Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2003 200441146

®Ị thi chän ®éi tun tham dù kú thi HSG cấp tỉnh năm học 2003-2004 Bài I : Tìm tất số nguyên dương n cho n + 26 n-11 lập phương số nguyên dương Bài II: Tính tích xyz biết : x  y  z   3 x  y  z  Bµi III: Tính giá trị biê u thức a a4  a   a2 BiÕt r»ng a lµ nghiƯm d­ ong cđa Ph­ ong trinh : 4x  x   Bµi IV:Cho tam gi¸c ABC ( cã gãc nhän) AM trung tuyến thuộc cạnh BC, đoạn thẳng AM lấy điểm K Hạ KH BC Trên KH lấy điểm N , hạ NP AB ; NQ AC (P; Q nằm AB AC ) Chøng minh r»ng : ®iĨm P ; K ; Q thẳng hàng điểm N gia điểm đường phân giác góc BAC KH DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm đề thi chọn đội tuyển toán lớp Bài I : Giả sử : n+26= a3 ; n-11 = b3 (a vµ b lµ số nguyên dương) Lấy (1) trừ cho (2) ta cã : a3 - b3 = 37 Hay (a-b)(a2 + ab + b2) =37 Chó ý a-b < a2 + ab + b2 ; Mặt khác a2 + ab + b2 >0 suy a – b > Do ®ã : a-b = vµ a2 + ab + b2 =37 Thay a= b + vµo biĨu thøc thø ta cã : (b+1)2 + (b+1)b + b2 = 37 rút gọn PT b2 + b 12 =0 Giải ta : b = 3; b=- ( loại) B= tìm n =38 Bài II: Ta cã : (x  y  z )  ( x  y  z )   x (1 - x)  y (1 - y)  z (1 - z)  x (1 - x)   NhËn xÐt : x  y  z  dã x  ; y  ; z  ;  y (1 - y)  z (1 - z)   x (1 - x)   vËy x (1 - x)  y (1 - y)  z (1 - z)   y (1 - y)  z (1 - z)   NÕu dång thêi x  ; y  ; z  ;  x  y  z   Mau thuÈn víi x  y  z   VËy Ýt nhÊt ph¶ i cã mét sè b»ng  xyz (Đ PCM) Bài III: DeThiMau.vn Đ iều kiÖn : a  a   a   a  a   a  a  1 (tho¶ m·n vi a  theo GT) NhËn xÐt PT 4x  x   lu«n cã nghiƯm kh¸c dÊu Ta cã : 4a  2a    a  Gäi biÓu thức cần tính A ta có : a  a4  a   a2 A a a a Thay giá trị cđa a vµo ta cã : 1- a 2  a4  - 2a  a (trục mẫu thức) - 2a a 1- a - 2a  a  8a  - a  a 1     A 8 2 2 A a  6a  - a  2 (a  3) - a a  - a     ( a d­ ng theo gi¶ thiÕt) 2 2 2 Bµi IV: Häc sinh ghi GT, kết luận vẽ hình: Ta chứng minh P ; K; Q thẳng hàng AN phân giác góc A Học sinh chứng minh tam giác NEJ cân N => góc NEJ = góc NJE Vì tứ giác NPEK nội tiếp => góc NPK = góc NEK Tương tự tứ giác NKQJ nội tiếp => góc NQK = góc = NJK kết luận : gãc NPK = gãc NQK ( v× cïng b»ng gãc NJK) Kết luận tam giác NPQ cân N => NP=NQ Vì NP NQ vuông góc với AB AC => N nằm tia phân giác góc BAC Ngược lại ta chứng minh N vừa thuộc tia phân giác góc A KH P ; K ; Q thẳng hàng: Qua K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC E J Chứng minh K trung điểm EJ Chứng minh tam giác NEJ cân N => EN = NJ DeThiMau.vn Chứng minh tứ giác APNQ néi tiÕp => gãc NQP = gãc NAP vµ gãc NPQ= gãc NAQ  gãc NPQ = gãc NQP (theo giả thiết AN phân giác góc BAC) Kết luận tam giác NPQ cân N => NP=NQ xét tam giác vuông PNE tam giác QNJ cã NP=NQ vµ NE=NJ => PNE =  QNJ  góc QJN = góc PEN Chứng minh tứ giác NKEP néi tiÕp => gãc PEN = gãc PKN KÕt luận góc PKN = góc QJN ( góc PEN) Kết luận tứ giác NKQJ nội tiếp => gãc PKN + gãc NKQ = 1800  P ; K; Q thẳng hàng DeThiMau.vn ...Hướng dẫn chấm đề thi chọn đội tuyển toán lớp Bài I : Giả sử : n+26= a3 ; n-11 = b3 (a b số nguyên d­¬ng) LÊy (1) trõ cho... - a a  - a     ( a d­ ng theo gi¶ thi? ?t) 2 2 2 Bµi IV: Häc sinh ghi GT, kÕt luận vẽ hình: Ta chứng minh P ; K; Q thẳng hàng AN phân giác góc A Học sinh chứng minh tam giác NEJ cân N => góc... Chứng minh tam giác NEJ cân N => EN = NJ DeThiMau.vn Chứng minh tứ giác APNQ nội tiếp => gãc NQP = gãc NAP vµ gãc NPQ= gãc NAQ  gãc NPQ = gãc NQP (theo gi¶ thi? ?t AN phân giác góc BAC) Kết luận tam