Đang tải... (xem toàn văn)
Dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn.. Chứng minh dãy 10.[r]
(1)httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 MỤC LỤC PHẦN I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI Trang DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,… Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố nước, Đề thi Olympic 30 -4 Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP (Phan Huy Khải ) Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10 Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11 Những viên kim cương Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12 340 bài toán hình học không gian ( I.F Sharygin ) 13 Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14 … và số tài liệu tham khảo khác 15 Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục các website 1 Lop10.com (2) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM Tìm các giá trị tham số m để hàm số : y =−2x + + m x2 − 4x + có cực đại ĐS : m < -2 + xsin2 x − 1, x =/ Cho hàm số : f(x) = Tính đạo hàm hàm số x = và chứng minh hàm số đạt cực tiểu , x =0 x =0 Tìm cực trị hàm số := y f(x) = | x | ( x − 3) ĐS : x =0 ; x=1 Xác đị nh các giá trị tham số m để các phương trì nh sau có nghiệm thực : a) ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − = ĐS : ≤ m ≤ b) c) x2 + − x = m ĐS : < m ≤ m ( ) + x2 − − x2 + = − x + + x2 − − x2 x2 + y = Xác đị nh số nghiệm hệ phương trình : ĐS : log3 x log y = x2 + y −x2 e = ĐS : (x,y)=(7;7) Giải hệ phương trình : y2 + 3log (x + 2y= + 6) 2log (x + y + 2) + y −1 x + x − 2x + 2= + Giải hệ phương trình : y + y − 2y + 2= 3x−1 + ( ) + 42x−y 5y −2x+1 = 22x−y +1 + Giải hệ phương trình : y + 4x + ln y + 2x + = Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) = x +2 10 Giải bất phương trì nh : ( ) (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + ĐS : 11 Giải bất phương trì nh : 3 − 2x + ( 2x − ) − 2x ≤ 12 Giải phương trình : 3x + 9x + + ( 4x + 2) 13 Giải phương trình : x3 − 4x − 5x += ( ≤ x ≤7 ) + x + x2 + = 7x + 9x − 2 xy − y + x + y = ĐS : m ∈ 1; 14 Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm : x y m − + − = 15 Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x + x − m x + + x ( x − 1) = x −1 x + + y + = 16 Tìm m để hệ có nghiệm: m x y + + y x + + x + + y + = ( ) 17 Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại x1 ;x2 CMR: f '''(x) f ''(x) , ∀x ≠ x1 ,x2 < f '(x) f '(x) 18 Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m Tìm m cho f (x) ≤ 36, ∀ m 19 Trong các nghiệm(x;y) BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 20 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x ( ) x +1 - x = ĐS : x=0 21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt : m x + y = 3 ĐS : m ≥ 2 ( y + ) x + xy = m ( x + ) Lop10.com (3) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc x − y = 240 22 Giải hệ PT : 3 2 x − 2y = x − 4y − ( x − 8y ) x + x3 y + 9y = y x + y x2 + 9x 23 Giải hệ phương trình : ĐS : (x,y)=(1;2) 3 x y − x = ( ) ( ( ) ) 4x + x + ( y − 3) − 2y = 24 Giải hệ phương trình : 4x + y + − 4x = 2 xy − y + x + y = 25 Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm : ĐS : m ∈ 1; m − x + − y = 26 Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x + x − m x + + x ( x − 1) = x −1 3( x + )2 + y − m = 27 Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt x + xy = ( ) x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 28 Giải hệ PT : y + y − 2y + 2= 3x−1 + sin x x −y e = sin y 29 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy − Π x,y ∈ 0; 4 30 Giải phương trình : 16x3 − 24x + 12x − = x 2x y y 2x 2x − − + 1+4 −y +1 + = 31 Giải hệ phương trình : y + 4x + ln y + 2x + = 32 Giải phương trình : 3x = + x + log3 (1 + 2x ) ( ) ( ) 33 Giải phương trình : −2x3 + 10x − 17x= + 2x 5x − x3 ĐS x + xy =y + y 34 Giải hệ phương trình : 4x + + y + = 10 x2 + 2x + 22 − y = y + 2y + 35 Giải hệ phương trình : y + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1 x+ y= 36 Giải hệ phương trình : y x x + = y + y x 37 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Giải phương trình : (5x − 6)2 − Lời giải : ĐK : x > 5x − 4x − =0 ⇔ x = (x − 1)(5x − 7) x − + 5x − 1 Cách : Viết lại phương trình dạng : (5x − ) − x2 − = (5x − 6) − x −1 Cách : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) + Và xét hàm số : f(t) t − = t −1 ,t> Lop10.com = x2 − x −1 (4) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc 38 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất các gi á trị tham số m để BPT sau có nghi ệm : x3 + 3x2 − ≤ m( x − x − 1)3 HD : Nhân liên hợp đưa dạng : ( ) x + x − (x3 + 3x2 − 1) ≤ m 39 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Giải phương trình : HD : PT ⇔ (x + 1)3 + = (x + 1) ( 3x + ) x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + + 3x + Xét hàm số : f ( t) = t + t ,t > 40 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Giải phương trình : 2x −= 27x3 − 27x + 13x − HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 2x − 1) = f(3x − 1) (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = 41 ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình : 2 4x + y + − 4x = HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x= ( − 2y ) + 1 − 2y ⇒ f(2x)= f( − 2y ) Hàm số : f(t) (t + 1).t ⇒ f '(t) = = 3t + > ⇒ 2x = − 2y ⇒ 4x =5 − 2y ⇒ y = − 4x 2 − 4x ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có Thế vào (2) ta có : 4x + , với ≤ x ≤ + − 4x = nghiệm : x = x + y = (a là tham số) 42 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho hệ: x + + y + ≤ a Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt bi ến muốn quy biến để khảo s át : − x =y ≥ ⇒ x ≤ 16 Đặt t = x , t ∈[3;4] và khảo s át tìm Min ĐS : a ≥ + 2 43 Giải hệ phương trình : y − 4x + 2xy −2x+4 = x 3 y 2 + x = y + 44 Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm đúng với x : (e sinx ) − e + − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 45 ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) Giải PT : log 2+ (x − 2x = − 11) log 2+ (x2 − 2x − 12) 46 Định giá trị m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − = y −x2 x + = e 47 (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) Giải hệ phương trì nh sau: y +1 3log (x + 2y= + 6) 2log (x + y + 2) + 48 Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : −x Cho f(x) = (x2 + 1)e , x > Tìm a để tồn f’(0) −x − ax + 1, x ≤ acosx + bsin x, x ≤ Cho F(x) = Tìm a,b để tồn f’(0) ax + b + 1, x < x2 x2 x ln x, x > ln x − , x > và f(x) = CMR : F'(x) = f(x) F(x) = 0, x = 0, , x = Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀a > bất đẳng thức sau luôn đúng ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2 Chứng minh f(x) là hàm Lop10.com (5) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Tính giới hạn : N1 = limπ x→ Tính giới hạn : N3 = lix→m0 Tính gi ới hạn : N2 = lim x + x + − + x3 x esin 2x − esinx x→0 sin x Tính giới hạn : N4 = lim Tính giới hạn : N6 = lim sin10x 4x − x Tính giới hạn : N8 = lim x→0 x−32 sin 3x sin2x Tính giới hạn : N7 = lim e − e x→0 e−2x − + x2 x→0 ln(1 + x ) Tính giới hạn : N5 = lim x + − x→0 Tính giới hạn : N9 = lim x→0 e−2x − + x2 x→0 ln(1 + x ) tanx − 2sin2 x − sin4x 32x − cos4x 3x + sinx − − sinx Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x ; x3 x n Chứng minh các đẳng thức sau : P''(x1 ) P''(x ) P''(x n ) + + + = P'(x1 ) P'( x2 ) P'(x n ) a) 1 + + + = P'(x1 ) P'(x ) P'(x n ) b) Tính các tổng sau : a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + + ncosnx b) c) d) Tn= (x) CMR : x x x tan + tan + + n tan n 2 2 2 2.1.C2n + 3.2.C3n + + n(n − 1)Cnn= n(n − 1).2n−2 Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + + n2sinnx 2x + 2x + 2x + (2n − 1) + + + 2 2 x (x + 1) (x + 1) (x + 2) x + (n − 1) (x + n)2 49 Các bài toán liên quan đến cực trị hàm số : e) = Sn (x) α a n + bn a+b Cho α ∈ R: a + b ≥ Chứng minh : ≤ b) Chứng minh với a > 3,n ≥ ( n ∈ N,n chẵn ) thì phương trình s au vô nghiệm : a) (n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 = x2 x2 c) Tìm tham số m để hàm số sau có cực trị : y = − 3m + 4m (m + 1) 2 2 1 + x 1 + x x2 xn x2 xn d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) CMR : ∀x = / , ta có : 1 + x + + + 1 − x + − − < 2! n! 2! n! e) Tìm cực trị hàm số : y = x + x + + x2 − x + f) g) Tìm a để hàm số : y f(x) = −2x + a x + có cực tiểu = Tìm m để hàm số : y = msin x − cosx − đạt cực trị điểm phân biệt thuộc khoảng mcosx 50 Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : a) 9π 0; Cho các số thực a,b,c,d,e Chứng minh phương trình : ax + ( b + c ) x + d + e = có nghiệm thực thuộc nửa khoảng [1; +∞ ) thì phương trình : ax + bx3 + cx + dx + e = có nghiệm b) Cho phương trình : P( x ) = x5 − 5x + 15x3 − x2 + 3x − = Chứng minh rằng, phương trình có nghi ệm thực Lop10.com (6) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : f(x) a) lim =1 x→0 x b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x + 3xy + 2y , ∀x,y ∈ R ( ) ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) = f x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : c) d) f ( x ) ≥ e2009x f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) , ∀x,y ∈ R Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f = ( x + y ) f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x += y ) f(y.f ( x )) + x ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm f : → thỏa mãn : f (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R Lop10.com (7) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a2b + b2c + c2a ≤ Cho các số thực không âm a,b,c Chứng minh : a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 2 Cho các số thực a,b,c Chứng minh : 2 a2 b2 c2 81 a2b 13 + + + ∑ ≥ (a + b + c) b c a (2a + b) 4 Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc = Tìm Max : P = a7 b8 c9 Cho số thực dương tuỳ ý x,y,z CMR : Cho a,b,c >0 Tìm GTNN : a b c + + ≤ a+b b+c c+a (a + b + c) P= ab2c3 Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : x + y + z2 = 10 11 2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2 + + yz zx xy bc ca ab a+b+c Cho các số thực dương a,b,c CMR : + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 1 1 Cho các số thực dương a,b,c CMR : + + ≤ a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 1 Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : CMR : ab + bc + ca ≤ + + = a +2 b +2 c +2 Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 = CMR : 1 + + ≥3 2−a 2−b 2−c CMR : 12 Cho x,y,z là số thực dương tùy ý CMR : x y z + + ≤ x+y y +z z+x a2 b2 c2 4(a − b)2 + + ≥a+b+c+ b c a a+b+c 1 14 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 CMR : + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) 15 Cho số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à ( x − )( y − )( z − ) =/ CMR : 13 Cho các số thực dương a,b,c CMR : 2 x y z x −1 + y −1 + z −1 ≥ (3a − b + c)2 (3b − c + a)2 (3c − a + b)2 16 Cho a,b,c là các số thực dương CMR : + + ≥ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 17 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = CMR : 1 + + ≤ − ab − bc − ca 18 Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc a3 b3 c3 + + ≥ 2 (1 − a) (1 − b) (1 − c)2 20 (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : 9(a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 19 Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 CMR : F= a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b Lop10.com (8) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Lời giải : Từ giả thiết : 9(a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =0 ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2 ⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a2 + b2 + c2 ≤ Ta lại có : F= 16 a2 b2 c2 a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2 + + = + + ≥ 2 b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b) Lại có : a2 b + b2c + c2a= a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2 Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 (a2 + b2 + c2 )2 a +b +c ≥ Dấu xảy và : a=b=c=1 ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN Từ đó ta có : F ≥ 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a2 (b + 2c)a2 a2 (b + 2c)a2 2a2 + ≥2 = b + 2c b + 2c b2 (c + 2a)b2 2b2 c2 (a + 2b)c2 2c2 , + ≥ + ≥ c + 2a a + 2b Tương tự a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b ≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) Lại áp dụng AM – GM, ta có a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3 a2c + b2a + c2b ≤ + + =a3 + b3 + c3 (**) 3 Từ (*) và (**) suy ra: 2 F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 ) ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 9 F= Suy ra: ( Đặt = t ( ) ( ) ) ( ( ) 25( a + b + c ) − 48= ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c ) ⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a + b + c a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có: 2 2 2 4 2 2 ) 3( a 2 Do đó F ≥ t − t = f(t) với t ∈3; (* * *) 27 Mà f(t) = f(3) = (* * **) Từ (***) và (****) suy F ≥ ≤ 16 t ∈3;4 Vậy minF = xảy a = b= c = 21 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh : 1 36 + + ≥ 2 x y z + x y + y z2 + z2 x Lời giải : BĐT đã cho tương đương với : (9 + x y 2 1 1 + y 2z2 + z2 x2 + + ≥ 36 x y z ) xy + yz + zx Ta = có : ( xyz ) (xy)(yz)(zx) ≤ Lop10.com ) + b2 + c2 (9) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc 1 xy + yz + zx 27 ( xy + yz + zx ) 27 Do đó : = + + = ≥ xyz xy + yz + zx (xy + yz + zx) x y z 2 ( ) Lại có : + x y + y 2z2 + z2 x2 = + x y + + (y 2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 3 + (xy + yz + zx) Nên : ( VT ) 2 27 108 ≥ 3 + (xy + yz + zx) = + + (xy + yz + zx) ≥ xy + yz + zx xy + yz + zx ≥ 108 + (xy + yz + zx) = 1296 ⇒ VT ≥ 36 xy + yz + zx ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x2y + z2y +x2z2) ≥ 36xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 x y 2z2 (1) Và 9+ x2y + z2y +x2z2 ≥ 12 12 x y z hay + x2y + z2y +x2z2 ≥ 12 xyz (2) Do các vế dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x2y + z2y +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm) Dấu đẳng thức xảy và x = y = z =1 22 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn := M Lời giải : M = Ta có : 3x 3y 1 + − 2− y(x + 1) x( y + 1) x y Ta có : 3xy = x + y + ≥ xy + ⇒ xy ≥ ⇒ xy ≥ (*) 3x 3y 1 1 3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − ) − (1 − 3xy) + 2xy = + = = + − − y (3x − 1) x (3y − 1) x y y (3x − 1) x2 (3y − 1) x2 y 9xy − 3(x + y ) + 1 4x2 y 23 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c CMR : a3 b3 c3 a b c + + ≥ + + b3 c3 a3 b c a a3 a3 a + +1≥3 b b b HD : a3 b3 c3 3 ≤ + + b c a 24 ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) Cho x, y, z ≥ thỏa mãn : x + y + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức : P= 6(y + z − x) + 27xyz y + z2 − x2 HD : P ≤ 2(y + z2 ) − x + 27x = 2(1 − x ) − x + 27x ( PMax = 10) 2 25 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a3 + 2b3 + 3c3 ≥ HD : Có thể dùng cân hệ số Svacxơ 26 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz = Chứng minh : (x + y )3 (y + z4 )3 (z4 + x )3 + 6 + ≥ 12 x6 + y y +z z + x6 Lop10.com (10) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc 2 Lời giải : Đặt = x2 a;y = b;z = c ⇒ abc = Bất đẳng thức đã cho trở thành : (a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3 + 3 + 3 ≥ 12 a3 + b3 b +c c +a Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho số ta có : ( ) ( ) ( (a2 + b2 )3 = a6 + a b2 + a b2 + a b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 a6 b6 a3 + b3 ) 27 (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) Cho a,b,c > Chứng mi nh : 1 3(a + b + c) + + ≥ a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 ) HD : (a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) 1 3(a + b + c) BĐT ⇔ + + ≥ 2 a + b b + c c + a (a + b)2 28 ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho x,y,z > : x + y + z = Chứng minh : Và chú ý : a2 + b2 ≥ x + y y + z3 z + x ≥9 + + xy + yz + zx + 29 ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 272 : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤ 27 HD : Bài này thì chọn phần tử lớn mà đạo hàm a3 b3 c3 30 (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) Cho a,b,c >0 CMR : + + ≥a+b+c bc ca ab a (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4 HD : VT = ∑ ≥ ≥ ≥a+b+c abc 3abc 27abc 31 ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) Cho x,y,z >0 thỏa mãn : xy + xz = Tìm giá trị nhỏ : S = 3yz 4zx 5xy + + x y z 32 ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện : Tìm giá trị nhỏ : P = xyz + + = 1+ x 2+ y 3+z 33 ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho a,b, c > :a2 + b2 + c2 = Chứng minh bất đẳng thức : + + ≤1 − ab − bc − ca 34 ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) Cho các số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : x y y z z2 x 13xyz P = + + + z3 x y 3(xy + yz2 + zx2 ) Lời giải : a b c 13 x y z Đặt : = a; = b; = c ⇒ abc = Lúc đó : P = + + + y z x + (a b + c) b c a Ta có : (a + b += c) abc(a + b += c) (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤ 1 a a + b2 ≥ b a b c 1 1 b Lại có : + ≥ ⇒ + + ≥ + + = ab + bc + ca c a b c b c a b c 1 c + ≥2 c c a 13 Do đó : P ≥ (ab + bc + ca) + ( Với ab + bc + ca ≥ ) (ab + bc + ca)2 10 Lop10.com (ab + bc + ca)2 (11) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc Lời giải : y x z a2 b2 c2 13abc 13 ≥ (a + b + c) + = a; = b; = c ⇒ abc = Lúc đó : P = + + + b c a 3(ab + bc + ca) x z y (a + b + c)2 Đặt : x y z + + + ≥4 y z2 x x + y + z 35 Bài toán tương tự : Cho x,y,z > : xyz ≤ Chứng minh : Lời giải : Đặt : 1 = a; = b; = c ⇒ abc ≥ x y z a2 b2 c2 3abc (a + b + c)2 Với : a + b + c ≥ 3 abc = + + + ≥ + c a b ab + bc + ca a+b+c (a + b + c)2 36 ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và a + b + c = Tìm giá BĐT đã cho trở thành : 1 + + a2 + b2 + c2 + 1 1 HD : Dùng pp tiếp ến và Bất đẳng thức : , ∀x,y ≥ 0; x + y ≤ + ≥1+ x +1 y +1 (x + y )2 + 37 ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Lâm Đồng ) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh : a2 b2 c2 + + ≥ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 + c2 − ca + a2 b c a Lời giải : trị lớn và nhỏ : P = a2 b2 c2 a2 b2 c2 C1 : ( THTT) Ta có : + b + + c + + a ≥ 2(a + b + c) ⇒ + + ≥ a + b + c b c a b c a a a2 b2 c2 Do đó = : 2.VT 2 + + ≥ ∑ + b − a= + b b c a b C2 : Ta có : ∑ a2 − ab + b2 ≥ a + b + c(Mincopxki) a2 − ab + b2 ∑ b + b ≥ 2VP a2 − ab + b2 ∑ a − ab + b ≥ a2 − ab + b2 ≥ ∑ Sv acx o a+b+c b 38 ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) Cho a,b,c > : abc = Chứng minh Mà : VT = ∑ : ab2 + bc2 + ca2 ≥ a + b + c HD : BĐT ⇔ a b a a b c + + ≥ a + b + c Chú ý là : + + a c ≥ 3a a c = b c b b c a Lời giải : Ta có : ab2 + ab2 + bc2 ≥ 3 (a2 b2c2 )b3 = 3b 39 ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho a,b,c > Chứng minh bất đẳng thức : 2 a b c 33 b+c + c+a + a +b ≥ 2 b+c b+c a a b+c + ≥ 3 2 ⇒ 2(a + b + c) ≤ 3 b + c a a a 40 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho số dương a,b,c thay đổi Tìm giá trị lớn : HD : + P= bc a + bc a b c Lúc đó : = x; = y; = z ⇒ xyz = b c a z x y 1 x P=+ + = − ∑ + Lại có : x + 3z y + 3x z + 3y x + 3z HD : Đặt x x2 (x + y + z)2 = ≥ ∑ x + 3z ∑ x2 + 3zx (x + y + z)2 + (xy + yz + zx) ≥ Do đó : P ≤ − + ca b + ca + ab c + ab (x + y + z)2 = + + (x y z) (x + y + z)2 + 13 = Dấu “=” xảy và : x = y = z =1 34 11 Lop10.com (12) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT : Đặt = x = a ,y Khi đó: P = Ta có 3P = c;x,y,z ∈ ( 0; + ∞ ) = b,z yz zx xy + + x2 + 3yz y + 3zx z2 + 3xy 3yz 3zx 3xy + + x + 3yz y + 3zx z2 + 3xy x2 y2 z2 = 3− + + 3−Q = x + 3yz y + 3zx z + 3xy áp dụng bđt BCS ta x y z x2 + 3yz + y + 3zx + z2 + 3xy x2 + 3yz y + 3zx z2 + 3xy (x + y + z) Mặt khác ⇔Q≥ ( x + y + z ) + xy + yz + zx ( ≤ Q x2 + y + z2 + 3xy + 3yz + 3zx ) Suy Q ≥ , đó 3P ≤ ⇒ P ≤ 4 (x + y + z) xy + yz + zx ≤ Dấu xảy và a= b= c Vậy giá trị nhỏ P 41 ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2 + + b+c c+a a+b 1 Lời giải : Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có : ≥ ≥ b+c c+a a+b a2 b2 c2 1 1 1 P= ≥ a2 + b2 + c2 + + + + = + + ≥ b+c c+a a+b b + c c + a a + b 3 b + c c + a a + b biểu thức : P = ( ) 3 ≥ 2(a + b + c) 3(a2 + b2 + c2 ) Lời giải : Áp dụng BĐT Swcharz : a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2 P= + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) b(a2 + c2 ) + a(b2 + c2 ) + c(a2 + b2 ) ≥ Lại có : a(b2 + c2 ) = 2a b2 + c2 b2 + c2 ≤ 2a2 + 2(b2 + c2 ) 2 42 ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) Cho a,b,c >0 CMR : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 1 b c a Lời giải : = x;= y; = z ;⇒ xyz + + ≥ = Bất đẳng thức đã cho trở thành : 3 (1 + x) (1 + y) (1 + z) a b c Áp dụng AM-GM ta có : (1 + x ) Ta cần CM bất đẳng thức : + (1 + x ) + 1 ≥ 33 = 8(1 + x) 2(1 + x ) 1 + + ≥ (1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 12 Lop10.com (13) httP://www.vnmath.com Bổ đề : (1 + x ) + Dich vu Toan hoc (1 + y ) ≥ ( ∀x,y > 0) + xy Bổ đề này CM cách biến đổi tương đương đưa v ề BĐT hiển nhiên : xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ Do đó : VT ≥ 1 z z(z + 1) + z2 + z + + = + = =2 2 + xy (1 + z) z + (1 + z) (1 + z)2 z + 2z + Giả sử : z Max{x,y,z} ⇒= = xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ Xét hàm số : f(z) = z2 + z + z2 − ;= f '(z) ≥ 0, ∀z ≥ z + 2z + (z + 1)4 Suy : f (z ) ≥ f(1) = 43 ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x , y,z ≥ :x + y + z = Tìm giá trị nhỏ : P= 1−x 1−y 1−z + + 1+ x 1+ y 1+z ) ( 1−x x2 ≥ (1 − x) ⇔ − x − − x2 ≥ ⇔ − x ≥ ( luôn đúng ) 1+ x + − x2 Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ Lời giải : 1−x 1−y 1−x −y , x + y ≤ và MaxP= + + ≤1+ 1+ x 1+ y 1+ x + y 44 ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x,y,z > : x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức : Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ : x y z 1+ x 1+ y 1+z + + ≤ 2 + + y +z z+x x+y y z x x x y z y z xz xy yz Giải : BĐT ⇔ 2 + + + + + ≤ 2 + + ⇔ ≤ y(y + z) z(z + x) x(x + y) y +z z+x x+y y z x Ta lại có : VP = ( xz + yz + zx ) xz xy yz (xz)2 (xy)2 (yz)2 + + = + + ≥ y(y + z) z(z + x) x(x + y) xyz(y + z) xyz(z + x) xyz(x + y) 2xyz(x + y + z) (xy + yz + zx)2 ⇒ VP ≥ 45 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) Cho a , b,c ≥ :a + b + c = Chứng minh : Mà : xyz(x + y= + z) (xy)(yz) + (xz)(zy) + (zx)(xy) ≤ a b3 + + b c3 + + c a3 + ≤ 46 Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác ABC Tìm GTNN : P = 2a HD : = 2b + 2c − a 6a (3a)(2b + 2c − a) ≥ 6a (a + b + c) 47 Cho a , b,c ≥ : a + b + c = : P Tìm GTLN, GTNN = HD Tìm GTNN : Áp dụng BĐT Mincopxki ta có : P = a2 + a + + b2 + b + + c2 + c + = Tìm GTLN : Bổ đề : CM bất đẳng thức : Bình phương vế ta có : ∑ 2a 2b 2c + + 2b + 2c − a 2a + 2c − b 2b + 2a − c a2 + a + + b2 + b + + c2 + c + 2 1 3 3 a a b c + + ≥ + + + + + a + a2 + + b + b2 ≤ + + (a + b) + (a + b)2 (1 + a + a2 )(1 + b + b2 ) ≤ ab + + a + b + (a + b)2 ⇔ + a + b + (a + b)2 + (1 − a − b) ≥ 48 ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) Cho a,b,c > :a + b + c = Tìm giá trị nhỏ bi ểu a2 b2 c2 + + a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 HD : AM-GM ngược dấu a2 2ab3 2ab3 2 Ta có : a a = − ≥ − = a − b a2 ≥ a − b(a + a + 1) = a − b − ab 9 a + 2b3 a + 2b3 ab thức : P = 13 Lop10.com (14) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc (a + b + c) Do đó : P ≥ (a + b + c) − (a + b + c) − (ab + bc + ca) ≥ − = 9 3 49 ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) Cho x,y,z ≥ Tìm GTLN : M = 1 − x + y + z + (1 + x)(1 + y)(1 + z) 27 x + y +z +3 Lúc đó : M ≥ Giải : Đặt x + y + z = − t ≥ , ta có : (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≤ t + (t + 3)3 27 Xét hàm số : f( t ) = , t ≥0 − t + (t + 3)3 3a + 3b4 + 3c4 + a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b 50 Cho a,b,c > Chứng minh : HD : Ta có : 3a + = a + a + a + ≥ 4 a1 = 4a3 Do đó : VT ≥ ∑ 4a3 = b+c 4a ∑ ab + ac ≥ Svacxo 51 Cho a,b,c > Chứng minh : 1 4 + + + ≥ + + a b c a+b+c a+b a+c b+c HD : 52 Cho a,b,c > : a + b + c = Chứng minh : a ( b c 3c + ab + ) b( c a 3a + bc + ) c( a b c 11 1 + + ≤ + + 3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 a b c a b c 54 Cho a,b,c > :ab + bc + ca = CMR : + + ≥ abc 2a + bc 2b + ca 2c + ab + a3 + b3 + c3 55 Cho a,b,c > CMR : + + ≥3 + a2c + c2b + b2a 1 56 Cho a,b,c > : abc = 27 CMR : + + ≤ 1+a 1+b 1+c 53 Cho a,b,c > CMR : 57 Cho a,b,c > CMR : 58 Cho a,b,c > CMR : a b 3b + ac ) ≥ 3 1 27 + + ≥ b(a + b) c(c + b) a(a + c) (a + b + c)2 b+c 59 Cho a,b,c ∈(1;2) CMR : a + c+a b + b a a+b c + ≥ a + b + c +3 a c + c b ≥1 4b c − c a 4a b − b c 4c a − a b 60 Cho a,b,c > : abc = CMR : + ≥ a + b + c ab + bc + ca x 2z y2x z2 y 1 x y z 61 Cho x,y,z > CMR : + + ≥ + + 3 2 y z x xyz + y xyz + z xyz + x a2 b2 c2 a+b+c 1 62 Cho a,b,c > : + + = + + ≥ CMR : a + bc b + ac c + ba a b c 63 Cho x,y,z > Tìm Min : = P 64 Cho a,b,c > :a + b + c = CMR : x y z 4(x3 + y ) + 4(y + z3 ) + 4(z3 + x3 ) + 2 + + z x y a + b + c ≥ ab + bc + ca 1 + + ≤1 a + b+1 b+c +1 c +a +1 y z x 66 Cho x,y,z > CMR : + + ≤1 x + (x + y)(x + z) y + (x + y)(y + z) z + (x + z)(y + z) 65 Cho a,b,c > :abc = CMR: 67 ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) Cho a,b,c > CMR : 14 Lop10.com a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 2 2 a +b b +c c +a (15) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc 68 ( Đề thi HS G Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x + y + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: F= 3x + 7y + 5y + 5z + 7z + 3x 69 (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: a + b + c = Chứng minh: a2 b2 c2 + + ≥ b +1 c +1 a +1 2 70 Cho a,b,c > Chứng mi nh : 2a 2b 2c + + ≤3 a+b b+c c+a 1 a b c + ≤ ;y = ;z = ⇒ xyz = Áp dụng Bổ đề : ( xy ≤ 1) + x2 + y + xy b c a 71 Chứng minh các Bất đẳng thức : a) log b+c a2 + log c+a b2 + log a+b c2 ≥ ( a,b,c > 2) HD : Đặt x = b) c) log bc log c a log a + + 2 ( a,b,c > 1) ≥ b c c a a b a b+c + + + + 72 Cho x,y , z ≥ : xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ : P = x2 y + y 2z3 + z2 x3 + (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 Giải : 73 15 Lop10.com (16) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ x1 = Cho dãy số : Chứng minh dãy số có giới hạn v à tính giới hạn đó − log3 x2n + 11 x n+1 = ( ) −2x < 0, ∀x ∈ (0;5) (x2 + 11)ln3 = f (x n ) , đó quy nạp ta CM : < x n < 5, ∀n HD : Xét hàm số : f (x)= − log3 (x + 11),x ∈ (0;5) , ta có : Do đó : < f(5) < f(x) < f(0) < Mà x n+1 f '(x) = : g'(x) Lại xét hàm số : g( x)= − log3 ( x + 11) − x, x ∈ (0;5) Ta có = Suy phương trình f(x)=x có nghiệm x = −2x − < 0, ∀x ∈ (0;5) (x + 11)ln3 Theo định lý Lagrage ∃c ∈ (x n ; 4) cho : f(x n ) −= f(4) f '(c) x n − ≤ ( Vì f '(c) = 2c 2c ≤ = (c + 11)ln3 11c2 ln3 11 ln3 ) Do đó : x n+1 − ≤ 11 ln3 11 ln3 xn − n−1 x1 − → Cho phương trình : x 2n+1= x + với n nguyên dương Chứng minh phương trình đã cho có nghi ệm thực với n nguyên dương c ho trước Gọi nghiệm đó là x n Tìm limx n x > Giải : Từ phương trình : x 2n+1 = x + ⇔ x(x 2n − 1) =1 ⇒ x(x 2n − 1) > ⇒ x(x − 1) > ⇒ x < 2n+1 Đặt fn (x ) = x − x −1 +) Nếu x <0 : Hàm y= fn ( x ) liên tục trên R và f(0) = −1; lim f(x) = −∞ , suy phương trình không có x→−∞ nghiệm trên khoảng (0; −∞ ) +) Nếu x >1 , ta có : fn '(x)= (2n + 1).x 2n − > Hơn f(1) = −1; lim f(x) = +∞ , suy phương trình có nghiệm x n ∈ (1; +∞ ) Xét hiệu : fn+1 (x n ) −= fn (x n ) (x 2n+2 n ) ( x→+∞ ) +1 +1 − x n − − x2n −= x n − x 2n (x n − 1) > 0, ∀x n > ⇒ fn+1 (x n ) > fn ( x n ) n n Hay : fn+1 (x n ) > fn (x n ) =0 =fn+1 (x n+1 ) ⇒ x n > x n+1 (Do hàm f(x) tăng ) Vậy dãy {x n } là dãy giảm và bị chặn nên có giới hạn Giả sử : lim x= a(a ≥ 1) n Ta chứng minh a=1 Thật vậy, giả sử a > u1 = u1 u2 u ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho dãy số {un } : + + + n u2n Đặt : Sn = u u u un + n+1 un+= 2010 Tìm : limSn Lời giải : 1 u2 u − uk u u − uk u u Ta có : uk +1 − uk =k ⇒ k +1 2010 − =k ⇒ k +1 = k ⇒ k = (*) 2010 uk 2010 uk uk +1 2010.uk +1 uk +1 uk uk +1 Từ hệ thức (*) cho k = 1,2…,n ta có : Sn 2010 − = u n+1 u2n ≥ un ⇒ Dãy {u n } tăng 2010 Giả sử {u n } bị chặn trên Suy tồn giới hạn hữu hạn : limu = a(a > 1) Do đó, từ : n Lại có : un+1 = un + u2n u2 a2 ⇒ a = ( Vô lý ) ⇒ limun+1 = lim un + n ⇒ a = a + 2010 2010 2010 Suy dãy {u n } tăng và không bị chặn trên, nên : limun = +∞ ⇒ lim = ⇒ limSn = 2010 un+1 un+1 = un + 16 Lop10.com (17) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc < x1 < ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Định năm 2010 ) Cho dãy số { x n } : Chứng minh dãy số {x n } x2n x n+1= + x n − , ∀n ≥ có giới hạn và tìm giới hạn đó Lời giải : x2 , x ∈ (1;2) Ta có : f '(x) = − x < 0, ∀x ∈ (1;2) Do đó : 1= f(2) < f(x) < f(1) =< Từ đó thay x : x1 ; x , ,x n ta có : < x1 ,x2 , , x n < 2 Suy dãy {x n } bị chặn Xét hàm số : f(x)= + x − Giả sử dãy số có giới hạn là a, lúc đó a thỏa mãn pt : a = + a − Ta CM giới hạn này định lý kẹp : x2n Xét hiệu : x n+1 − = + x n − − + − ( 2) 2 a2 ⇒a= 2 = xn − xn + − ( ) Lại có : < x n < ⇒ − < x n + + < ⇒ x n + + < Do đó : x n+1 − < ( ) x n − (*) Từ (*) cho n = 1,2,… và nhân lại với ta có : n−1 n−1 2 ⇒ limx n = x1 − Mà lim x1 − = u1 = ( Bài toán tương tự ) Cho dãy số {un } : Tìm limun u u = n − 1, ∀n ≥ n+1 x1 = ( Đề thi HS G Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho dãy số {x n } : Chứng minh = x n + x n + − x 2n − x n + x n+1 dãy số trên có giới hạn v à tìm giới hạn đó Lời giải : 2x n Ta có := x n+1 x 2n + x n + − x 2n − x= n +1 x2n + x n + + x2n − x n + 2 x n+1 − < ( ) ( Bằng quy nạp ta chứng minh : x n > 0, ∀n = 1,2, Lại có : x2n + x n + + x2n − x n += 2 ) 1 3 1 3 x n + + + −x n + + 2 1 3 ≥ + x n + + −x n + + = Mincopxki 2 2 Từ đó suy : x n+1 < x n ≥ Mincopxki Vậy dãy {x n } giảm và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limx n = a ⇒ a = a2 + a + − a2 − a + ⇒ a = x1 = ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho dãy số : {x n } : x1 + 2x2 + + (n − 1)x n−1 , n >1 x n = n(n2 − 1) Tính limUn với U= (n + 1)3 x n n Lời giải : Ta có : 17 Lop10.com (18) httP://www.vnmath.com +) x = Dich vu Toan hoc +) Với n ≥ ta có : x1 + 2x + + (n − 1)x n−1 = + nx n n(n2 − 1)x n = + nx n n3 x n x1 + 2x + + (n − 2)x n−2 + (n − 1)x n−1 = (n − 1) (n − 1)2 − 1 x n−1 + (n − 1)x n−1 = (n − 1)3 x n−1 Từ đó suy : n3 x n = nx n + (n − 1)3 x n−1 ⇒ Từ (*) cho n = 3,4…ta có : x n (n − 1)3 n − n = = (*) x n−1 n3 − n n n + n − 2 n − 2 2 n n − 12 xn = ⇒ = 2 n (n + 1) n (n + 1) n n − n + n xn x n x n−1 x3 = = x2 x n−1 x n−2 x2 4(n + 1)3 Do = đó : limUn lim = n2 (n + 1) x0 > Chứng minh dãy có giới hạn v à ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) Cho dãy {x n } : x n (x2n + 3) x , ∀n ≥ = n+1 3x n + tìm giới hạn đó Lời giải : Bằng quy nạp ta chứng minh x n > 0, ∀n > +) TH1 : Nếu x0 = , quy nạp ta x n = 1, ∀n > Hiển nhiên limx n = +) TH1 : Nếu x0 > , x2 (x − 1)2 x(x2 + 3) trên khoảng (1; +∞ ) ta có : f '(x) = > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ f(x) > f(1) = (3x2 + 1)2 3x + Do đó : x2 = f ( x1 ) > 1, quy nạp ta có : x n > 1, ∀n Xét hàm số : f(x) = Lại có : x k +1 < x k ⇔ x k (x2k + 3) 3x + k < xk ⇔ 2x k (x 2k − 1) 3x 2k + > đúng với x k > Từ đó ta có : x1 > x > > x n > x n+1 > Dãy số giảm và bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn ( ) a a2 + = ⇒a 3a2 + x(x2 + 3) +) TH3 : Nếu < x0 < , Xét hàm số : f(x) = trên khoảng (0;1) ta có : 3x + x2 (x − 1)2 = f '(x) > 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ = f(0) < f( x) < f(1) = (3x + 1)2 Do đó := x2 f(x1 ) ∈ (0;1), quy nạp ta có : x n ∈ (0;1), ∀n Giả sử : limx n = a > = 0⇒a ta có : x k +1 > x k ⇔ x k (x2k + 3) 3x 2k + > xk ⇔ 2x k (x 2k − 1) 3x2k + < đúng với < x k < Do đó : < x1 < x < < x n < x n+1 < Dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử : ( ) a a2 + = ⇒a 3a2 + Kết luận : limx n = limx n = a > = 0⇒a u0 = α Chứng minh dãy 10 ( Bài toán tương tự ) Cho α > 0; a > là hai số tùy ý Dãy {un } : un (u2n + 3a) = u ,n 0,1, n+1 = 3un + a có giới hạn và tìm giới hạn đó u0 > Tìm limun 11 ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) Cho dãy số {un } : un + + 2(u2n + 1) u , n 0,1 = n+1 = un − 18 Lop10.com (19) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc a1 = 12 ( Đề thi chọn ĐT HS G QG KonTum năm 2010 ) Cho dãy số thực {a n } xác định sau : a n + (n ≥ 1) a n+= a n a Chứng minh : lim n = n→+∞ n xn 13 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) Cho dãy số thực x1 = 2006; x n+1 = + Tìm lim x n x→+∞ x2n − 14 ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) Cho dãy số {x n } thỏa mãn : n x1 = 1 Đặt y n = ∑ Tìm limy n i=1 x i + x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + , ∀n > HD : ( x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + =x 2n + 3x n + ) Sau đó chứng mi nh dãy tăng và không bị chặn trên x 2n + 3x n + ⇒ = x1= a > x x xn Tìm : lim + + + 15 Cho dãy ( x n ): →+ ∞ n x n+1 − 2010x n+1 = x n + 2009x n x − x3 − 1 1 = − x n + x n + x n+1 + x2 2009x HD : Xét hàm số : f(x) = + , x > Ta có : f’(x) > , ∀x > ⇒ f(x) > f(1) = Bằng quy nạp chứng minh 2010 2010 x2n x x n (x n − 1) = − n > 0, x n > ⇒ x n+1 > x n 2010 2010 2010 Giả sử ∃limx n = a ( a > ) ⇒ 2010a = a2 + 2009a ⇒ a= 0;a= ( Không thỏa mãn ) Vậy lim x n = +∞ Lại có : x n+1 − x n xn 2010x n= x2n + 2009x n ⇒ 2010(x n+1 − x = x n (x n − 1) ⇒ = 2010 = 2010 − n) +1 (x n − 1)(x n+1 − 1) x x x n+1 − − n+1 − n x1 = x123 x23 x23 n 24 16 ( Bài tương tự ) Cho dãy số : (x n ): Tìm giới hạn lim + + + xn x n+1 x x3 x n+1 = + x n , n ∈ N * 24 17 ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) Đặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + với n là số nguyên dương Xét dãy số : x n+1 − x n : x n > 1, ∀n Xét hiệu = (x n ): x n = f(1).f(3).f(5) f(2n − 1) Tính giới hạn dãy số : un = n2 x n f(2).f(4).f(6) f (2n ) HD : Chú ý : f(k − 1) (k − 1)2 + = f(k) (k + 1)2 + a1 = 2008 18 Cho dãy số (a n ) xác định : n Tính lim n2a n n→+∞ ∑ n an ,n > = i=1 HD : Ta có a1 + a2 + + a n= n2a n ⇒ ( n − ) a n−1= (n ) − a n ⇒ a n= n −1 a (1) n + n−1 Trong (1) cho n=1, 2,3….và nhân nó ạl i để tìm : a n 2006 19 Cho dãy số ( x n ) thỏa : x1 = 1,x n+1 = 1+ (n ≥ 1) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn + xn x1 = 20 ( Đề thi HS G QG năm 2009 ) Cho dãy số ( x n ): Chứng minh dãy (y n ) với x n−1 + 4x n−1 + x n−1 , ∀n ≥ = x n n y n = ∑ có giới hạn hữu hạn n → ∞ và tìm giới hạn đó x i=1 i Giải : 19 Lop10.com (20) httP://www.vnmath.com Dich vu Toan hoc x2 + 4x + x 2x + , ta có= : f '(x) + > 0, ∀x > 2 x + 4x Lại có : x2 = f(x1 ) > 0,(do x1 > 0) quy nạp ta chứng minh x n > 0, ∀n Xét hàm số : f(x) = x2n−1 + 4x n−1 + x n−1 = − x n−1 Xét hiệu : x n − x n−1 = x2n−1 + 4x n−1 − x n−1 = x 4x n−1 n−1 + 4x n−1 + x n−1 > 0,(do x n > 0, ∀n ) Suy dãy {x n } tăng và x n > 0, ∀n Giả sử tồn giới hạn hữu= hạn a lim x n (a > 0) Suy : a + 4a + a = a2 + 4a ⇒ a = (Vô lý ) ⇔a Vậy dãy {x n } tăng và không bị chặn trên nên : limx n = +∞ a= n →+∞ Lại có : xn = n →+∞ x2n−1 + 4x n−1 + x n−1 ⇒ ( 2x n − x n−= x2n−1 + 4x n−1 ⇒ x n (x n − x n−1 ) =x n−1 ⇒ 1) x n (x n − x n−1 ) n x x n−1 x 1 = n−1 ⇒= − x n x n−1 x n x n x n−1 1 1 1 1 + x1 − = − ⇒ lim y= + − + + n n→+∞ xn x12 i=1 x n−1 x n x1 x1 x x0 = 2009 21 Xét dãy số thực (x n ),n ∈ N xác định : Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn x n = 6x n−1 − 6sin(x n−1 ), ∀n ≥ và tìm giới hạn đó x3 HD : Sử dụng bất đẳng thức : x − ≤ sinx ≤ x, ∀x ≥ 6(1 − cosx) Xét hàm số : f(x) = Ta có : f '(x) > 0, ∀x>0 6x − 6sin x ,x > = 3 (6x − 6sin x)2 Do đó : y= n n ∑ x= i Do đó : f(x) > 0, ∀x > Mà x= f(x1 ) > 0(do x1 > 0) ⇒ x= f(x n−1 ) > 0, ∀n n Xét hiệu : x n − x n−1 = 6x n−1 − 6sin(x = n−1 ) − x n−1 6x n−1 − x3n−1 − 6sin(x n−1 ) 6x n−1 − 6sin(x n−1 ) − x n−1 6x n−1 − 6sin(x n−1 ) + x 2n−1 <0 x3 ≤ sinx ⇒ 6x − x3 − 6sin x < 0, ∀x > ) Do đó dãy {x n } giảm và bị chặn dưới, nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử : limx n = a (a ≥ 0) , ta có pt : (Sử dụng Bất đẳng thức : x − a = 6a − 6sina ⇔ a3 = 6a − 6sina Xét hàm số : g(t) = t + 6sin t − 6t , ta có : g'(t) = 3t + 6cost − 6, g''(t) = 6t − 6sin t ≥ 0, ∀t ≥ ⇒ g'(t)= ≥ g(0) ⇒ g(t)≥ g(0) = Do đó pt có nghiệm a = 22 Cho dãy (x n ) xác định bởi: x = 5; x n + = x2n - ∀ n = 1, 2, … Tìm lim x1 = x 23 Cho dãy (x n ) : Tìm lim n+1 n→+∞ x n x n+1 = 9x n +11x n + 3; n ≥ 1, n ∈ N HD : Chứng minh dãy ( x n ) tăng và không bị chặn : Dễ thấy x n > 0, ∀n , xét : x n+1 − x n = Giả sử ∃ lim x n= a ( a > ) ⇒ a= n→+∞ 9x2n +11x n + − x n = x n+1 x1 x x n 8x2n + 11x n + 9x2n +11x n + + x n > 0, ∀x n > a = −1 ( Không thỏa mãn ) ⇒ lim x n = 9a2 + 11a + ⇒ +∞ n→+∞ a = − x n+1 11 = lim + += n→+∞ x n→+∞ x n x2n n Do đó : lim n→+∞ 20 Lop10.com (21)