Một số bài tập chọn lọc và nâng cao Trường THPT Đốc Binh Kiểu47160

Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao TÀI LIỆU Bài 1: Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = a/ Giải phương trình a = b/ Với giá trị a phương trình có nghiệm Phương trình: cos3x Hướng dẫn + asinx.cosx + sin3x = + Đặt t = sinx + cosx =  cos(x  ), |t|  cos3x + sin3x = (cosx + sinx)(sin2x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) t2 = + 2sinxcosx nên sinxcosx = + Phương trình (1) trở thành: t2 1 t cos3x + sin3x = (3  t ) 2 t t2 1 (3  t ) + a =  t3 – at2 – 3t + a = (2) 2 Câu a / + Với a = : (2) trở thành: t3 – t2 – 3t + =  (t + )(t2 - 2 t + 1) =  (t + )(t - + 1)(t - - 1) =  t = - hay t = - hay t = + + So lại điều kiện: | t |  nên phương trình (1) tương đương với:  5     cos(x  )  1 x  k2 cos(x  )      4   ,kZ   1   cos(x   )   cos(x   )     x   ar cos  k2  4   Câu b / + Phương trình (1) có nghiệm f(t) = t3 – at2 – 3t + a = có nghiệm t [- ; ] + f(t) liên tục R f(- ) = - a ; f( ) = - - a; f(0) = a  a = 0: f(t) có nghiệm t =  [- ; ]  a < 0: f(- ).f(0) = a( - a) <  f(t) = có nghiệm t (- ;0)  a > 0: f(0).f( ) = a(- - a) <  f(t) = có nghiệm t (0; ) + Vậy phương trình ln có nghiệm với a ĐỒN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao Bài 2: Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = có nghiệm phân biệt Hãy xét dấu biểu thức: a2 – 3b Hướng dẫn Xét hàm số: y = f(x) = x3 + x2 + ax + b + Tập xác định: R y’ = 3x2 + 2x + a tam thức bậc hai có biệt số ’ = – 3a + Pt: x3 + x2 + ax + b = có nghiệm phân biệt nên y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 f(x1).f(x2)< 1  3a  (x1, x2 hai nghiệm phương trình 3x2 + 2x + a = 0) f (x ).f (x )   + Suy ra:  + Thực phép chia đa thức ta được: 1 1 f(x) = x3 + x2 + ax + b =  x   y '  (6a  2)x  9b  a  9 3 Suy f(x1) = 1 (6a  2)x1  9b  a  ; f(x2) = (6a  2)x  9b  a  9 + f(x1).f(x2) <  (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < + Vì x1, x2 nghiệm phương trình: 3x2 + 2x + a = nên x1 + x2 =  Do đó: a ; x1.x2 = 3 a (6a  2)  (6a  2)(9b  a)  (9b  a)  3 suy ra: 4(3a – 1)(a2 – 3b) + (9b – a)2 < + Vì (9b – a)2  3a – < nên a2 – 3b > Bài 3: Tìm cực trị hàm số: x x x y = sin2x + cotg2 + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 ( < x < ) Hướng dẫn x x x Hàm số: y = sin2x + cotg2 + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 x x x + Đặt z = sinx + cotg ; z2 = sin2x + cotg2 + 4cos2 Do đ ó: y = z2 – 4z 2 x cos x - cosx + + y’x = y’z z’x = (2z – 4)( cosx ) = 2(sinx + cotg 2) x cosx - 2sin 2 cos x - cosx + + Do: < x <   cosx <  2 Do đó: y’ dấu với t – p x + y’ =  t – =  tg =  x = ( 0< x < ) 2 x p  tg -1 x - + y’ - + y -4 p Vậy: hàm số có điểm cực tiểu ( ; -4) Bài 4: Cho phương trình: x  34x  a  (x  1)(x  33)  a/ Giải phương trình a = 64 b/ Tìm a để phương trình có nghiệm Hướng dẫn Câu a: +Đặt u = x  34x  a v = (x  1)(x  33) u  (u  1)  a  33 (I) +Ta có hệ  v  u   +Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > u [1; + ), nên f(u) tăng [1; + ) +a = 64, f(u) = 31 = f(2) f(u) tăng nên hệ (I) có nghiệm: (u = 2,v = 1) từ ta có nghiệm phương trình là: x = 17  257 Câu b: + f(u) tăng [1; + ) mà f(1) = nên phương trình có nghiệm a – 33  hay a  34 Bài 5: Cho cấp số nhân có u1 = x, cơng bội q = x, (x≠1) a Tính f(x)=Sn ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao b Chứng minh:  2.2  3.22   n.2n 1   2n (n  1) với n  ฀ * Hướng dẫn Câu a: + Tổng n số hạng cấp số nhân có u1=x q=x với x≠1 là: S n  f  x   u1  u2  u3   un      xx u1 q n  q 1 + Vậy Sn  f  x   n x 1 x x 1 n 1 x x 1 n 1 x x 1 Câu b: + Đạo hàm f  x    x n 1  x là: x 1 f /  x   x  x  x3   x n  /    x  x  x3   nx n 1  / x n 1  x  x n 1  x      x 1    x  1   x /  x  1   n  1 x n  1  x  1  x n 1  x   x  1 n 1   x  x  1 /  + Chọn x=2, ta có: f /     2.2  3.22   n.2n 1     n  1 2n  1   1  2n 1     2n  n  1   1 + Vậy  2.2  3.22   n.2n 1   2n (n  1) với n  ฀ * (đpcm) Bài 6: Cho hàm số f(x)=(1+x)n, với n  ฀ * a Tính f’(x) n b Chứng minh rằng: C n  2C n  3C n   nC n  n.2n 1 Hướng dẫn Câu a: + Khai triển nhị thức newton (1+x)n, ta được: f  x   1  x   C n  xC n  x C n  x3 C n   x n C n n n + Tính đạo hàm hàm số f(x) ĐỒN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU / n f /  x   1  x       Một số tập chọn lọc nâng cao  C n  xC n  x C n   nx n 1C n  n  x  1 n  n / n C n  xC n  x C n  x C n   x C n n 1 Câu b: n 1 n + Theo câu a, ta có: C n  xC n  3x C n   nx n 1C n  n  x  1 (1) + Do (1) với x, nên ta chọn x=1, ta có: n n 1 C n  2C n  3C n   nC n  n.2 (đpcm) Bài 7: Cho số thực a, b, c thoả điều kiện: 5a+2b+3c=0 Chứng minh phương trình ax2+bx+c= có nghiệm Hướng dẫn + Trường hợp 1: Xét a=0, từ giả thuyết ta suyra 3b+2c=0  Nếu b= c=0 phương trình có nghiệm với x c b 5a  3c + Trường hợp 2: a≠0 Từ giả thuyết suyra: b   Khi ta có:  Nếu b≠0 pt cho có nghiệm x     5a  3c  2   b  4ac      4ac  25a  9c  30ac  4ac   1  51    25a  9c  14ac   a  2c   5c  a   4        Suyra pt bậc hai ax2+bx+c=0 có nghiệm + Vậy pt ax2+bx+c=0 có nghiệm (đpcm) Bài 8: Cho a, b, c số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a b c   2 bc ca ab Hướng dẫn + Ta có:  a   b   c  A  1    1    1  bc   ca   ab  abc bca cab    1 bc ca ab 1    a  b  c    1 bc ca ab ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao 1    b  c    c  a    a  b       1 bc ca ab  1  2  + Amin dấu đẳng thức xảy a = b = c Vậy A  a=b=c Bài 9: Cho a  1, b  số thực Chứng minh rằng: a b   b a   ab Hướng dẫn + Vì a  nên a   Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: a    a  suyra a 1  + Tương tự, ta củng có: b   b a b a + Khi đó: a b   b a   a  b  ab (đpcm) Bài 10: Cho x, y, z số dương thoả điều kiện x+y+z=1 Hãy tìm giá trị x4 y z nhỏ biểu thức: A    y z x Hướng dẫn + Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: x4 x4  y  y  y  y y y  x y3 y3 + Tương tự, ta có: y4 y4  z  z  z  z z z  y z3 z z4 z4 4 x.x.x  z  x  x  x  x3 x3 x4 y z + Vậy A      x  y  z   y z x + Amin dấu đẳng thức xảy x = y = z Mà x+y+z=1 Nên x  y  z  ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU + Vậy minA=4 x  y  z  Một số tập chọn lọc nâng cao Bài 11: Các số thực không âm a, b, c thoả điều kiện a+b+c=1 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P  2a   2b   2c  Hướng dẫn + Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: P  2a   2b   2c    2a   2b   2c   12  12  12 2a   2b   2c     a  b  c     15 +Pmax dấu đẳng thức xảy ra: a  b  c  + Vậy max P  15 a  b  c  Chú ý sai lầm thường gặp sau: + a, b, c ba số thực không âm (theo gthuyết) nên theo BĐT Cauchy, ta có:  2a    2a   2a   a    2b    2b    2b   b    2c    2c   2c   c   P  2a   2b   2c   c   b   a   + Pmax dấu đẳng thức xảy ra: a  b  c  + Vậy maxP = a  b  c  Bài 12: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc    bc ca ab Hướng dẫn + Đặt A  2 a b c   bc ca ab + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có: b c  a  bc  ca  a  b   2a  b  c A  ca ab  bc   a  b  c  2a  b  c A ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao  a  b  c   a  b  c (đpcm)  A 2a  b  c 2 Bài 13: Cho số thực a, b, c thay đổi thoả mãn điều kiện 0 a3+b3+c3 = 3abc + (a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca) a3+b3+c3 a  b3  c3  3abc  a  b  c  ab  bc  ca abc a  b3  c3  3abc  2   a  b  b  c    c  a    + Vậy  abc 2 + Khi ta có: Bài 17: Cho ba số x, y, z dương Chứng minh: ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 x2 y2 z2 x yz    yz zx x y DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao Hướng dẫn Cách 1: + Áp dụng BĐT Cauchy ta có:  x2 yz  x   y z  zx x2 y2 z2 x yz  y        x yz y      z x y z z x x y   z2 x y  z   x  y + Vậy x2 y2 z2 x yz    yz zx x y Cách 2: làm tương tự 12 4 x  y   x  y  1 Bài 18: Giải hệ bất phương trình sau:  Hướng dẫn  a  x  + Đặt  b  y   4 x  y  a  b  x  y    a b x y     4   suyra:  + Ta có:  2a  2b   4a  4b  2.2a b   2.20  2a  2b   a  b   x  y  (thoả mãn hệ) a  b   x   + Vậy nghiệm hệ là:  y   Bài 19: Cho ≤ a, b, c, d ≤1 Chứng minh rằng: a b c d    3 bcd  acd  abd  abc  Hướng dẫn + Ta có: 1  a 1  b   1  c 1  d   1  ab 1  cd      a  b   ab    c  d   cd    ab  cd   abcd    abcd  a  b  c  d ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 10 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao + Suyra: a b c d a b c d         bcd  acd  abd  abc  abcd  abcd  abcd  abcd  a  b  c  d  abcd  3abcd    3 abcd  abcd  abcd  a b c d + Vậy     (đpcm) bcd  acd  abd  abc  Bài 20: Cho a, b, c ba số không âm thoả a+b+c=3 Tìm giá trị lớn F  ab  bc  ca Hướng dẫn + Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki, ta có: a  b  b  c  c  a  2a  b  c  + Fmax dấu đẳng thức xảy a = b = c = + Vậy max P  a = b = c =1 Bài 21: Giải bất phương trình: + BPT x   x   50  x  12 Hướng dẫn x   x   50  x  12 xác định khi:   x  1 x 1   3 50    x 2 x     x  2 50  x    50   x  + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có: x   x   50  x  x   x   50  x  144  12 50 + Vậy x   x   50  3x  12 với  x   50  + Tập nghiệm BPT S   ;  2  a, b, c  a  b  c  Bài 22: Cho  1/ Tìm giá trị lớn A  a b c   2  a  b  c2 ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 11 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao 2/ Tìm giá trị nhỏ B  1   1 a 1 b 1 c Hướng dẫn Câu 1/: + Áp dụng BĐT cauchy, ta có: a  1 a  b 1  b  + Tương tự, ta củng có:   c 1 1  c 2 a b c + Do A     2 1 a 1 b 1 c + Vậy max A  a = b = c =  a  2a  Câu 2/: 1     1 a 1 b 1 c  a  b  c + Vậy B  a = b = c = + Ta có B   x, y , z  x y z Tìm giá trị lớn P    1 x 1 y 1 z x  y  z  Bài 23: Cho  Hướng dẫn Cách 1: + Ta có: P x y z  x 1  y 1  z 1       1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z  1   3     3  4  1 x 1 y 1 z  + Vậy max P  x  y  z  Cách 2: + Xét hàm số f  t   t với t>0 t 1 ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 12 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU f / t    t  1 2 f //  t    t  1 Một số tập chọn lọc nâng cao 0 0 + Theo BĐT JenSen, ta có:  x yz f  x  f  y  f  z   f     x y z P   3  1 x 1 y 1 z 1 3 + Vậy max P  x  y  z  Bài 24: Cho số thực x, y, z dương thoả hệ thức biểu thức S  1   2x  y  z x  y  z x  y  2z Hướng dẫn Cách biến đổi 1: + Chứng minh phụ BĐT: + Xét hàng đẳng thức: a  b 1    Tìm giá trị lớn x y z 1   với a,b>0 a b ab   a  b  2ab  a  2ab  b  4ab   a  b   4ab  + Khi ta có: ab 1     ab ab a b ab 1    2x  y  z  x  y 1    x  2y  z  x  y  2 1      x  z  16  x y z   1 1      y  z  16  x y z  1 1  1 2         x  y  z  x  z y  z  16  x y z  (1) (2) (3) + Cộng (1),(2),(3) ta được: S 4 4 11 1          1 16  x y z   x y z  ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 13 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU + Vậy max S  x  y  z  Cách biến đổi 2: + Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: Một số tập chọn lọc nâng cao x  x  y  z  4 x yz (1) 1 1     44 x x y z x yz (2) + Nhân (1) (2) lại ta được: 1 1 1      4 x yz 4  16 x yz x x y z  x  x  y  z  1 1 1      16  x x y z  x  y  z + Làm tương tự, ta củng có: 1 1 1      16  x y y z  x  y  z 1 1 1      16  x y z z  x  y  z (Bạn đọc tự giải tiếp.) Bài 25: Cho ba số thực a, b, c thuộc  0;1 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P  ab bc ca   c 1 a 1 b 1 Hướng dẫn + Hiển nhiên ta có P ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = (bạn đọc thử chứng minh) + Vậy minP=0 a=b=c=0 + Mặt khác, ta có: ab bc ca a b b c c a         c 1 a 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 b 1 c   b c   a b   a Suyra: P        3  ca ac   cb bc  ba ab P + Vậy maxP=3 a=b=c=1 Bài 26: Cho a,b,c số thực thoả mãn −1 ≤a,b,c≤ a+b+c=0 Chứng minh a2+b2+c2≤6 + Theo giả thuyết ta có: Hướng dẫn ĐỒN QUỐC VINH 11A1 14 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao a+1≥0 a−2≤0 => (a+1)(a-2)≤0 + Làm tương tự ta củng được: b2≤b+2 + Vậy a2+b2+c2 ≤ (a+b+c)+6 = => a2≤a+2 c2≤c+2 Bài 27: Cho số thực dương a, b, c thoả điều kiện a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ     1    biểu thức P  1   1   1   a b c + Theo giả thuyết ta có: Hướng dẫn a  a  b  c  a 4 a 2bc 1    a a a a (1) 1 b  a  b  c  b 4 ab c    b b b b (2) 1 c  a  b  c  c 4 abc    c c c c (3) + Nhân (1), (2) (3) ta được: 4 a 2bc 4 ab c 4 abc P  64 a b c + Vậy minP=64 a  b  c  Bài 28: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y yz 1    Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2x  y 2z  y x z y Hướng dẫn 2xz + Từ giả thuyết ta có: y  xz + Từ suyra: xz xz z x  3z 3x  z xz  xz P    xz xz x z 2x  2z  xz xz 3 z x         2 x z  x + Vậy minP=4 x=y=z Bài 29: Cho a, b, c, x số thực thoả mãn điều kiện x3  ax  bx  c  Chứng minh x   a  b  c ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 15 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao Hướng dẫn + Từ giả thuyết ta có: x3  ax  bx  c => x   ax  bx  c    ax  bx  c  + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có:  x  ax  bx  c   a =>  a  b  c   + Vậy x   a  b  c 2  b2  c2  x   x2  x6 x6   1   x2 1   x2 1 4 2 x  x 1 x  x 1 x  x 1 Bài 30: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab+bc+ca=abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  b  2a c  2b a  2c   ab bc ca Hướng dẫn + Áp dụng BĐT Bunhiacốpski, ta có: b  2a 1 1  2 2   ab a b b a b b  2a 1 2     ab 3a b 1 1 + Làm tương tự ta được: P       a b c => + Vậy P  a=b=c=3 a sin x  b cos x   Bài 31: Cho a≠b x, y số thực thoả điều kiện a cos y  b sin y  a tan x  b tan y  Chứng minh a+b=2ab Hướng dẫn + Theo giả thuyết ta có: cosx ≠0 cosy ≠0 Khi củng từ giả thuyết ta có:  2 a tan x  b  cos x   tan x  a  1 tan x   b   2  b  1 tan y   a a  b tan y    tan y cos y  ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 16 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao  a  1 b  1 a tan x  1  b  b  1 a 2 =>    b  1 a   a  1 b 2 2  b  1 a  1 b tan y  1  a  a  1 b + Khai triển đẳng thức thu gọn ta đpcm Bài 32: Cho a,b,c số thực thoả mản điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng: a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 Hướng dẫn + Ta có: a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 => a4+b4+c4 −a3−b3−c3−(a+b+c)+3 ≥ => a(a3−1)+b(b3−1)+c(c3−1) − (a3−1) − (b3−1) − (c3−1) ≥ => (a−1)(a3-1) + (b−1)(b3-1) + (c−1)(c3-1) ≥ => (a−1)2(a2+a+1) + (b−1)2(b2+b+1) + (c−1)2(c2+c+1) ≥ (đúng) + Vậy a4+b4+c4 ≥ a3+b3+c3 (đpcm) Bài 33: Cho a,b,c số dương chứng minh rằng: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc (a+b)(a−b)2 Hướng dẫn + Xét BĐT ≥0 => a(a−b)2 + b(a−b)2 ≥ => a3+b3 ≥ ab(a+b) => a3+b3−a2b−ab2 ≥ => a3+b3+abc ≥ ab(a+b+c) 1  a +b +abc ab  a+b+c  + suyra: + Tương tự, ta củng có: 1  b +c +abc bc  a+b+c  1  c +a +abc ca  a+b+c  + Vậy 1 abc  3    3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc  a  b  c  abc Bài 34: Cho a,b,c số dương thoả abc=1 Chứng minh rằng: 1   1 1 a  b 1 b  c 1 c  a Hướng dẫn 1 1 + Áp dụng BĐT 3  3   với x,y,z > x  y  xyz y  z  xyz z  x  xyz xyz (Đả chứng minh 33) ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 17 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao a  x3  + Với a,b,c>0 abc=1 Đặt b  y c  z  + Ta có: abc = x3y3z3 + Vậy => (xyz)3 = => xyz=1 1    (đpcm) 1 a  b 1 b  c 1 c  a Bài 35: Tính giá trị biểu thức S  tan  tan   tan  tan   tan  tan  Với   ,  ,  biểu thức có nghĩa thoả điều kiện         Hướng dẫn + Ta có: tan       tan   tan  tan   tan   tan  tan   1  tan  tan  tan      => tan       + Tương tự, ta củng có:  tan   tan     tan   tan    tan  tan     tan   tan    tan  tan   + Vậy S = −3 ax  by  c  Bài 36: Giả sử hệ phương trình bx  cy  a có nghiệm Chứng minh rằng: cx  ay  b  a  b3  c3  3abc Hướng dẫn ax  by  c bx  cy  a + Từ giả thuyết ta suy hệ phương trình:  + Ta có: D a b  ac  b b c Dx  c b  c  ab a c Dy  a c  a  bc b a + Theo giả thuyết có hai khả xảy ra: ĐỒN QUỐC VINH 11A1 18 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU  Một số tập chọn lọc nâng cao a  bc  D=Dx=Dy=0 Khi ta có: b  ac c  ab  => a  b3  c3  3abc  c  ab x   ac  b  D≠Dx≠Dy≠0 Khi hệ pt có nghiệm là:   y  a  bc ac  b  Nghiệm phải thoả phương trình: cx  ay  b c  ab a  bc + Khi ta có: c a b ac  b ac  b + Thu gọn lại ta điều phải chứng minh Bài 37: Cho số thực a, b, c thoả mãn điệu kiện: a cos x  b cos 3x  1, x  ฀ Chứng minh rằng: b  Hướng dẫn  f    a  b   1  a  b   f    a  b  + Theo giả thyết ta có:     a  f    b 1     2  a  2b  + Hoàn toàn tương tự ta có:   f  2    a  b     + Từ (1) (2) suyra: 3  3b   1  b   b  Bài 38: Chứng minh rằng:   A A A   A n  n 1 , n  2, n  ฀ n Hướng dẫn + Ta có: Ak  k   k  1 k! 1 1  k  k  1       k  ! Ak k  k  1 k  k  1 k  k + Cho k nhận giá trị từ đến n ta có: ĐỒN QUỐC VINH 11A1 19 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao    1  A2  1    1 1 n 1 (đpcm)          A3 n n  A A3 A An   1   2 n 1 n  An Sn S  Sn  2n S n  S n S3 n  S n Bài 39: Cho (Sn) cấp số nhân Chứng mihn rằng: Hướng dẫn + Gọi q công bội cấp số nhân (Sn) + Nếu q=1 đẳng thức hiển nhiên  => S2 n  Sn     u q 2n q 1    u q 1 q 1   u q u1 q  3n q 1 + Từ suy ra: n 2n n  q 1   S3 n   2n n q 1 n n   u1 q 3n  q 1   u q q  q   u1 q    u q q 1 q 1   u1 q n  S2 n  q 1 u1 q  => S3n  S2 n   u1 q n  + Nếu q≠1, ta có: Sn  n n  1 q 1  1 q 1  u1 q n  Sn q 1   n n n S n  S n u1q q  q  (1)  q 1 + Tương tự ta có:   u1q n q n  S2 n  Sn q 1   n 2n n S3n  S n u1q q  q  (2)  q 1 Sn S  Sn  2n + Từ (1) (2) suyra: S n  S n S3 n  S n  (đpcm) Bài 40: Tính giới hạn hàm số: lim sin x   sin x x   Hướng dẫn ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 20 DeThiMau.vn .. .Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao Bài 2: Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = có nghiệm phân biệt Hãy xét dấu biểu thức: a2 – 3b Hướng dẫn Xét hàm số: y = f(x)... a – 33  hay a  34 Bài 5: Cho cấp số nhân có u1 = x, cơng bội q = x, (x≠1) a Tính f(x)=Sn ĐỒN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU Một số tập chọn lọc nâng cao b Chứng minh: ... x+y+z=1 Nên x  y  z  ĐOÀN QUỐC VINH 11A1 DeThiMau.vn Trường THPT ĐỐC BINH KIỂU + Vậy minA=4 x  y  z  Một số tập chọn lọc nâng cao Bài 11: Các số thực không âm a, b, c thoả điều kiện a+b+c=1 Hãy