = 90ο) νν tứ γι〈χ ΒΧ’Β’Χ nội tiếp =>  ΑΒ ∋ Χ ∋ =  ΧΒΧ ∋ (2) Từ (1) ϖ◊ (2) => :  ΧΛΙ =  ΑΒ ∋Ι => tứ γι〈χ ΧΛΙΒ ’ nội tiếp =>  Β ∋ΧΙ =  Β ∋ΛΙ (3) Τηεο giả thiết, ταm γι〈χ ΑΗΒ’ ϖυνγ Β’, Β’Κ λ◊ τρυνγ tuyến νν ΚΒ’ = ΚΗ =>  ΚΒ ∋Η =  ΚΗΒ ∋ =  ΒΗΛ =  ΒΛΗ (ϖ ταm γι〈χ ΒΛΗ χν Β) => tứ γι〈χ ΚΒ’ΛΒ nội tiếp , συψ ρα  Β ∋ΒΚ =  Β ∋ΛΚ (4) Từ (3) ϖ◊ (4) => tứ γι〈χ ΒΧΒ’Ε nội tiếp (Ε λ◊ γιαο ΧΙ ϖ◊ ΒΚ) =>  ΒΕΧ =  ΒΒ ∋Χ = 90ο => ΧΙ ϖυνγ γ⌠χ với ΒΚ Χη  : ΚΙ ϖυνγ γ⌠χ với ΒΧ Vậy Ι λ◊ trực τm ταm γι〈χ ΚΒΧ Trường hợp : Ταm γι〈χ ΑΒΧ τ, chứng mινη ηο◊ν το◊ν tương tự trường hợp Β◊ι 1(11) : Πην τχη số 8030028 τη◊νη tổng 2004 số tự νηιν chẵn λιν tiếp −5− ThuVienDeThi.com Lời giải : Τα thấy : Tổng 2004 số tự νηιν chẵn λιν tiếp λ◊ Σ = α + (α + 2) + + (α + 4006) = [ α + (α + 4006)] : ξ 2004 = (α + 2003) ξ 2004 Dο Σ = 8030028 tương đương với (α + 2003) ξ 2004 = 8030028 ηαψ α = 2004 Vậy 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Β◊ι 2(11) : Τm số νγυψν α lớn σαο χηο số Τ = 427 + 41016 + 4α λ◊ số χηνη phương Lời giải : Τα ξτ α λ◊ số νγυψν thỏa mν α ≥ 27 ϖ◊ Τ λ◊ số χηνη phương Nhận ξτ Τ = 427 (1 + 4989 + 4α − 27) = (227)2 (1 + 21978 + (2α − 27)2), => Σ = + 21978 + (2α − 27)2 λ◊ số χηνη phương Χη  : + 21978 + (2α − 27)2 > (2α − 27)2 => + 21978 + (2α − 27)2 ≥ (2α − 27 + 1)2 Tức λ◊ τα χ⌠ 21978 ≥ 2.2α − 27 => 1978 ≥ α − 26 => 2004 ≥ α Với α = 2004 τη Τ = (227)2 (21977 + 1)2 λ◊ số χηνη phương Vậy số νγυψν α lớn cần τm λ◊ α = 2004 Β◊ι 4(11) : Τνη γ⌠χ Α ταm γι〈χ ΑΒΧ biết  Ο1ΟΟ2 = 90ο với Ο1, Ο, Ο2 λ◊ τm χ〈χ đường τρ∫ν nội tiếp, ngoại tiếp ϖ◊ β◊νγ tiếp (τρονγ γ⌠χ Α) ταm γι〈χ ΑΒΧ Lời giải :Gọi Ι λ◊ γιαο điểm ΑΟ2 với đường τρ∫ν (Ο) Τα thấy :  ΙΒΟ1 =  ΙΟ1Β ( = ( Α +  Β)/2 ) => ΔIBO1 χν Ι, từ ΙΒ = ΙΟ1 (1) Mặt κη〈χ  Ο1ΒΟ2 = 90ο νν  ΙΒΟ2 =  ΙΟ2Β ηαψ ΔIBO2 χν Ι => ΙΒ = ΙΟ2 (2) Từ (1), (2) => ΙΟ1 = ΙΟ2 Τηεο giả thiết  Ο1ΟΟ2 = 90ο => ΟΙ = 1/2.Ο1Ο2 Dο ΟΙ = ΒΙ = ΟΒ = Ρ (β〈ν κνη đường τρ∫ν (Ο)) => ΔΒΙΟ =>  ΒΟΙ = 60ο , =>  ΒΑΙ = 30ο Vậy  ΒΑΧ = 60ο Β◊ι 5(11) : Về πηα νγο◊ι ταm γι〈χ ΑΒΧ τα dựng χ〈χ ταm γι〈χ ϖυνγ đồng dạng ΑΒΕ, ΑΧΦ ( ΑΒΕ =  ΑΧΦ = 90ο) Chứng mινη : ΒΦ, ΧΕ ϖ◊ đường χαο ΑΗ ταm γι〈χ đồng θυψ Lời giải : Χ〈χη : (của bạn ς⌡ Văn Tuấn, 7Α5, ΤΗΧΣ Βυν Hồ, ΚΡνγ Βυκ, Đắk Lắk) ς ΔΒΕΑ đồng dạng với ΔΧΦΑ νν ΑΒ / ΕΒ = ΑΧ / ΦΧ Τρν τια đối τια ΑΗ lấy điểm Κ σαο χηο : ΑΚ = ΑΒ/ΕΒ.ΒΧ = ΑΧ/ΦΧ.ΧΒ (ηνη 1) −6− ThuVienDeThi.com ς ΑΚ = ΑΒ/ΕΒ.ΒΧ νν ΑΚ/ΑΒ = ΒΧ/ΒΕ (1) Mặt κη〈χ :  ΚΑΒ =  ΧΒΕ (2) (ηαι γ⌠χ χ⌠ cạnh tương ứng ϖυνγ γ⌠χ ϖ◊ χνγ τ) Từ (1), (2) => : ΔKAB đồng dạng với ΔCBE => : ΑΒΚ =  ΒΕΧ =>  ΑΒΚ +  ΕΒΚ =  ΒΕΧ +  ΕΒΚ => : 90ο =  ΕΝΒ (Ν λ◊ γιαο điểm ΕΧ ϖ◊ ΒΚ) => ΧΕ ϖυνγ γ⌠χ với ΒΚ Tương tự : ΒΦ ϖυνγ γ⌠χ với ΧΚ Vậy ΒΦ, ΧΕ, ΑΗ λ◊ βα đường χαο ΔBCK => ΒΦ, ΧΕ, ΑΗ đồng θυψ Χ〈χη : (của χ〈χ bạn Huỳnh Quốc Υψ ϖ◊ Trần Lương Κηιm, 9Α, ΤΗΧΣ Trần Hưng Đạo, Quảng Νγι) Đặt Ι = ΒΦ γιαο với ΧΕ Gọi Μ, Ν λ◊ ηνη chiếu Α τρν ΧΕ, ΒΦ (ηνη 2) Dễ thấy χ〈χ tứ γι〈χ ΑΜΒΕ, ΑΝΧΦ, ΑΜΙΝ, ΑΜΗΧ nội tiếp ς χ〈χ tứ γι〈χ ΑΜΒΕ, ΑΝΧΦ nội tiếp ϖ◊ ϖ ΔABE đồng dạng với ΔACF νν τα χ⌠ :  ΒΜΕ =  ΒΑΕ =  ΧΑΦ =  ΧΝΦ =>  ΒΜΧ =  ΒΝΧ => Tứ γι〈χ ΒΜΝΧ nội tiếp =>  ΜΝΒ =  ΜΧΒ (1) ς tứ γι〈χ ΑΜΙΝ nội tiếp νν :  ΜΝΒ =  ΜΑΙ (2) ς tứ γι〈χ ΑΜΗΧ nội tiếp νν :  ΜΧΒ =  ΜΑΗ (3) Từ (1), (2), (3) => :  ΜΑΙ =  ΜΑΗ => τια ΑΙ τρνγ τια ΑΗ => Ι thuộc ΑΗ => ΒΦ, ΧΕ, ΑΗ đồng θυψ Τρν đây, τα vẽ ηνη ϖ◊ giải β◊ι το〈ν τρονγ trường hợp χ〈χ γ⌠χ ΑΒΧ, ΑΧΒ < 90ο Nếu  ΑΧΒ ≥ 90ο  ΑΧΒ ≥ 90οτη τα χ⌠ lời giải tương tự Β◊ι 1(12) : Χηο số tự νηιν Ν = 20032004 Viết Ν τη◊νη tổng κ số tự νηιν ν◊ο ν1, ν2, …, νκ Σ = ν13 + ν23 + … + νκ3 Τm số dư πηπ χηια Σ χηο Lời giải : ς α3 − α = α.(α2 −1) = (α − 1).α.(α + 1) λ◊ τχη βα số νγυψν λιν tiếp νν α3 − α χηια hết χηο với số νγυψν α Đặt Ν = ν1 + ν2 + … + νκ, τα χ⌠ : Σ − Ν = (ν13 + ν23 + … + νκ3) − (ν1 + ν2 + … + νκ) = (ν13 − ν1) + (ν13 − ν1) + … + (νκ3 − νκ) χηια hết χηο => Σ ϖ◊ Ν χ⌠ χνγ số dư κηι χηια χηο Mặt κη〈χ, 2003 χηια χηο dư => 20032 χηια χηο dư => Ν = 20032004 = (20032)1002 χηια χηο dư Vậy : Σ χηια χηο dư Β◊ι 4(12) : Χηο ηνη τηανγ ϖυνγ ΑΒΧD χ⌠ ΑD // ΒΧ, ΑΒ ϖυνγ γ⌠χ với ΑD, ΑD = χm, ΑΒ = ΒΧ = χm Ηψ τm χον đường ngắn từ đỉnh Α tới điểm Μ τρν cạnh DΧ, tới điểm Ν τρν cạnh ΑΒ, θυαψ lại điểm Π τρν cạnh DΧ ϖ◊ trở Α Lời giải : Β◊ι το〈ν đưa τm γι〈 trị nhỏ tổng Τ = ΑΜ + ΜΝ + ΝΠ + ΠΑ −7− ThuVienDeThi.com ... kết hợp với (1) (2) χ⌠ thể => τρονγ βα số α, β, χ χ⌠ số ϖ◊ ηαι số χ∫ν lại 2/ Một số bạn từ (1) => ≤ α ≤ λ◊ σαι Một số bạn tự τηm giả thiết α, β, χ λ◊ χ〈χ số νγυψν dương Β◊ι 4(4) : Χηο ΔΑΒΧ nhọn,... Β◊ι 2(11) : Τm số νγυψν α lớn σαο χηο số Τ = 427 + 41016 + 4α λ◊ số χηνη phương Lời giải : Τα ξτ α λ◊ số νγυψν thỏa mν α ≥ 27 ϖ◊ Τ λ◊ số χηνη phương Nhận ξτ Τ = 427 (1 + 498 9 + 4α − 27)... + 2 197 8 + (2α − 27)2), => Σ = + 2 197 8 + (2α − 27)2 λ◊ số χηνη phương Χη  : + 2 197 8 + (2α − 27)2 > (2α − 27)2 => + 2 197 8 + (2α − 27)2 ≥ (2α − 27 + 1)2 Tức λ◊ τα χ⌠ 2 197 8 ≥ 2.2α − 27 => 197 8