Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2008 2009 môn thi: toán, khối 12 thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề34767

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Tổ Toán – Tin ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 - 2009 Mơn thi: Tốn, khối 12 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1(3.0 điểm)    Cho x; y    ;   2  tan x  tan y  y  x (1) Giải hệ phương trình   x  y  4 (2) Bài 2(3.0 điểm) Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 1) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 2) Tìm hệ số a10? Bài 3(3.0 điểm) u1   Cho dãy số (un) xác định bởi:  un   , n  ฀ * u   n 1   u n    Tính u2009 Bài 4(3.0 điểm) 2008 Chứng minh với x, y ta có: e 2009 x y 2009  2008 x y e  e 2009 2009 Bài 5(3.0 điểm) 1) Xác định đa thức P(x) thoả mãn a) x( x  1) P ''( x)  ( x  2) P '( x)  P( x)  b) xP( x  1)  ( x  2) P( x) 2) Cho hai đa thức f , g  ฀ [x] mà f ( g ( x))  g ( f ( x)) Chứng minh f ( x)  g ( x) vơ nghiệm f ( f ( x))  g ( g ( x)) vô nghiệm Bài 6(3.0 điểm) Cho tam giác ABC, M điểm tùy ý miền tam giác Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh rằng: MA ' MB ' MC '   1 AA ' BB ' CC ' Bài 7(2.0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, S điểm khơng thuộc mặt phẳng (ABCD) cho tam giác SAB Cho SC = SD = a Gọi H, K trung điểm SA, SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC N Chứng minh tứ giác HKNM hình thang cân Đặt AM = x   x  a  Tính diện tích hình thang HKNM theo a x -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 BÀI NỘI DUNG Xét phương trình (1): tanx - tany = y - x  tanx + x = tany + y    1  0t    ;  Xét hàm số f (t )  tan t  t có f '(t )  cos t  2    Suy hàm số f(t) luôn đồng biến   ;   2 nên tanx + x = tany + y  x = y 4 Thay vào (2): x  y  5 i 0 i 0    C5i xi  C5i x 1.0 0.5 0.5 0.5 i 0.5 Hệ số a10 = C50 C55  C52 C54  C54 C53  101  tan   tan    Ta có: tan    tan  tan 1.0 0.5   tan         3 8  3.tan     tan     tan   3 8  tan    u3   8    3  tan    tan 3 8   Dự đoán un  tan    n  1  8 3 Từ giả thiết: u2  0.5 0.5 0.5 Chứng minh công thức quy nạp      Do u2009  tan   2008   tan   251   tan  3 8 3  2008 ta có a + b = ; b 2009 2009 BĐT viết lại: eax  by  ae x  be y  eax  (1 a ) y  ae x  (1  a)e y Gọi a  y a( x y ) e e  e  a (e  e )  e y 0.5 0.5 1) Ta có P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 = (1 + + + 1)5 = 45 2) Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x2)]5 = 0.5 0.5 ĐIỂM x y a( x y )   a (e  ea ( x  y )  ae x  y  a   x y 0.5 0.5  1) Xét hàm số f(t) = eat – aet + a - f’(t) = aeat – aet = a(eat – et); f’(t) =  t = Hàm f(t) đồng biến khoảng  ;0  nghịch biến khoảng (0;  ) f(0) =  t  ฀ f(t)  f(0) = Hay eat – aet + a -  Thay t = x – y ta có điều phải chứng minh DeThiMau.vn 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 1) a) x( x  1) P ''( x)  ( x  2) P '( x)  P( x)   x( x  1) P ''( x)  ( x  2) P '( x)  P( x) (1) + P( x)  thoả mãn + deg P( x)   P( x)  ax  b (a  0) Thay vào (1) P( x)  a( x  2) (a  0) + deg P( x)   P( x)  ax  bx  c (a  0) Thay vào (1) P( x) thoả mãn + deg P( x)   P( x)  ax3  bx  cx  d (a  0) Thay vào (1) khơng có P( x) thoả mãn Vậy P( x)  0, P( x)  a( x  2) b Thay x  0, x  vào đồng thức, ta thấy x  0, x  nghiệm P( x) Suy P( x)  x( x  1)Q( x)  ( x  x)Q( x) Thay vào đồng thức, ta có Q( x)  Q( x  1) Ta có Q(0)  Q(1)  Q(2)   Q( x)  c (const ) Vậy P( x)  c( x  x) Xét h( x)  f ( x)  g ( x) , ta thấy h( x) liên tục ฀ Do h( x) vô nghiệm nên h( x)  0, x  ฀ h( x)  0, x  ฀ Ta có f ( f ( x))  g ( g ( x))  f ( f ( x))  g ( f ( x))  g ( f ( x))  g ( g ( x))  h( f ( x))  f ( g ( x))  g ( g ( x))  h( f ( x))  h( g ( x))  C' 0.5 B' 0.5 C B H K A' MN = a HP = HM - MP  a2 ax  a   + x2 +  2  16  3a Vậy S =  3a  16x  8ax 16 0.5 HV 0.5 0.5 S 0.5 K HV 0.5  HK + MN  HP a 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0,25 M Ta có HK // MN suy HKNM hình thang Hai tam giác SAD SBC Nên MH = KN suy HKNM hình thang cân Gọi S diện tích hình thang KHNM H P hình chiếu H lên MN HK = 0.25 0.5 MA ' MB ' MC ' S MBC  S MCA  S MAB    1 AA ' BB ' CC ' S ABC Ta có S = 0.25 0.25 0.25 0,25 Ln âm dương Suy điều phải chứng minh Vẽ đường thẳng AH, MK vuông với BC H K A MA ' MK MK BC S MBC    Ta có: AA ' AH AH BC S ABC MB ' S MAC  Tương tự: BB ' S ABC MC ' S MAB  CC ' S ABC 0.25 B N 0.5 A x P C M D 3a  16x  8ax DeThiMau.vn (góc A 1200) 0.5 ...ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 BÀI NỘI DUNG Xét phương trình (1): tanx - tany = y - x ... 8   Dự đoán un  tan    n  1  8 3 Từ giả thi? ??t: u2  0.5 0.5 0.5 Chứng minh công thức quy nạp      Do u2009  tan   2008   tan   251   tan  3 8 3  2008 ta có...    Do u2009  tan   2008   tan   251   tan  3 8 3  2008 ta có a + b = ; b 2009 2009 BĐT viết lại: eax  by  ae x  be y  eax  (1 a ) y  ae x  (1  a)e y Gọi a  y a(