Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Tổ Toán – Tin ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 - 2009 Mơn thi: Tốn, khối 12 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1(3.0 điểm) Cho x; y ; 2 tan x tan y y x (1) Giải hệ phương trình x y 4 (2) Bài 2(3.0 điểm) Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15 1) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 2) Tìm hệ số a10? Bài 3(3.0 điểm) u1 Cho dãy số (un) xác định bởi: un , n * u n 1 u n Tính u2009 Bài 4(3.0 điểm) 2008 Chứng minh với x, y ta có: e 2009 x y 2009 2008 x y e e 2009 2009 Bài 5(3.0 điểm) 1) Xác định đa thức P(x) thoả mãn a) x( x 1) P ''( x) ( x 2) P '( x) P( x) b) xP( x 1) ( x 2) P( x) 2) Cho hai đa thức f , g [x] mà f ( g ( x)) g ( f ( x)) Chứng minh f ( x) g ( x) vơ nghiệm f ( f ( x)) g ( g ( x)) vô nghiệm Bài 6(3.0 điểm) Cho tam giác ABC, M điểm tùy ý miền tam giác Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB A’, B’, C’ Chứng minh rằng: MA ' MB ' MC ' 1 AA ' BB ' CC ' Bài 7(2.0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, S điểm khơng thuộc mặt phẳng (ABCD) cho tam giác SAB Cho SC = SD = a Gọi H, K trung điểm SA, SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC N Chứng minh tứ giác HKNM hình thang cân Đặt AM = x x a Tính diện tích hình thang HKNM theo a x -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2: DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 BÀI NỘI DUNG Xét phương trình (1): tanx - tany = y - x tanx + x = tany + y 1 0t ; Xét hàm số f (t ) tan t t có f '(t ) cos t 2 Suy hàm số f(t) luôn đồng biến ; 2 nên tanx + x = tany + y x = y 4 Thay vào (2): x y 5 i 0 i 0 C5i xi C5i x 1.0 0.5 0.5 0.5 i 0.5 Hệ số a10 = C50 C55 C52 C54 C54 C53 101 tan tan Ta có: tan tan tan 1.0 0.5 tan 3 8 3.tan tan tan 3 8 tan u3 8 3 tan tan 3 8 Dự đoán un tan n 1 8 3 Từ giả thiết: u2 0.5 0.5 0.5 Chứng minh công thức quy nạp Do u2009 tan 2008 tan 251 tan 3 8 3 2008 ta có a + b = ; b 2009 2009 BĐT viết lại: eax by ae x be y eax (1 a ) y ae x (1 a)e y Gọi a y a( x y ) e e e a (e e ) e y 0.5 0.5 1) Ta có P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15 = (1 + + + 1)5 = 45 2) Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x2)]5 = 0.5 0.5 ĐIỂM x y a( x y ) a (e ea ( x y ) ae x y a x y 0.5 0.5 1) Xét hàm số f(t) = eat – aet + a - f’(t) = aeat – aet = a(eat – et); f’(t) = t = Hàm f(t) đồng biến khoảng ;0 nghịch biến khoảng (0; ) f(0) = t f(t) f(0) = Hay eat – aet + a - Thay t = x – y ta có điều phải chứng minh DeThiMau.vn 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 1) a) x( x 1) P ''( x) ( x 2) P '( x) P( x) x( x 1) P ''( x) ( x 2) P '( x) P( x) (1) + P( x) thoả mãn + deg P( x) P( x) ax b (a 0) Thay vào (1) P( x) a( x 2) (a 0) + deg P( x) P( x) ax bx c (a 0) Thay vào (1) P( x) thoả mãn + deg P( x) P( x) ax3 bx cx d (a 0) Thay vào (1) khơng có P( x) thoả mãn Vậy P( x) 0, P( x) a( x 2) b Thay x 0, x vào đồng thức, ta thấy x 0, x nghiệm P( x) Suy P( x) x( x 1)Q( x) ( x x)Q( x) Thay vào đồng thức, ta có Q( x) Q( x 1) Ta có Q(0) Q(1) Q(2) Q( x) c (const ) Vậy P( x) c( x x) Xét h( x) f ( x) g ( x) , ta thấy h( x) liên tục Do h( x) vô nghiệm nên h( x) 0, x h( x) 0, x Ta có f ( f ( x)) g ( g ( x)) f ( f ( x)) g ( f ( x)) g ( f ( x)) g ( g ( x)) h( f ( x)) f ( g ( x)) g ( g ( x)) h( f ( x)) h( g ( x)) C' 0.5 B' 0.5 C B H K A' MN = a HP = HM - MP a2 ax a + x2 + 2 16 3a Vậy S = 3a 16x 8ax 16 0.5 HV 0.5 0.5 S 0.5 K HV 0.5 HK + MN HP a 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0,25 M Ta có HK // MN suy HKNM hình thang Hai tam giác SAD SBC Nên MH = KN suy HKNM hình thang cân Gọi S diện tích hình thang KHNM H P hình chiếu H lên MN HK = 0.25 0.5 MA ' MB ' MC ' S MBC S MCA S MAB 1 AA ' BB ' CC ' S ABC Ta có S = 0.25 0.25 0.25 0,25 Ln âm dương Suy điều phải chứng minh Vẽ đường thẳng AH, MK vuông với BC H K A MA ' MK MK BC S MBC Ta có: AA ' AH AH BC S ABC MB ' S MAC Tương tự: BB ' S ABC MC ' S MAB CC ' S ABC 0.25 B N 0.5 A x P C M D 3a 16x 8ax DeThiMau.vn (góc A 1200) 0.5 ...ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009 BÀI NỘI DUNG Xét phương trình (1): tanx - tany = y - x ... 8 Dự đoán un tan n 1 8 3 Từ giả thi? ??t: u2 0.5 0.5 0.5 Chứng minh công thức quy nạp Do u2009 tan 2008 tan 251 tan 3 8 3 2008 ta có... Do u2009 tan 2008 tan 251 tan 3 8 3 2008 ta có a + b = ; b 2009 2009 BĐT viết lại: eax by ae x be y eax (1 a ) y ae x (1 a)e y Gọi a y a(