Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2019 (Vòng 1) Mơn thi: Tốn - THPT Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/8/2018 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c 1 1      a  b  c    b c a a b c Câu (4,0 điểm) Cho dãy số  xn  , n  * xác định x1  2; xn 1  n Tìm lim  i 1 xn2  xn  , n  * xn x 1 i Câu (5,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn  O  Gọi M , N trung ,  AD Gọi I , J trung điểm OM , ON Gọi K điểm đối xứng điểm cung nhỏ BC với O qua M a Chứng minh tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn b Gọi P, Q hình chiếu vng góc I lên AB, AC Chứng minh AK  PQ Câu (4,0 điểm) Cho đa thức P  x  có hệ số nguyên, bậc hệ số bậc thỏa mãn tồn đa thức Q  x  có hệ số nguyên cho P  x  Q  x  đa thức có tất hệ số 1 a Chứng minh đa thức P  x  có nghiệm thực x0 x0  b Tìm tất đa thức P  x  Câu (3,0 điểm) Trên mặt phẳng cho 2n  n   đường thẳng cho khơng có hai đường song song khơng có ba đường đồng quy Các đường thẳng chia mặt phẳng thành miền rời Trong miền đó, gọi F tập tất miền đa giác có diện tích hữu hạn Chứng minh tơ n đường thẳng số 2n đường thẳng cho màu xanh cho khơng có miền tập F có tất cạnh màu xanh - Hết Họ tên thí sinh: …………………………………………………… Số báo danh: ………… Chữ ký CBCT số 1:……………… Chữ ký CBCT số 2… ……… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2019 (Vòng 1) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TOÁN LỚP 12 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Chú ý: Những cách giải khác HDC mà cho điểm theo thang điểm định Câu (4đ) Nội dung Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: Điểm a b c 1 1      a  b  c    b c a a b c Lời giải a b c 1 1      a  b  c    b c a a b c 2 2 2 a b c a a b b c c a b  c            3      c a b b c a c a b b c a a b c a b  c a b c            3   b c a b c a c a b a b c Theo AM – GM có    (1) c a b 2 a a a a         1 b b b b 2 b c b c Tương tự         c a c a 2 (4đ) 2 a b c  a b c a b c  a b c                      (2) b c a b c a b c a  b c a Cộng (1) (2) ta có điều phải chứng minh Dấu xảy a  b  c x  xn  Cho dãy số  xn  , n  * xác định x1  2; xn 1  n , n  * xn n Tìm lim  i 1 xi  Lời giải x x  xn  x2  1 1   2n   Xét xn 1   n 1  n xn 1  xn  xn  xn  xn xn 1    xn  xn  xn 1  n  i 1 n  1  1     1    xi  i 1  xi  xi 1   x1  xn 1  xn 1  Quy nạp xn  1, n   xn 1  xn  Giả sử dãy  xn  xn   0, n   xn 1  xn , n  xn bị chặn suy dãy lim xn  a  a   xn  có giới hạn hữu hạn giả sử 1 1 Từ xn 1  xn2  xn  a2  a 1 chuyển qua giới hạn ta a   a  vơ lí xn a Do dãy số  xn  không bị chặn suy lim xn   , kết hợp với (1) ta n lim  i 1 (5đ) 1 1 x 1 i Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn  O  Gọi M , N trung ,  AD Gọi I , J trung điểm OM , ON Gọi K điểm cung nhỏ BC điểm đối xứng với O qua M B A P J K N O I M Q C D a Chứng minh tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn Dễ thấy OJ  ON ; OK  2OM Do ta OB.OD  OJ OK Theo tính chất phương tích ta có KBJD nội tiếp b Gọi P, Q hình chiếu vng góc I lên AB, AC Chứng minh AK  PQ Ta có OI OK  OA.2OA  OA2 nên OA tiếp tuyến  AIK      OAI   MAI  Do AKO , KAM AMO   AKO  MAO Do ta có OAI  đó, AI , AK liên hợp đẳng giác với góc BAC Tứ giác APIQ nội tiếp nhận AI đường kính Do AK , AI liên hợp góc nên AK đường cao tam giác APQ tức AK  PQ (4đ) 1 1 Cho đa thức P  x  có hệ số nguyên, bậc hệ số bậc thỏa mãn tồn đa thức Q  x  có hệ số nguyên cho P  x  Q  x  đa thức có tất hệ số 1 a Chứng minh đa thức P  x  có nghiệm thực x0 x0  Đồng hệ số tự đa thức P  x  Q  x  suy P  x   x2  ax  với a   Với a  hay a  1 , nghiệm có thỏa mãn Nếu a  P  x  có hai nghiệm x1 , x2 , nghiệm H  x   P  x  Q  x   x n  an1 x n 1    a0 ,  1 Hay H  xi   xin  an 1 xin 1    a0  0, i  1; 2 Vì xi  , suy 1  an 1 an 2 a a a a 1     0n  n 1  n 22    0n     n xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi   1  n   n   xi  xi    xi  xi  1 xi Suy xi  với i  1; 2 (*) b P  x   x2  ax  với a   Với a  hay a  1 , ta chọn Q  x   Vậy a  0, a  1 thỏa mãn Nếu a  P  x  có hai nghiệm x1 , x2 , với xi  với i  1; 2 Khi a  x1  x2  x1  x2  Với a  2 suy P  x   x2  x  P  x   x2  x  có nghiệm x1,2  1  khơng thỏa mãn (*) Với P  x   x  x    x  1 ta chọn Q  x   x  tương ứng thỏa mãn Với a  3 thử nghiệm, không thỏa mãn (*) Vậy đa thức P  x  thỏa mãn P  x   x  1; P  x   x  x  1, P  x   x  x  (3đ) Gọi L tập đường thẳng cho Chọn tập lớn B  L cho tơ đường B màu xanh khơng có miền F có tất cạnh màu xanh Đặt B  k , ta k  n toán giải Ta làm sau: Tô đường tập L \ B màu đỏ Một điểm gọi xanh giao hai đường thẳng màu xanh Thế có Ck2 điểm màu xanh Ta xét đường màu đỏ l Bởi tính lớn B nên phải có miền A  F có cạnh màu đỏ nằm l (vì ngược lại miền có hai cạnh đỏ có cạnh nằm l ta tơ l màu xanh thỏa mãn, điều vi phạm tính lớn B ) Vì A có ba cạnh, nên hai cạnh màu xanh cắt nhau, nên A có đỉnh xanh, gọi đỉnh xanh liên kết với đường đỏ l Vì điểm xanh thuộc bốn miền (giao hai đường xanh), liên kết với nhiều đường đỏ Vì số đường thẳng đỏ nhiều 4Ck2 Mặt khác , số đường thẳng màu đỏ 2n  k , ta 2n  k  2k  k  1 , suy 2n  2k  k  2k  k  n - Hết - 1 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA TỈNH THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2019 (Vòng 1) HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP 12 (Hướng dẫn chấm... đường thẳng cho Chọn tập lớn B  L cho tô đường B màu xanh khơng có miền F có tất cạnh màu xanh Đặt B  k , ta k  n toán giải Ta làm sau: Tô đường tập L B màu đỏ Một điểm gọi xanh giao hai đường... P  x   x2  x  có nghiệm x1,2  1  không thỏa mãn (*) Với P  x   x  x    x  1 ta chọn Q  x   x  tương ứng thỏa mãn Với a  3 thử nghiệm, không thỏa mãn (*) Vậy đa thức P 