TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP A.PHẦN ĐẠI SỐ: Thầy Ngọc – THCS Thị Trấn 20 10 Bài 1: So sánh: 2009 20092009 Gợi ý: Ta có: 200920 (2009.2009)10 ; 2009200910 (2009.10001)10 A Bài 2: Tính tỉ số , biết: B 1 1 1 2008 2007 2006 A ; B 2007 2008 2009 2007 2008 Gợi ý: Nhận thấy 2008 + = 207+2 = … 2008 2007 2006 ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2008 2009 2009 2009 2009 1 1 2008 2008 = 2009( ) 2008 2009 2009 B Bài 3: Cho x, y, z, t N * Chứng minh rằng: M= x y z t có giá trị khơng phải số tự x y z x yt y zt x zt nhiên Gợi ý: Ta có: x y z t x y z t 1 x y z x yt y zt x zt x y zt x yt z y z t x x z t y x y z t xt yz zx ty 2 x y z x yt y zt x zt x y zt x yt z y z t x x z t y Bài 4: Tìm x; y Z biết: a) 25 – y = 8(x – 2009)2; b) x y = x y + 1997; c) x + y + = xy – Gợi ý: a) Ta có 8(x – 2009)2 0, suy 25 – y Mà VP chẵn nên VT chẵn, suy y lẻ Suy y2 = 1; 9; 25 Chỉ có y = 5, – thoả mãn b) x y = x y + 1997 xy ( x y ) 199 xy ( x y )( x y ) 1997 Vì VT hợp số, VP = 1997 số nguyên tố Suy khơng có giá trị x, y c) Chuyển tốn ước số Bài 5: Tìm x biết : a) 5(2 x 3) 2(2 x 3) x 16 ; b) x x x Gợi ý: a) Xét khoảng giá trị b) Chỉ có trường hợp: x x x 19 Bài 6: Chứng minh : 2 2 2 2 < 10 2 3 1 1 1 1 Gợi ý: 1 12 22 22 32 92 102 12 102 Bài 7: Cho n số x1, x2, , xn số nhận giá trị –1 Chứng minh x1.x2 + x2.x3 + + xn.x1 = n chia hết cho Gợi ý: Ta có xn.xn+1 = – 1, mà x1.x2 + x2.x3 + + xn.x1 = 0, suy số hạng có giá trị – nhau, suy n chẵn, suy n = 2k Ta lại có: (x1.x2)(x2.x3) (xn.x1) = (x1.x2.x3 xn.) = > 0, suy có chẵn thừa số – 1, nên k = 2m Do đó: n = 2k = 4m Bài 8: Chứng minh rằng: 1 1 1 S = n n 2002 2004 < 0,2 2 2 2 Gợi ý: Tính 2S – S 1981 Bài 9: Tính giá trị biểu thức A = x + giả sử x x , với n > x1981 ThuVienDeThi.com Gợi ý: Từ x x x (x – 1)(x2+x+1) = x3 – = x3 = 1981 1980 Do đó: A = x + = x x + 1980 = x x x (x C) x x x x x x1981 4x Bài 10: Tìm max biểu thức: A = x 1 Gợi ý: Ta có: x x (4 x x 1) (2 x 1) 4 x2 x2 x2 x x x x ( x 2) 1 Suy 1 A x2 x2 x 1 Bài 11: Cho x, y, z số dương Chứng minh : x y z D= 2x y z y z x 2z x y x y z x y z Gợi ý: D 1 1 1 2x y z y z x 2z x y 2x y z 2y z x 2z x y x yz x yz x yz x yz x yz x yz ( )3 2x y z y z x 2z x y 2x y z y z x 2z x y ( x y z )( 1 )3 2x y z y z x 2z x y Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: ( x y z) (2 x y z ) ( x y z ) ( x y z ) 3 (2 x y z )( x y z )( x y z ) (*) 1 1 (**) 33 2x y z y z x 2z x y (2 x y z )( x y z )( x y z ) 1 Lấy (*) nhân (**) ta được: ( x y z )( ) 2x y z y z x 2z x y Suy ra: D , dấu “=” xảy x = x = z 4 Bài 12: Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = ( – 4x + x2 )2004 ( + 4x + x2 )2005 Gợi ý: Tổng hệ số: ( – + )2004 ( + + )2005 = Bài 13: Tìm số a, b, c nguyên dương thỏa mãn : a 3a b a + = c Gợi ý: Từ: a 3a 5b a (a 3) 5b a 5c 5b a 5c 1 5b 1 Nếu c – > 0, b – > VT có tận 1, cịn VP tận la 5, vơ lý Chỉ xảy ra: a = 2, b = c = Bài 14: Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức : x 2005 2006 x 2004 2006 x 2003 2006 x 2002 2006 x 2006 x Gợi ý: Tách, nhóm, thay x = 2005 vào Bài 15: Rút gọn biểu thức : N= xx2 x x 20 12 x Gợi ý: Xét hai trường hợp Bài 16: Trong số x, y, z có số dương, số âm số Hỏi số thuộc loại biết: x y3 y2 z Gợi ý: Ta có : x y y z x y ( y z ) , suy ra: x < 0, y > 0, z = Bài 17: Tìm hai chữ số tận tổng sau : B = 33 2009 Gợi ý: B = 33 2009 = (32010 3) : 32010 = 32.(34)502 = 9.( 1) = 9, suy 32010 – có tận 6, suy B có tận Bài 18: Cho 3x – 4y = Tìm GTNN biểu thức : M = x y Gợi ý: Áp dụng BĐT Bu - nhi - a - cop - xki, dùng đẳng thức ThuVienDeThi.com 2 2 2 Bài 19: Tìm x, y, z biết : x y z x y z 2 2 2 2 x y z x y z x x y2 y2 z2 z2 Gợi ý: ( )( )( )0 5 5 2 3x y z x y z 10 15 20 Bài 20: Tìm x, y biết rằng: x + y + 1 =4 x y 1 1 = ( x ) ( y ) x 1, y 1 x y x y Bài 21: Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số Chứng minh a + b + c + số phương Gợi ý: Đặt x = 111 (n chữ số 1) Ta có 10n = 9x + 1, Suy ra: a = x10n + x = x(9x + 1) + x; b = 10x + 1; c = 6x Ta có: a + b + c + = x(9x + 1) + x + 10x + + 6x + = 9x2 + 18x + = (3x + 3)2 Cách khác: Quy dạng tổng quát: a = (102n – 1):9, … Bài 22: Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + số phương Gợi ý: Giả sử ab + số phương Khi ab + = n2, suy (n + 2)(n – 2) = ab, với ab Bài 23: Chứng minh chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab : bc a : c Gợi ý: x + y + abbb : bbbc a : c Gợi ý: Ta có: ab a 10a b 10a b a 9a b 999a 111b 999a 111b a 1000a 111b abbb bc c Bài 24: Tìm phân số Gợi ý: 10b c 10b c c 10b 1110b 1110b c m m mk khác số tự nhiên k, biết n n nk 1110b c bbbc m mk km m k (vì n 0) n nk m(k 1) k + Nếu k = 1, loại + Nếu k m k , m nguyên nên k = 2, suy m = 2, n tuỳ ý k 1 k 1 Bài 25: Cho hai số tự nhiên a b (a < b) Tìm tổng phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b Gợi ý: - Những phân số lớn a nhỏ b có mẫu là: a , a , a , , b , b 7 7 Tổng chúng là: A (a ) (a ) (a ) (b ) (b ) 7 7 [(7 a 1) (7 a 2) (7 a 3) (7b 2) (7b 1)] 1 [(7 a 1) (7b 1)][(7b 1) (7 a 1) 1]= (7 a 7b)(7b a 1) 14 = (a b)(7b a 1) - Những phân số lớn a nhỏ b sau rút gọn (vì số nguyên tố) là: a 1, a 2, a 3, , b 2, b Tổng chúng là: B (a 1) (a 2) (a 3) (b 2) (b 1) 1 [(a 1) (b 1)][(b 1) (a 1) 1] [(a b)][b a 1] 2 1 Tổng phải tìm là: A B = (a b)(7b 7a 1) [(a b)][b a 1]=3(a b ) 2 ThuVienDeThi.com Bài 26: Chứng minh rằng: A = + + + + + n số phương (n lẻ) Gợi ý: A (1 n)(n 1) n 2 Bài 27: Tìm n biết rằng: n – n + 2n + chia hết cho n + Gợi ý: Chia n – n + 2n + cho n + 1, n – 1, dư n + 8, tức là: n n 2n n n n2 n2 n 8 n (n 8)(n 8) n 64 n n 65 n 65 n n 0;2; 8 2 2 2 n 1 Bài 28: Chứng minh rằng: B = 2 hợp số với số nguyên dương n Gợi ý: Ta có: 22 (3 1) n 1 , bội dư – 1, nên 22 có dạng 3k + 2 n 1 n1 Do đó: B 22 23 k 22.23 k 4.8k 4(7 1) k Ta có: (7 1) k chia cho dư 1, nên 4(7 1) k chia cho dư 4, suya B chia hết cho n 1 Bài 29: Tìm số dư chia (n – 1)111 (n – 1)333 cho n Gợi ý: Ta có: n – chia cho n dư – 1, n – chia cho n dư – (n – 1)111 chia cho n dư – 1, (n – 1)333 chia cho n dư – Suy ra: (n – 1)111 (n – 1)333 chia cho n dư Bài 30: Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho Gợi ý: Đặt A = 1n + 2n + 3n + 4n, - Nếu n = 4k + 1, n = 4k + 3, 1n + 4n 2n + 3n 5, nên A - Nếu n = 4k + 2, A = 1n + 2n + 3n + 4n = (1 + 42k+1) + (92k+1 + 162k+1) - Nếu n = 4k , A = 1n + 2n + 3n + 4n = + 42k + 92k+ 162k có tận 4, khơng chia hết cho Vậy n không chia hết cho 4, A chia hết cho Bài 31: Chứng minh rằng: a) Nếu a không bội số a6 – chia hết cho b) f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 – 9) có nghiệm c) a5 – a chia hết cho 10 Gợi ý: a) Ta có: a (a ) 12 (a 1)(a 1) (a 1)(a a 1)(a 1)(a a 1) (a 1)(a a 1)(a a 1) - Nếu a = 7k + 1, a2 – = (7k + 1)2 – = 49k2 + 14k - Nếu a = 7k + 2, a2 + a + - Nếu a = 7k + 3, a2 – a + …… Tóm lại, với a khơng chia hết cho a6 – chia hết cho * Tổng quát: a7 – a chia hết cho với a b) Ta có: f(–1)(12 – 1) = f(–1)(12 – 9) f(–1) = 0, f(x) có nghiệm c) Ta có: a5 – a = a(a4 – 1) = a(a2 – 1)(a2 + 1) = (a – 1)a(a + 1)(a2 + 1) 10 Bài 32: Tính giá trị biểu thức: A = y x z , (x2 – 1) + (y – z)2 = 16 Gợi ý: Bài 33: Chứng minh rằng: a) 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) số nguyên 2004 b) M = 1986 2004 số nguyên 1000 1 c) Khi viết dạng thập phân số hữu tỉ 0,81 11 2004 có 4000 chữ số sau dấu phẩy Gợi ý: a) Ta có: ( 20072005 – 20032003 ) = 2k b) Mẫu chia hết cho 9, cịn tử khơng chia hết cho 2004 2004 2004 2004 2004 4008 c) Ta có : 0,81 11 1100 11 100 11 10 Bài 34: So sánh A B biết : 1 1 1 A= B = 2 2 2 3.5 2.7 101 102 103 104 105 Gợi ý: ThuVienDeThi.com A= 1 1 1 1 2 B 2 2 101 102 103 104 105 100 105 2100 3.5 Bài 35: Tìm x biết: x x 1 x x x 1 x 3 a ; b (4x – 3)4 = (4x – 3)2 57 131 Gợi ý: a) Rút gọn phân số b) Chuyển vế, đặt nhân tử chung Bài 36: Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ vận tốc ô tô thứ hai 3km/h Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba hết quảng đường AB 40 phút, giờ, Tính vận tốc tơ Gợi ý: Dùng tỉ lệ thức Bài 37: Chứng minh + a (a Z+) số vô tỉ Gợi ý: Chứng minh số vô tỉ Bài 38: Cho số thực a, b cho tập hợp {a2 + a ; b} {b2 + b ; b} Chứng minh : a = b Gợi ý: Hai tập hợp bằn phần tử tập hợp phần tử tập hợp kia, ngược lại Bài 39: Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : ab = bc = cd = de = ea Chứng minh : a = b = c = d = e Gợi ý: Giả sử a b Không tính tổng quát giả sử a > b Từ ab = bc = cd = de = ea a < b, suy b > c, c < d, d > e, e < a, a > b, mâu thuẩn, nên a = b - Nếu a = b = 1, c = d = e = 1, suy a = b = c = d = e - Nếu a = b > 1, c = d = e, suy a = b = c = d = e Bài 40: Tìm x, y biết: a) 5x – 17y = 2xy x – y = 5; 2x + 3y = xy b) x + 2y – 3z = 5xyz (x – 2y)(y + 7) – x = 192, với x, y, z > Gợi ý: Bài 41: So s¸nh: 5255 vµ 2579 (hoặc 2589 ) Gợi ý: Ta có: 55 = 3125; 3.210 = 3072, nên 55 > 3.210 Suy ra: (55)51 > (3.210)51 = 351.2510 (1) Ta chứng minh: 351 > 279 Ta có: 37 > 211 (2187 >2048) => (37 )7 > (211)7 => 349 > 277 , mà 32 > 23, nên 32.349 > 22 277 => 351 > 279 (2) Từ (1), (2) suy đpcm Bài 42: Tìm nghiệm đa thức sau : a) x x ; b) x y (x, y số nguyên tố) c) Chứng minh đa thức f(x) = x x x x khơng có nghiệm Gợi ý: a) x = 2, x = b) x y = x y x = ; y = Xét chữ số tận chữ số phương hai vế ta suy c) Xét khoảng + Xét x lập luận dẫn đến f(x) > + Xét < x < lập luận dẫn đến f(x) > + Xét x lập luận dẫn đến f (x) > Trong ba khoảng có f(x) > nên đa thức f(x) khơng có nghiệm ab b Bài 43: Cho a, b, c đôi khác Biết ab số nguyên tố Tìm abc bc c Gợi ý: - Từ giả thiết hoán vị trung tỉ áp dụng tính chất dày tỉ số có a b nên b2 = ac b - Đo ab số nguyên tố có hai chữ số nên b 1; 3; 7; 9 - Đo ac = b2, ta xét trường hợp : ThuVienDeThi.com c +) b = => a = c = (loại a c) +) b = => a.c = = 1.9 (do a c) => ab 13 (do 93 không số nguyên tố) ab 13 b (chọn) có bc 39 c b = b = điều bị loại dẫn đến a = c Vậy abc 139 Bài 44: Cho số a, b, c đôi khác Chøng minh r»ng: bc ca a b 2 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a Gợi ý: Biến đổi vế trái: bc ( a c ) ( a b) 1 1 (a b)(a c) (a b)(a c) a b a c a b ca Tương tự, suy đpcm Bài 45: Cho A , B So sánh 4026 4025 1 1 Gợi ý: Đặt C A B 4026 1 1 1 1 Ta có B C (1) 4025 4026 2013 1 1 1 1 Lại có C 2 2 2 4026 A B với 2013 2014 2013 so hang C (2) 2013 Từ (1) (2) suy B C C 2013.B 2014.C 2013 2013 2013 2013 C C B A Do đó: 1 1 B 2014 B 2014 B 2014 Bài 46: Cho số dương x, y, z Chứng minh : x y y z z x x y yz zx Gợi ý: * Vì x, y, z > x y x y, y z y z , z x z x Nên: x y x y z , y z y z x z x z x y x y x yz yz yzx zx Suy ra: x y y z z x x y z 1 x y yz zx x yz zx y * Vì x, y , z vai trò nhau, giả sử: x y z , ta có x y 0, y z Suy ra: x y x y x y x y yz x y yz x y yz x y yz y z yz x yz yz x yz x y yz xz xz y x yz x yz x yz x yz y xz zx x yz zx y y 1 (2) zx xz zx zx y Từ (1), (2), suy đpcm Bài 46: Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo cạnh huyền Chứng minh rằng: a n b n c n , n số tự nhiên lớn Gợi ý: a n b n c n (1) - Víi n = 1, theo định lí Py - ta - go: a2 + b2 = c2, ỳng - Giả sử với n = k, ta cã a2k + b2k c2k - Ta chứng minh (1) với n = k + Thật vậy, với n = k + 1, ta có: a2(k+1) + b2(k+1) = =(a2k + b2k)(a2 + b2) - a2b2k - b2a2k c2kc2 = c2(k+1) VËy bất đẳng thức với n = k + Do ®ã ta cã a2n + b2n c2n, n số tự nhiên lớn -ThuVienDeThi.com B Phần hình học Bài tốn 41 Tính Aˆ tam giác ABC cân A biết đường thẳng d qua đỉnh A chai tam giác ABC thành hai tam giác cân Bài tốn 42 Cho ABC vng cân A, trung tuyến AM Lấy E BC BH, CK AE (H, K AE) Chứng minh MHK vng cân Bài tốn 43 Cho ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 70 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 Chứng minh : BN = MC Bài tốn 44 Cho ABC Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vng cân A ABE ACF Vẽ AH BC Đường thẳng AH cắt EF O Chứng minh O trung điểm EF Bài toán 45 Cho ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh : a ABC = MDE b Ba đường thẳng AM, BD, CE qua điểm Bài toán 46 Cho ABC vuông A Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = BA ; CN = CA Tính MAN Bài tốn 47 Cho ABC có A = 90 (AB < AC), phân giác AD Từ D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC M Tính MBD Bài tốn 48 ABC có B = 75 o ; C = 60 o Kéo dài BC đoạn thẳng CD cho CD = BC Tính ADB ThuVienDeThi.com Bài toán 49 Cho ABC cân, A = 80 Trên cạnh BC lấy điểm I cho BAI = 50 ; cạnh AC lấy điểm K cho ABK 30 Hai đoạn thẳng AI BK cắt H Chứng minh HIK cân Bài toán 50 Cho ABC cân A Gọi M điểm nằm cạnh BC cho MB < MC Lấy điểm O đoạn thẳng AM Chứng minh AOˆ B AOC Bài toán 51 Cho xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy điểm A B cho OA + OB = 2a Xác định vị trí A B AB đạt Bài toán 52 Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm M N Trên nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh O OMA OMB cho góc đỉnh O 45 Tìm vị trí O để AB Tính độ dài nhỏ Bài tốn 53 Cho ABC cân A có A = 100 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC = BD + AD Bài tốn 54 Cho ABC vng có AC = 3AB Trên AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC Chứng minh AEB + ACB = 45 Bài toán 55 Cho tam giác ABC cân A,  = 30 , BC = 2cm Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD = 60 Tính độ dài AD Bài toán 56 Cho tam giác ABC cân A, B = 75 Kẻ CH vuông góc với AB Chứng minh CH = AB Bài tốn 57 Cho tam giác ABC vng cân B tồn điểm M nằm tam giác cho MA : MB : MC = : : Tính AMB Bài toán 58 Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a2 + b2 > 5c2 c cạnh nhỏ Bài toán 59 Cho tam giác ABC cân A Trên trung tuyến BD lấy E cho cho DAE = ABD Chứng minh rằng: DAE ECB Bài tốn 60 Cho ABC có BAC = 40 , ABC = 60 Gọi D E điểm tương ứng AC AB cho CBD = 40 ; BCE = 70 Giả sử BD cắt CE F Chứng minh rằng: AF BC Bài toán 61 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN Từ N vẽ đường thẳng vng góc với AN cắt AB, AM hai điểm P Q Từ Q vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt AN O Chứng minh QO BC Bài toán 62 Cho ABC Trung tuyến BM đường phân giác CD cắt I thỏa mãn IB = IC Từ A kẻ AH BC Chứng minh IM = IH Bài tốn 63 Cho tam giác ABC vng cân A Gọi M trung điểm BC, G điểm cạnh AB cho GB = 2GA Các đường thẳng GM CA cắt D ThuVienDeThi.com Đường thẳng qua M vng góc với CG E cắt AC K Gọi P giao điểm DE GK Chứng minh rằng: a DE = BC b PG = PE Bài toán 64 Cho tam giác ABC vuông cân A Giả sử D điểm nằm bên tam giác cho tam giác ABD cân ADB = 150o Trên nửa mặt phẳng khơng chứa D có bờ đường thẳng AC lấy điểm E cho tam giác ACE Chứng minh điểm B, D, E thẳng hàng Bài toán 65 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt J thỏa mãn điều kiện JB = JC Từ A kẻ AH vuông góc với cạnh BC Chứng minh JM = JH Bài tốn 66 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, AM = cm a Tính số đo góc BAC b Tính BC c Tính diện tích tam giác ABC Bài tốn 67 Cho tam giác ABC có góc BAC 105o, đường phân giacstrong CD đường trung tuyến BM cắt K thỏa mãn KB = KC Gọi H chân đường cao hạ từ A tam giác ABC a Chứng minh HA = HB b Tính góc ABC góc ACB.’ Bài tốn 68 Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho CD = 2BD So sánh số đo hai góc BAC CAD Bài tốn 69 Gọi P trung điểm cạnh BC tam giác ABC BE, CF hai đường cao Đường thẳng qua A, vng góc với PE, cắt đường thẳng BE N Gọi K G trung điểm BM CN Gọi H giao điểm đường thẳng KF GE CMR: AH EF Bài tốn 70 Cho DEF vng D, có EK phân giác Kẻ KM EF, kéo dài KM cắt đường thẳng DE I Chứng minh: a/ DK = KM ; DE = EM b/ EK IF c/ Nếu cho M trung điểm EF Chứng minh: DK KF Hết - ThuVienDeThi.com ... trường hợp Bài 16: Trong số x, y, z có số dương, số âm số Hỏi số thuộc loại biết: x y3 y2 z Gợi ý: Ta có : x y y z x y ( y z ) , suy ra: x < 0, y > 0, z = Bài 17: Tìm hai chữ số tận... 10 15 20 Bài 20: Tìm x, y biết rằng: x + y + 1 =4 x y 1 1 = ( x ) ( y ) x 1, y 1 x y x y Bài 21: Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số Chứng... 1):9, … Bài 22: Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + số phương Gợi ý: Giả sử ab + số phương Khi ab + = n2, suy (n + 2)(n – 2) = ab, với ab Bài 23: Chứng minh chữ số a, b,