Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán23926

TÀI LI U B I D NG H C SINH GI I S GD ĐT NGH AN NG THPT Đ NG THÚC H A TR M T S BÀI TOÁN CH N L C B I D H C SINH GI I MƠN TỐN VI T B I PH M KIM CHUNG – THÁNG NG NĂM M CL C PH N Trang I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM II PH NG TRÌNH HÀM VÀĐA TH C III B T Đ NG TH C VÀ C C TR IV GI I H N C A DÃY S V HÌNH H C KHƠNG GIAN VI Đ T LUY N VÀ L I GI I DANH M C CÁC TÀI LI U THAM KH O Các di n đàn www dangthuchua com , www math , www mathscope org , www maths ,www laisac page tl, www diendantoanhoc net , www k pi violet , www nguyentatthu violet ,… Đ thi HS G Qu c Gia Đ thi HSG T nh – Thành Ph n c Đ thi Olympic -4 B sách M t s chuyên đ b i d ng h c sinh gi i Nguy n Văn M u – Nguy n Văn Ti n T p chí Tốn H c Tu i Tr B sách CÁC PH B sách NG PHÁP GI I BÀI TOÁN S Tr n Ph ng - Lê H ng Đ c C P Phan Huy Kh i B sách Toán nâng cao Phan Huy Kh i Gi i TỐN HÌNH H C Tr n Thành Minh Sáng t o B t đ ng th c Ph m Kim Hùng B t đ ng th c – Suy lu n khám phá Ph m Văn Thu n Nh ng viên kim c ng B t đ ng th c Toán h c Tr n Ph ng tốn hình h c khơng gian I F Sharygin Tuy n t p Bài thi Vô đ ch Toán Đào Tam m t s tài li u tham kh o khác Chú ý Nh ng dòng ch MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT màu xanh ch a đ ng link đ n chuyên m c ho c website NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n I PH PH N I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM NG TRÌNH – BPT - H PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM Tìm giá tr c a tham s m đ hàm s y =−2x + + m x2 − 4x + có c c đ i ĐS m  + xsin2 x − x =/ Tính đ o hàm c a hàm s t i x f(x) =  x=  Cho hàm s t ix -2 ch ng minh hàm s đ t c c ti u x = y f(x) = | x | ( x − 3) ĐS x Xác đ nh giá tr c a tham s m đ ph ng trì nh sau có nghi m th c a ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − = ĐS ≤m≤ Tìm c c tr c a hàm s x2 + − x = m ĐS < m ≤ b) c) m ( ) + x2 − − x2 + = − x + + x2 − − x2 Xác đ nh s nghi m c a h ph Gi i h ph ng trình Gi i h ph ng trình  x2 + y =  log3 x log y = ng trình  x2 + y −x2 e =  y2 +   log x + y= +  log x + y + ĐS ĐS +  x + x2 − 2x + 2= 3y −1 +  y + y − 2y + 2= 3x−1 + ( ) xy 2x −y y −2x +1  = +2x−y +1  + Gi i h ph ng trình   y + x + ln y + x + = Gi i ph ng trình ( x − ) log3 x − + log5 (x − 3) = x + Gi i b t ph Gi i b t ph Gi i ph ng trình ) (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + ng trì nh ng trì nh ( 3 − 2x + 2x − ) ( − 2x ≤ 3x + 9x2 + + ( 4x + 2) ) + x + x2 + = 7x2 + 9x − 2 xy − y + x + y =  Tìm m đ h ph ng trì nh sau có nghi m  ĐS m ∈    x y m − + − =    Xác đ nh m đ ph ng trình sau có nghi m th c x + x − m x + + x ( x − 1)  = x −1    x + + y + = Tìm m đ h có nghi m  m x y + + y x + + x + + y + = Gi i ph ng trình x3 − 4x2 − 5x += ( ≤ x ≤7 ĐS ( ) Gi s f x ax bx cx d a đ t c c đ i t i x1 x2 CMR f '''(x)  f ''(x)  < ∀x ≠ x1 x f '(x)  f '(x)  f x = cos2 x + sin x + cosx − sin x + m Tìm m cho f x ≤ ∀m Trong nghi m x y c a BPT log x2 +y2 ( x + y ) ≥ Tìm nghi m đ P x y đ t GTLN Cho hàm s Đ thi HSG T nh Ngh An năm Đ thi HSG T nh Ngh An năm Gi i ph ng trì nh 2009 x ( ) x +1 - x = ĐS x Tìm m đ h ph ng trình s au có ba nghi m phân bi t m  x + y = 3 ĐS m ≥  2 ( y + ) x + xy = m ( x + ) MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM  x − y = 240  3 2 x − 2y = x − 4y − ( x − 8y ) x + x3 y + 9y = y x + y x + 9x ng trình  3  x y − x = Gi i h PT ( Gi i h ph ) ( ĐS ) ( ) xy  4x2 + x + ( y − 3) − 2y =  4x2 + y + − 4x = 2 xy − y + x + y =  Tìm m đ h ph ng trình s au có nghi m  ĐS m ∈    m  − x + − y =   Xác đ nh m đ ph ng trình sau có nghi m th c x + x − m x + + x ( x − 1)  = x −1   3( x + )2 + y − m = Tìm m đ h ph ng trình  có ba c p nghi m phân bi t x + xy = Gi i h ph ng trình ( )  x + x2 − 2x + 2= 3y −1 +  y + y − 2y + 2= 3x−1 + Gi i h PT Đ thi HS G T nh Ngh An năm Gi i h ph sin x  x −y  e = sin y  sin x − cos y = sin x + cosy −   Π  x y ∈   4  ng trình ng trình 16x3 − 24x + 12x − = x 2x − y y − 2x + 2x  = + −y +1  + Gi i h ph ng trình   y + x + ln y + x + = Gi i ph ng trình x = + x + log3 ( + x ) Gi i ph Gi i ph ( ) ( ) ĐS ng trình −2x3 + 10x2 − 17x= + 2x2 5x − x3  x + xy =y + y   4x + + y + = Gi i h ph ng trình Gi i h ph ng trình Gi i h ph ng trình 10  x2 + 2x + 22 − y = y + 2y +   y + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1  x+ y=   y  x  x +  = y +    y   x   Đ thi HS G T nh Qu ng Ninh năm L i gi i ĐK x > Gi i ph Cách PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) + Cách Vi t l i ph ng trình d x− i d ng Và xét hàm s f t >t − = MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT 4x − x−  x− +  (5x − ) t −1 t ng trình =0 ⇔ x = 5x − = x2 − x −1 x2 − = (5x − 6) − x −1 − x−   (5x − 6)2 − NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM Đ thi HS G T nh Qu ng Ninh năm Xác đ nh t t c gi tr c a tham s m đ BPT sau có nghi m x + 3x − ≤ m( x − x − 1) 3 HD Nhân liên h p đ a v d ng Đ thi HS G T nh Qu ng Bình năm ( ) x + x − (x3 + 3x2 − 1) ≤ m Gi i ph HD PT ⇔ (x + 1)3 + = (x + 1) ( 3x + ) Đ thi HS G T nh H i Phịng năm ng trình x + 3x + 4x + 2= (3x + 2) 3x + + 3x + Xét hàm s Gi i ph ng trình f ( t) = t + t t > 2x −= 27x3 − 27x2 + 13x − HD PT ⇔ (2x − 1) + 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 2x − 1) = f(3x − 1) Đ thi Kh i A – năm HD T pt Gi i h ph ng trình x=   cho ta [(2x)2 + ( (4x + 1)x + (y − 3) − 2y =  2 4x + y + − 4x = − y Hàm s = f(t) (t+2 + > t⇒ ⇒f t = t2 ) + 1  − y ⇒ f 2x)= f( − 2y ) 2x = − 2y ⇒ 4x2 =5 − 2y ⇒ y = − 4x 2  − 4x2  Hàm ngh ch bi n kho ng có ta có 4x +  v i 0≤ x ≤  + − 4x =   nghi m nh t x =  x + y = a tham s Đ thi HS G T nh Ngh An năm Cho h   x + + y + ≤ a Tìm a đ h có nghi m x y th a mãn u ki n x ≥ HD Đ ng tr c toán ch a tham s c n l u ý u ki n ch t c a bi n mu n quy v bi n đ kh o s át Th vào − x =y ≥ ⇒ x ≤ 16 Đ t t = x t∈ Gi i h ph ng trình Xác đ nh m đ b t ph kh o s át tìm Min ĐS a ≥ + 2 y − 4x + =  x 3 y 2 + x = y + xy −2x +4 ng trình s au nghi m v i m i x Đ thi HS G T nh Th a Thiên Hu năm Đ nh giá tr c a m đ ph ng trình sau có nghi m Gi i PT ( 4m − 3) (e sinx log 2+ −e+ ) x2 − = x− log    2+ x2 − x − x + + (3m − ) − x + m − =  y −x2 x + =  e Olympic - l n th VIII Gi i h ph ng trì nh sau  y +1  log x + y= +  Các toán liên quan đ n đ nh nghĩa đ o hàm −x   Cho f(x) =  x2 + e x > − 2esinx esinx − e − sinx − 1 ≤ log x + y + + Tìm a đ t n t i f −x − ax + x ≤ acosx + bsin x x ≤ Cho F(x) =  Tìm a b đ t n t i f  ax + b + x <  x2 x2 x ln x x > x>  ln x − f(x) =  CMR F'(x) = f(x) F(x) =  x=   x=  Cho f x xác đ nh R th a mãn u ki n ∀a > b t đ ng th c sau ∀x ∈ R Ch ng minh f x hàm h ng MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT f x + a − f x − a < a2 NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM  Tính gi i h n N1 = limπ x→  Tính gi i h n N3 = lix→m0 e−2x − + x2 x→0 ln + x ) tanx − sin2 x − Tính gi i h n N2 = lim x + x + − + x3 x esin x − esinx x→0 sin x Tính gi i h n N4 = lim e−2x − + x2 x→0 ln + x )  Tính gi i h n N5 = lim x + − x→0 sin x 4x − x Tính gi i h n N8 = lim x→0 x−32 sin 3x sin x  Tính gi i h n N7 = lim e − e x→0 sin x 3x  Tính gi i h n N9 = lim x→0 2x Tính gi i h n N6 = lim − cos x + sinx − − sinx Cho P x đa th c b c n có n nghi m phân bi t x x x x n Ch ng minh đ ng th c sau  P x1 P x P xn + + + = P x1 ) P x ) P xn ) a 1 + + + = P x1 ) P x ) P xn ) b)  Tính t ng sau a Tn (x) = cosx + cos x + + ncosnx Tn= x b) CMR c) x x x tan + tan + + n tan n 2 2 2 Cn + Cn + + n n − Cnn= n n − Sn x = s inx + sin x + sin x + + n2sinnx d e) = Sn x x+ x+ + + + x (x + 1) (x + 1)2 (x + 2)2 Các toán liên quan đ n c c tr c a hàm s x+  x + n − α a b c d e f g) b  x + n n+ x n+ − n + Ch ng minh r ng x n+ + a n+ =  x2  Tìm tham s m đ hàm s sau có nh t m t c c tr + y = (m 1)  −  1 + x  Cho n ≥ n∈ N n l Tìm c c tr c a hàm s CMR ∀x = / ta có y= +∞ ) ph msin x − cosx − mcosx ng trình có nghi m Cho ph ng trình nh t ng trình đ t c c tr t i ng trình  m phân bi t thu c kho ng   ax + bx3 + cx + dx + e = có nghi m ng trình có m t nghi m th c NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com 9π   ax + ( b + c ) x + d + e = có nghi m th c thu c P x = x5 − 5x + 15x3 − x2 + 3x − = Ch ng minh r ng ph MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT  x2  4m 3m + 2 1 + x   x xn   x xn   + x + + +  −x + − −  < n  n   Tìm a đ hàm s = y f(x) = −2x + a x2 + có c c ti u Tìm m đ hàm s y = x2 + x + + x2 − x + Cho s th c a b c d e Ch ng minh r ng n u ph n a kho ng n− a n + bn a+b ≤     Ch ng minh r ng v i a > n ≥ ( n ∈ N n ch n ph ng trình s au vô nghi m Cho α ∈ R a + b ≥ Các toán ch ng minh ph a n− Tr  Ph n II PH PH N II PH Tìm hàm s a b Tìm hàm s Tìm hàm s Tìm hàm s c d Tìm hàm s Tìm hàm s NG TRÌNH HÀM VÀ ĐA TH C NG TRÌNH HÀM-ĐA TH C f R → R tho mãn đ ng th i u ki n sau f(x) lim =1 x→0 x f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + x2 + xy + y ∀x y ∈ R f R → R tho mãn u ki n sau f R → R tho mãn u ki n sau f ( x + cos f R → R tho mãn đ ng th i u ki n sau f ( x ) ≥ e2009x f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) ∀x y ∈ R f R → R tho mãn u ki n sau f R → R tho mãn u ki n sau Đ thi HS G T nh H i Phòng năm MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT ) ( ) y )= f (x) + ∀x y ∈ R cos ( f ( y ) )∀ x y ∈ R f= ( x + y ) f x ef ( y )−1 ∀x y ∈ R f ( x f ( x += y ) ) f y f ( x ) + x2 Tìm hàm f  →  th a mãn f x + yf x + f y = f ( y + f x ( f (x − f y ) = f x + y 2008 + f f y + y 2008 + ) ∀ x y ∈R NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR PH N III B T Đ NG TH C VÀ C C TR Cho a b c ∈ R a2 + b2 + c2 = Ch ng minh r ng a2b + b2c + c2a ≤ Cho s th c không âm a b c Ch ng minh r ng a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 2 2 2 Cho s th c a b c Ch ng minh r ng a2 b2 c2 + + + b c a Cho a b c + + ≤ a+b b+c c+a Cho s th c không âm a b c tho mãn s th c d Cho a b c ng tuỳ ý x y z CMR Cho s th Cho s th Cho s th a + b) ≥ (a + b + c) abc = Tìm Max c a P = a7 b8 c9 ab2c3 ng x y z thõa mãn x + y + z2 = y− z−x z− x−y + zx xy bc ca ab a+b+c c d ng a b c CMR + + ≤ a+ b+ c b+ c+ a c+ a+ b 1 1 c d ng a b c CMR + + ≤ a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 1 c th a mãn u ki n CMR ab + bc + ca ≤ + + = a + b + c + c d ng th a mãn u ki n a2 + b2 + c2 = CMR 1 + + ≥3 −a −b −c CMR Cho s th ( a2b (a + b + c) P= Tìm GTNN c a Cho s th c d a+b+c+ ∑ x − y −z yz Cho x y z s th c d + ng tùy ý CMR x y z + + ≤ x+y y +z z+x a2 b2 c2 a−b + + ≥a+b+c+ b c a a+b+c 1 Cho s th c d ng a b c th a mãn abc CMR + + ≥ a b+c b c+a c a +b Cho s th c x y z th a mãn xyz v ( x − )( y − )( z − ) =/ CMR Cho s th c d ng a b c CMR 2 Cho a b c s th c d Cho s th c d  x   y   z   x−  + y −  +z−  ≥1       a−b+c b−c+a c−a +b ng b t kỳ CMR + + ≥ a2 + b + c b2 + c + a c2 + a + b 2 ng a b c th a mãn a2 + b2 + c2 = CMR 1 + + ≤ − ab − bc − ca Cho s th c a b c th a mãn Cho a b c s th c d a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 + CMR a2 b2 c2 + + b + c c + a a + 2b MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT a+b+c ≤ + abc a b c3 + + ≥ 2 −a −b −c Cho s th c d ng a b c th a mãn = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ng a b c Ch n ĐTHS G QG Ng h An năm F= a2 + b2 + c2 = CMR 3 NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n III L i gi i T gi thi t a + b4 + c4 − ⇒ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 + F= = ⇒ a2 + b2 + c2 + Ta l i có B T Đ NG TH C VÀ C C TR a2 + b2 + c2 = ≤ ⇒ ≤ a2 + b2 + c2 ≤ 16 a + b4 + c4 ≥ + a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 a4 b4 c4 a2 + b2 + c2 + + = + + ≥ 2 b+ c c+ a a + b a b+ c b c+ a c a+ b a b + b c + c2a + a2c + b2a + c2b) L i có a2 b + b2c + c2a= a ab + b bc + c ca ≤ T + a2c + b2a + c2b ≤ a2 + b2 + c2 ng t T ta có F ≥ ĐÁP ÁN C A S a2 + b2 + c2 a2 b2 + b2c2 + c2a2 ≤ a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 3 a +b +c ≥ D u b ng x y ch a b c GD ĐT NGH AN 2 Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có a2 b + c a2 a2 b + c a2 a2 + ≥2 = b + 2c b + 2c T b2 c + a b2 b2 c2 a + b c2 c2 + ≥ + ≥ c+ a a+ b ng t a2 b2 c2 + + b+ c c+ a a + b ≥ a2 + b2 + c2 − a2 b + c + b2 c + a + c2 a + b  L i áp d ng AM – GM ta có a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3 a2c + b2a + c2b ≤ + + =a3 + b3 + c3 3 T suy 2 F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c ) a2 + b2 + c2 ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 9 F= Suy ( ( Đ t= t ) ) ( ( a + b + c ) t gi thi t ta có (a + b + c ) − = (a + b + c ) ≥ (a + b + c ) ⇒ (a + b + c ) − (a + b + c ) + ≤ ⇒ ≤ a + b + c 2 2 2 2 2  V y minF = x y a = b= c = 2 Do F ≥ t − t = f(t) v i t ∈ 27 T Mà f = t f= t ∈ ) ( 2 2 ) (a + b2 + c2 ) 2 2 ≤ 16  suy F ≥ Đ thi HS G T nh Ngh An năm Cho s th c d ng x y z Ch ng minh r ng 1 36 + + ≥ 2 x y z + x y + y z2 + z2 x L i gi i BĐT cho t ng đ ng v i Ta = có ( xyz ) ≤xy yz zx MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT ( 1 1 + x y + y z2 + z2 x  + +  ≥ x y z )  xy + yz + zx      NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n III B T Đ NG TH C VÀ C C TR ( xy + yz + zx )    xy + yz + zx  Do = + +   ≥ =  xyz xy + yz + zx x y z   2 ( ) L i có + x y + y z + z x = + x y + + (y z + Nên ( VT ) 2 2   +  ĐÁP ÁN C A S Áp d ng b t đ ng th c Cơsi ta có Và x2y xy yz z2y x2z2 zx 12 x y 2z2 (1) x y z hay ≥  + xy + yz + zx  ⇒ VT ≥ GD ĐT NGH AN B t đ ng th c c n ch ng mi nh t ng đ ng xy yz zx x2y z2y x2z2) 2  + + + +  xy + yz + zx  =   xy + yz + zx xy + yz + zx xy + yz + zx + zx + 2 27 ≥  + xy + yz + zx  = xy + yz + zx ≥ 2 xyz x2y z2y x2z2 Do v đ u d ng t suy xy yz zx x2y z2y x2z2) xyz đpcm D u đ ng th c x y ch x y z Đ thi HS G T nh Qu ng Ninh năm l n nh t c a = M  ≥xy yz zx   Cho s th c d xyz (2) ng x y th a mãn đk 3x 3y 1 + − 2− y(x + 1) x( y + 1) x y x + y +1 = 3xy Tìm giá tr L i gi i M = Ta có Ta có 3xy = x + y + ≥ xy + ⇒ xy ≥ ⇒ xy ≥ 1 3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − ) − (1 − 3xy) + 2xy 3x 3y 1 = + = = + − − y (3x − 1) x2 (3y − 1) x y y (3x − 1) x2 (3y − 1) x2 y 9xy − 3(x + y ) + 1 4x2 y Đ thi HS G T nh Qu ng Bình năm Cho s th c d  a3 a a3 + +1≥3  b  b b HD   a3 b3 c3 3 ≤ + + b c a  Đ thi HS G T nh Vĩnh Phúc năm bi u th c P= y + z − x + xyz HD P ≤   y + z2 − x  +  Đ thi HS G T nh H i Phòng năm 3 Cho x y z ≥ th a mãn x x2 + y + z2 = Tìm giá tr l n nh t c a y + z2 − x2 =  − x2 − x  + x ( PMax = )   2 Cho a b c ≥ a2 + b2 + c2 = Ch ng minh r ng a3 + 2b3 + 3c3 ≥ HD Có th dùng cân b ng h s ho c Svacx Cho x y z s th c d ng th a mãn xyz = Ch ng minh r ng x + y4 y + z4 z4 + x + 6 + ≥ 12 6 z + x6 x +y y +z MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT ng a b c CMR a b c a b c + + 3≥ + + b3 c a b c a NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n III 10 L i gi i Đ t= x a= y b= z c ⇒ abc = 2 a +b b +c c +a + 3 + 3 ≥ 12 3 a +b b +c c +a Áp d ng B t đ ng th c AM-GM cho s ta có 2 a2 + b2 2 2 ( B T Đ NG TH C VÀ C C TR B t đ ng th c cho tr thành ) ( ) = a6 + a b2 + a b2 + a b2 + b6 + a2b4 + a2b4 + a2b4 ≥ Đ thi HS G T nh Đ ng Nai năm Cho a b c ( a6 b6 a3 + b3 ) Ch ng mi nh r ng a+b+c + + ≥ a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 ) HD  a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + c2 + a2 )    BĐT ⇔ a + b + b + c + c + a  ≥   a+b 2 Đ thi HS G T nh Phú Th năm Và ý a2 + b2 ≥ Cho x y z > a+b+c x + y + z = Ch ng minh r ng x + y y + z3 z + x ≥9 + + xy + yz + zx + Cho a b c đ dài ba c nh m t tam giác có chu vi b ng Đ thi ch n ĐT Ninh Bình năm 272 r ng a2 + b2 + c2 + abc ≤ 27 HD Bài ch n ph n t l n nh t mà đ o hàm Đ thi HSG T nh Bình Đ nh năm HD VT = ∑ a4 a2 + b2 + c2 ≥ abc abc ≥ Cho a b c a+b+c abc Đ thi ch n HS G QG T nh Bình Đ nh năm yz zx 5xy nh t c a S = + + x y z Đ thi ch n HS G Thái Nguyên năm Tìm giá tr nh nh t c a + P = xyz ≤1 − ab − bc − ca Đ thi ch n ĐT tr ng ĐHSP I Hà N i xyz x y y z z2 x P = + + + z3 x y xy + yz2 + zx2 ) L i gi i x y z Đ t = a = b = c ⇒ abc = Lúc y z x Ta có + a + b += c abc a + b += c ≥a+b+c Cho x y z Cho a b c > th a mãn Tìm giá tr nh xy + xz = P= + + = +x +y +z a2 + b2 + c2 = Ch ng minh b t đ ng th c Cho s th c d ng x y z Tìm giá tr nh nh t c a a b c 13 + 2+ 2+ + a b+c b c a ab ac + ab bc + ac bc ≤ a   a + b2 ≥ b  b a b c 1  L i có  + ≥ ⇒ + + ≥ + + = ab + bc + ca c a b c b c a b c 1 c  + ≥2 c c a 13 Do P ≥ ab + bc + ca + ( V i ab + bc + ca ≥ ab + bc + ca MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT a3 b3 c3 + + ≥a+b+c bc ca ab Cho s th c x y z th a mãn u ki n Đ thi ch n HS G QG t nh B n Tre năm CMR ab + bc + ca ) NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Ch ng minh Tr 10 Ph n III 11 L i gi i B T Đ NG TH C VÀ C C TR y x z a2 b2 c2 = a = b = c ⇒ abc = Lúc P = + + + b c a x z y Đ t Bài toán t L i gi i ng t Cho x y z > xyz ≤ Ch ng minh r ng 1 = a = b = c ⇒ abc ≥ x y z Đ t abc ≥ a+b+c + ab + bc + ca a+b+c x y z + + + ≥4 y z2 x x + y + z a2 b2 c2 abc a+b+c V i a + b + c ≥ 3 abc = + + + ≥ + c a b ab + bc + ca a+b+c a+b+c a + b + c = Tìm giá Đ thi ch n đ i n ĐH Vinh năm Cho a b c s th c thu c đo n BĐT cho tr thành 1 + + a2 + b2 + c2 + 1 1 HD Dùng pp ti p n B t đ ng th c + ≥ + ∀x y ≥ x + y ≤ x +1 y +1 (x + y )2 + Đ thi ch n HS G QG t nh Lâm Đ ng Cho a b c s th c d ng Ch ng minh r ng 2 a b c + + ≥ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 + c2 − ca + a2 b c a L i gi i tr l n nh t nh nh t c = a P C THTT Do = VT C Ta có  a2   b2   c2  Ta có  + b  +  + c  +  + a  ≥  b   c  a ∑ a+b+c ⇒  a  a2 b2 c2     + +  ≥ ∑  + b − a=  + b  b b c a   a2 b2 c2 + + ≥a+b+c b c a  a2 − ab + b2   + ∑  ≥ b  b    a2 − ab + b2 ≥ a + b + c Mincopxki a2 − ab + b2 ∑ a2 − ab + b2 ≥ a2 − ab + b2 ≥ ∑ Svacxo a+b+c b Đ thi ch n đ i n tr ng L ng Th Vinh – Đ ng Nai năm Mà VT = ∑ r ng ab + bc + ca ≥ a + b + c 2 HD BĐT ⇔ L i gi i Ta có ab2 + ab2 + bc2 ≥ Ch n ĐT HS G QG t nh Phú Th năm 2 b+c b+c  b+c + ≥ 3 2  ⇒ a a  a  Đ thi HS G T nh Ngh An năm 2+ a b a  + + a c ≥ a  a 2c = b c b   Cho a b c > a+ bc a b c Lúc = x = y = z ⇒ xyz = b c a z x y x   L i có P=+ − + = + ∑ x+ z y+ x z+ y x z  +  x x2 x+y +z = ∑ x + z ∑ x2 + zx x + y + z +≥ xy + yz + zx Do P ≤ − 13 = D u 34 MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT Ch ng minh b t đ ng th c a  a  ≤ 3 a + b + c  b + c  Cho s d ng a b c thay đ i Tìm giá tr l n nh t c a P= HD Đ t Ch ng minh abc = a2b2c2 b3 = 3b  a  3 b  3 c   b+c  + c+a  + a +b ≥       HD Cho a b c > a b c + + ≥ a + b + c Chú ý b c a VP bc + b+ ca ca + c+ x+y +z ≥ x+y +z x+y +z + x y ch x y z ab ab = NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 11 Ph n III 12 ĐÁP ÁN C A S Đ= t x = a y Khi P = − GD ĐT Ta có P = B T Đ NG TH C VÀ C C TR c x y z ∈( + ∞) = bz yz zx xy + + x2 + yz y + zx z2 + xy yz zx xy + + x + yz y + zx z2 + xy  x2 =  2+  x + yz y2 z2  − 2=  Q y + zx z + xy  + áp d ng bđt BCS ta đ c   x y z  x2 + yz + y + zx + z2 + xy   x2 + yz  y + zx z2 + xy   (x + y + z) ⇔Q≥ ( x + y + z ) + xy + yz + zx ( ≤ Q x + y + z2 + xy + yz + zx ) (x + y + z) xy + yz + zx ≤ Suy Q ≥ M t khác 3 P ≤ ⇒ P ≤ 4 D u b ng x y ch a= b= c V y giá tr nh nh t c a P b ng Đ d b HSG T nh Ngh An Cho ba s d ng a b c tho mãn a2 b2 c2 + + b+c c+a a+b 1 L i gi i Gi s Áp d ng b a≥b≥c⇒ ≥ ≥ b+c c+a a +b a2 b2 c2   P= + + ≥ a2 + b2 + c2  + + = b+c c+a a+b  b+c c+a a+b c a bi u th c P= ( ≥ ≥ a + b + c) ) a2 + b2 + c2 = Tìm giá tr nh nh t t đ ng th c Chebysev ta có    b+c + c+a + a +b≥   3 a + b2 + c2 ) L i gi i Áp d ng BĐT Swcharz a b4 c4 a2 + b2 + c2 )2 P= + + ≥ a b+c b c+a c a +b b(a2 + c2 + a b2 + c2 + c a2 + b2 ) L= i có a b2 + c2 ) Đ ch n đ i n QG d a b2 + c2 ≤ thi IMO b c a L i gi i = x= y = = z ⇒ xyz a b c Áp d ng AM-GM ta có  a2 + 2(b2 + c2 )    2  b2 + c2 (1 + x ) Ta c n CM b t đ ng th c MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT + +x Cho a b c + a3 b3 + a+b b+c B t đ ng th c cho tr thành (1 + x ) CMR 3 + +y 1 ≥ 33 = 8(1 + x) 2(1 + x ) + +z ≥ +x + + c3 c+a +y 3 ≥ + +z ≥ NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 12 Ph n III 13 B đ Do (1 + x ) + (1 + y ) B đ đ VT ≥ ≥ + xy + ( ∀x y > + xy z = + z+ +z ng đ Cho x y z ≥ −x −y + + 1+ x 1+ y P= ng đ a v BĐT hi n nhiên xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ z z+ + z2 + z + = =2 +z z + z+ = xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ Xét hàm s Suy f z ) ≥ f(1) = Đ thi HS G T nh Hà Tĩnh năm ( ) f z = z2 + z + z2 + z + z2 − z+ = f z Thi t l p BĐT t Chú ý Đ tìm Max c n s d ng BĐT ph Đ thi HS G l p −z +z t nh Hà Tĩnh năm 1−x 1−y 1−x −y x + y ≤ MaxP= + + ≤ + 1+ x 1+ y 1+ x + y Cho x y z > x + y + z = Ch ng minh b t đ ng th c ( xz + yz + zx ) xz xy yz xz xy yz + + = + + ≥ y y +z z z+x x x+y xyz y + z xyz z + x xyz x + y xyz x + y + z Mà xyz x + y= +z xy + yz + zx ⇒ VP ≥ Cho a b c ≥ a + b + c = Ch ng minh r ng a b3 + + b c3 + + c a3 + ≤ Cho a b c đ dài P= c nh tam giác ABC Tìm GTNN c a a HD = ≥ b+ c−a a a b+ c−a a a+b+c Cho a b c ≥ a + b + c = c a P Tìm GTLN GTNN = HD Tìm GTNN Áp d ng BĐT Mincopxki ta có P = a2 + a + + b2 + b + + c2 + c + = Tìm GTLN CM b t đ ng th c Bình ph xy yz + xz zy + zx xy ≤ Đ thi HS G T nh Qu ng Bình – B đ ≥ ∀z ≥ x+y +z = Tìm giá tr nh nh t c a x y z +x +y +z + + ≤ 2 + +  y +z z+x x+y y z x  x x y z y z  xz xy yz BĐT ⇔ 2 + + + +  + ≤ 2 + +  ⇔ ≤ y y + z z z + x x(x + y)  y +z z+x x+y  y z x Ta l i có VP = 1−x x2 ≥ (1 − x) ⇔ − x − − x2 ≥ ⇔ − x ≥ 1+ x + − x2 ng t ta có P ≥ L i gi i Gi i ) c CM b ng cách bi n đ i t ( +z Gi s = z ⇒ Max x y z B T Đ NG TH C VÀ C C TR ng v ta có + a + a2 + ∑ a + b+ c−a b + a+ c−b c b+ a −c a2 + a + + b2 + b + + c2 + c + 2 1   3   a a b c + ≥ + + + + +           + b + b2 ≤ + + a+b + a+b 3      2 + a + a2 )(1 + b + b2 ) ≤ ab + + a + b + a + b ⇔ + a + b + a + b + − a − b) ≥ Đ thi ch n HS G QG t nh H i D ng năm Cho a b c > a + b + c = Tìm giá tr nh nh t c a bi u a2 b2 c2 + + a + b3 b + c3 c + a3 HD AM-GM ng c d u a2 ab3 ab3 Ta có = − ≥ − = a − b a2 ≥ a − b a + a + a a a + b3 a + b3 ab th c P= MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT = a − b − ab 9 NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 13 Ph n III 14 B T Đ NG TH C VÀ C C TR (a + b + c) P ≥ a + b + c) − a + b + c − ab + bc + ca ≥ − = 9 3 Do Đ ch n ĐT tr ng chuyên B n Tre Cho x y z ≥ Tìm GTLN c a M = Gi i Đ t x+y +z = t ≥ ta có Xét hàm s Cho a b c > f( t ) = 27 t≥ − t + (t + 3)3 +x  x+y +z+  +z ≤    +y − x+y +z+ Lúc M ≥ +x 27 − t + (t + 3)3 +y +z a4 + b4 + c4 + a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b Ch ng minh r ng HD Ta có 3a + = a + a + a + ≥ 4 a1 = a3 Do VT ≥ ∑ a3 = b+c a4 ∑ ab + ac ≥ Svacxo 1 4 + + + ≥ + + a b c a+b+c a+b a +c b+c Cho a b c > HD Ch ng minh r ng Cho a b c > a + b + c = Ch ng minh r ng Cho a b c > CMR Cho a b c > CMR a ( b c c + ab c a + ) b( a + bc + ) c( a b c   + + ≤  + +  a b c a2 + b2 + c2 b + c2 + a c + a2 + b2   a b c Cho a b c > ab + bc + ca = CMR + + ≥ abc a2 + bc b + ca c + ab + a3 + b3 + c3 Cho a b c > CMR + + ≥3 + a 2c + c2 b + b2a 1 Cho a b c > abc = CMR + + ≤ +a +b +c Cho a b c > Cho a b c ∈( Cho a b c > Cho x y z > CMR 1 27 + + ≥ b a+b c c+b a a+c a+b+c b+c a + c+a b b a 1 + + = CMR a b c Cho a b c > a+b+c = CMR Cho a b c > Cho x y z > a+b c Tìm Min c a = P CMR abc = CMR x+ Đ thi HS G T nh Bình Ph + ≥ a+ b+ c+ a c + b + ac ) ≥ c b ≥1 b c −c a a b −b c c a −a b CMR + abc = ≥ a + b + c ab + bc + ca x y z x 2z y2x z2 y CMR + + ≥  + +  3 xyz + y xyz + z xyz + x y z x CMR Cho a b c > Cho x y z > + a b a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a + bc b + ac c + ba x3 + y + y + z3 + a + b + c ≥ ab + bc + ca  x y z  z3 + x +  + +  z x  y 1 + + ≤1 a+b+ b+c+ c+a+ y x + + x+y x+z y + x+y y +z z+ MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT c năm Cho a b c > CMR z x+z y +z ≤1 a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a +b b +c c +a NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 14 Ph n III 15 Đ thi HS G T nh Thái Bình năm c a bi u th c F= x2 + y + Cho s th c x , y , z th a mãn x + y + z2 = Tìm giá tr l n nh t y+ z+ z + x2 Đ thi HSG TP H Chí Minh năm a b c + + ≥ b2 + c + a + 2 Cho a b c Ch ng mi nh r ng Cho a b c s th c không âm th a a + b + c = Ch ng minh a b c + + ≤3 a+b b+c c+a a b c y= z= ⇒ xyz = b c a Ch ng minh B t đ ng th c a log b+c a2 + log c+a b2 + log a+b c2 ≥ HD Đ t x = b c Cho x y z ≥ Gi i B T Đ NG TH C VÀ C C TR Áp d ng B đ (a b c > )  log bc log c a log a  2 + + (a b c > ≥ b c c a a b a b+c + + + +   1 + ≤ ( xy ≤ 1) + x2 + y + xy ) xy + yz + zx = Tìm giá tr nh nh t c a P = x2 y + y 2z3 + z2 x3 + x − MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT + y− NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com + z− Tr 15 Ph n IV GI I H N DÃY S 16 PH N IV GI I H N DÃY S x1 =   + x2n log x n−+ = Cho dãy s ( HD Xét hàm s f (x)= Ch ng minh dãy s có gi i h n v tính gi i h n ) < f(5) < f(x) < f(0) < Mà x n+ Do g( x = L i xét hàm s −2x < ∀x ∈ (x2 + 11)ln3 = f (x n ) b ng quy n p ta CM đ c r ng < x n < ∀n − log3 (x2 + 11) x ∈ − log3 ( x2 + − x x∈ Suy ph ng trình f x x có nghi m nh t x ( Vì f '(c) = 2c ≤ (c + ln3 = c2 ln −2x − < ∀x ∈ (x + 11)ln3 Ta có = g'(x) f(x n ) −= f(4) f '(c) x n − ≤ Theo đ nh lý Lagrage ∃c ∈ (x n 4) cho 2c f '(x) = ta có ln  x n+ − ≤   ) Do ln   ln  xn − n−1 x −4 →0 Cho ph ng trình x n+ = x + v i n nguyên d ng Ch ng minh ph ng trình cho có nh t m t nghi m th c v i m i n nguyên d ng c ho tr c G i nghi m x n Tìm limx n Gi i T ph Đ t fn (x ) = x N ux ng trình n+ x > = x + ⇔ x(x n − 1) =1 ⇒ x(x n − 1) > ⇒ x(x − 1) > ⇒  x < n+1 − x −1 Hàm y fn ( x ) liên t c R f nghi m kho ng N ux x ta có Hay (x fn x = n+ x 2n − > n+ n H nn a f ) ( Đ thi HS G T nh Qu ng Bình năm Ta có Do hàm f x tăng Cho dãy s u n+ = u n + un ng trình fn+ (x n ) fn ( x n ) lim x= a a ≥1 n u1 =    u2n un+= un + 2010  Đ t Sn = u u u + + + n u u u n+ L i gi i cho k  u u  a ⇒ limun+ = lim  un +  ⇒ a = a + 2010 ⇒ a = 2010 2010   n n Suy dãy u n tăng không b ch n nên MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT −    −  u  n+  n ta có Sn = u2n ≥ un ⇒ Dãy u n tăng 2010 b ch n Suy t n t i gi i h n h u h n limu = a a> n L i có un+ = un + un >x n nên có gi i h n Gi s u2 u − uk u u − uk u u uk + − uk =k ⇒ k + =k ⇒ k + = k = ⇒ k uk uk uk + uk + uk + T h th c Gi s x→+∞ ) fn+ (x n ) > fn (x n ) =0 =fn+ (x n+ ) ⇒ x n > x n+ ng trình khơng có = − lim f x = +∞ suy ph − x n − − x nn+ −=∀ x n − x nn+> (x⇒ n − 1) > V y dãy x n dãy gi m b ch n d i b i Ta s ch ng minh a Th t v y gi s a Tìm limSn x→−∞ −∞ ) có nghi m x n ∈ (1 +∞ ) nh t Xét hi u fn+ (x n ) −= fn (x n ) = − lim f x = −∞ suy ph limun = +∞ ⇒ lim 1   uk   uk+  Do t Vơ lý = u n+ ⇒ limSn = NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 16 Ph n IV GI I H N DÃY S 17 Đ thi HS G T nh Bình Đ nh năm Cho dãy s có gi i h n tìm gi i h n L i gi i < x1 <    x2n ∀n ≥  x n+ = + x n −  xn x2 Ta có f '(x) = − x < ∀x ∈ 2) Do x∈ 1= f(2) < f(x) < f(1) =< T thay x b i x x x n ta có < x x Suy dãy x n b ch n Xét hàm s f x= +x− Gi s dãy s có gi i h n a lúc a th a mãn pt a = + a − Ta s CM gi i h n b ng đ nh lý k p   x2n   Xét hi u x n+ − =  + x n −  −  + −     ( 2) 2 Ch ng minh dãy s xn xn < a2 ⇒a=    = xn − xn + −   ( ) L i có < x n < ⇒ − < x n + + < ⇒ x n + + < Do x n+ − < ( xn − 2 n−1 ) T cho n n− nhân l i v i ta có  2 limx x1 − Mà lim  = x1 − ⇒= n      u1 =  Bài toán t ng t Cho dãy s Tìm limun un  u u = n − ∀n ≥  n+ x1 =  Đ thi HS G T nh B n Tre năm Cho dãy s Ch ng minh r ng xn  = x n + x n + − x 2n − x n + x n+ dãy s có gi i h n v tìm gi i h n L i gi i 2x n Ta có = x n+ x2n + x n + − x 2n − x= n +1 x2n + x n + + x2n − x n +  2 x n+1 − <      ( B ng quy n p ta ch ng minh đ L i có x2n + x n + + x2n − x n += ) c r ng x n > ∀n = ( ) 2 1 3 1 3    x n +  +   +  −x n +  +   ≥Mincopxki          1    3 ≥ + x n +  +  −x n +   +   =   Mincopxki 2     2   T suy x n+ < x n V y dãy x n gi m b ch n d ib i nên t n t i gi i h n h u h n Gi s limx n = a ⇒ a = a2 + a + − a2 − a + ⇒ a = Đ thi HS G T nh Ngh An năm Tính limUn v i U= n L i gi i Ta có n+ MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT xn Cho dãy s x1 =   xn  x + x + + n − 1)x n− x n = n(n2 − 1)  n> NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 17 Ph n IV GI I H N DÃY S 18 x2 = V i n ≥ ta có + nx n n n2 −  x + x + + n − x n−  =  x + x + + n − x n−  + n − x n− = n −  n − n3 x n = nx n + n − T suy cho n T xn x n x n− x = = x2 x n− x n−2 x2 ta có Do = = limUn lim x n− ⇒ n+ n n+ −  x n− + n − n− n  ⇒ =  n n+ x n− = n − xn N u x = quy n p ta đ N u x0 > c xn > c xn = ∀n > ∀n > Hi n nhiên limx n = x2 (x − 1)2 x(x2 + 3) kho ng = > ∀x ∈ f '(x) +∞ ) ta có (3x2 + 1)2 3x + Do x = f ( x1 ) > quy n p ta có x n > ∀n x k (x2k + 3) x k+ < x k ⇔ Gi s limx n = a > = ⇒a a a2 + = ⇒a a2 + x2 (x − 1)2 > ∀x ∈ (3x + 1)2 ⇒= f TH Do = x f x1 ∈ Do x k+ > x k ⇔ ( quy n p ta có x k (x + 3) k k 3x + ( > xk ⇔ ) a a2 + = ⇒a a2 + K t lu n limx n = Bài tốn t ng t Cho α > có gi i h n tìm gi i h n Ch n đ i n ĐH Vinh năm MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT f(x) = a> i nên t n t i gi i h n h u h n x(x2 + 3) kho ng 3x + < f x) < f(1) = xn ∈ 2x k (x − 1) k 3x2k + +∞ ⇒ f x > f(1) = > v i x k > ) < x < x < < x n < x n+ < limx n = a > = ⇒a 3x 2k + > x n > x n+ > Dãy s gi m b ch n d x >x > N u < x0 < Xét hàm s = f x ta có 3x + k < xk ⇔ 2x k (x 2k − 1) L i có T ta có x n− n2 n + 1) f(x) = Xét hàm s x0 >   Ch ng minh dãy có gi i h n v Cho dãy x n  x n (x2n + 3) x = ∀n ≥  n+ 3x n +  tìm gi i h n L i gi i B ng quy n p ta ch ng minh đ TH n− n−   n  =     n3 − n  n   n +    n −   n −   2   n       =   n   n −      n + Đ thi HS G T nh Hà Tĩnh năm TH xn = x n− xn = + nx n n3 x n ta có ∀n < v i < x k < Dãy s tăng b ch n nên t n t i gi i h n h u h n Gi s u0 = α   hai s tùy ý Dãy un  un u2n + a = = u n  n+ u2n + a  u0 >   Cho dãy s un  un + + u2n + ) u n = =  n+ un −  Ch ng minh dãy Tìm limun NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 18 Ph n IV GI I H N DÃY S 19 Đ thi ch n ĐT HS G QG KonTum năm Ch ng minh r ng lim n→+∞ an Đ thi HS G T nh H i D n ng năm x1 =   x n+ = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + + Cho dãy s th c x = x2 2009x f x = + x> 2010 2010 = = x n+ − x n ∀n Xét hi u ∃limx n = a ( a > L i có i=1 ( x1= a >  Tìm  2010x n+ = x n + 2009x n c r ng x n > Gi s n Đ t yn = ∑ ∀n > )⇒ a = a2 + ng t (x n x n = f f f HD Chú ý Cho dãy s f f f f k− f k f n− f (2n ) = Tìm lim x n cho n Ta có f x 1 = − x n + x n + x n+ + x2n x − n 2010 2010 a ⇒ a= a= ∀x > ⇒ f(x) > f(1) = B ng quy n p ch ng minh x n (x n − 1) > x n > ⇒ x n+ > x n 2010 Không th a mãn V y lim x n = +∞  x − xn x 2010 =n+ 2010 =n −  (x n − 1)(x n+ − 1) x n+ −  xn − u n = n2 x n Tính gi i h n c a dãy s a1 = 2008  n  a i n2a n n > ∑ =  i=1 ) Tính lim n2a n a n− = n    Cho dãy s ( x n   = x n (n ) − a n ⇒ a n= x1 = MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT Xét dãy s n− a n + n− x + 4x n− + x n− ∀ n− ≥ có gi i h n h u h n n → ∞ tìm gi i h n x i=1 i Gi i yn = ∑      x n+ −  n→+∞ nhân l i đ tìm a n 2006 th a+ x = Ch ng minh dãy s x n+≥ = n + xn Đ thi HS G QG năm x→+∞  x x xn  lim  + + +  x n+ −   x −1 x −1 k − +1 k + )2 + a n ) xác đ nh b i xn x 2n + 3x n + ⇒ = x2n − (x n HD Ta có a + a + + a n= n2a n ⇒ ( n − Trong ) xn x1 =   x23 x23 x 23  n 24 Tìm gi i h n lim + + +   xn x x x n x x N = + ∈ n+   n+ n 24  c năm Đ t f n = n2 + n + + v i n s nguyên d ng Cho dãy s Đ thi HS G T nh Bình Ph Cho dãy s Tìm limy n xi + + n→+∞ 2010x n= x2n + 2009x n ⇒ 2010(x n+ = − n ⇒1) − x n ) x n (x + Bài t x n+ = x n th a mãn Sau ch ng mi nh dãy tăng không b ch n HD Xét hàm s đ Cho dãy s x n+ = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + =x 2n + 3x n + Cho dãy ( x n a n xác đ nh nh sau = Đ thi HS G T nh Phú Th năm HD Cho dãy s th c a1 =    a n+= a n + a n ≥ 1) n  x n ) có gi i h n tìm gi i h n y n Ch ng minh r ng dãy (y n ) v i NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 19 Ph n IV GI I H N DÃY S 20 Xét hàm s L i có x + 4x + x 2x + ta có= + > ∀x > f x 2 x + 4x b ng quy n p ta ch ng minh đ c x n > ∀n > x1 > f(x) = x2 = f x1 x2n− + 4x n− + x n− Xét hi= u x n − x n−= = − Suy dãy x 2n− + 4x n− − x n− x n− x a= x2n− + 4x n− + x n− Do y= n n i=1 tìm gi i h n Xét hàm s i f x = − x x− sin > x x x3 ≤ sinx ≤ x ∀x ≥ Do f(x) > ∀x > Mà x= f x Ta có f x = > x > 6x − − sin x Xét hi = u x n − x n−= x n− n− n− ) x− g t = t + cost − nh t a = ⇒ x= f x n− > n 6x n− g t = t − sin t ≥ ∀t ≥ ⇒ g t = ≥g c xác đ nh b i x x2n - ∀ n xn D th y x n > ∀n xét x n+ − x n = Do ∃ lim x n= a ( a > n→+∞ ∀n x x n− − x3n− − sin x n− ) < − sin x n−  − x n− 6x n− − sin(x n− ) + x 2n− x1 x Cho dãy (x n )  Tìm lim n+ n→+∞ x n xn xn n ≥ n ∈N x n HD Ch ng minh dãy ( x n ) tăng không b ch n Gi s gt = t + sin t − t ta có a − sina ⇔ a3 = a − sina Xét hàm s Cho dãy x n đ − cosx > ∀ 3 x − sin x x3 ≤ sinx ⇒ x − x3 − sin x < ∀x > gi m b ch n d i nên t n t i gi i h n h u h n Gi s S d ng B t đ ng th c Do dãy x n 1 = − x n x n− x n 1 1 1  1  + x1 − = − ⇒ lim y=   +  −  + +   n n→+∞ x  xn x12  x n− x n   x1   x x0 = 2009  Ch ng minh dãy có gi i h n h u h n n ∈ N xác đ nh b i  x n = x n− − sin x n− ) ∀n ≥ HD S d ng b t đ ng th c x n > ∀n ) n →+∞ x (x − x n− ) x n− x n− ⇒ n 2n +4x n− ⇒ x n (x n −x n− ) = =2⇒ x n x n− x n x n− ⇒( 2x n − x n−= ) x2n− ∑ x= Xét dãy s th c (x n a= > n →+∞ L i có xn = + 4x n − + x n − h n a lim x n (a > 0) Suy ∀n Gi s t n t i gi i h n h u= x n tăng x n > a + a +a Vô lý = a2 + a ⇒ a = ⇔a V y dãy x n tăng không b ch n nên limx n = +∞ 4x n− n− ) ⇒ a= > x2n + a2 + a⇒ x+ 11 lim n= lim + += n→+∞ x n→+∞ x n x2n n MATHVN.COM  Ph m Kim Chung – THPT xn − xn = n→+∞ xn a = −  Không th a mãn a = −  = Do pt có nghi m x n+ x x xn 8x2n + 11x n + x2n limx n = a a ≥ 0) ta có pt ⇒g t ≥g Tìm lim + xn ∀x n > ⇒ lim + xn = ∞ n→+∞ NG THÚC H A – T : 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr 20 ...Ph n I PH PH N I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM NG TRÌNH – BPT - H PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM Tìm giá tr c a tham s m đ hàm s y =−2x... 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM  x − y = 240  3 2 x − 2y = x − 4y − ( x − 8y ) x + x3 y + 9y... 0984.333.030 – Mail : p.kim chung@gm ail.com ThuVienDeThi.com Tr  Ph n I PH NG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ N Đ O HÀM Đ thi HS G T nh Qu ng Ninh năm Xác đ nh t t c gi tr c a tham s m đ