(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng

(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ file word) Nguyên lý Carpets và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HÀ MẠNH CƯỜNG NGUYÊN LÝ CARPETS VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2021 ii Mnc lnc Danh sách hình vẽ iii M đau 1 Kien thfíc chuan bị 1.1 Nguyên lý Carpets 1.2 Ý nghĩa hình hoc nguyên lý Carpets Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải m t so tốn hình hoc phang 16 2.1 Ý tưởng chung ve vi c dụng nguyên lý Carpets vào giải tốn hình hoc phȁng .16 2.2 M®t so ví dụ minh hoa vi c dụng nguyên lý Carpets vào giải toán hình hoc phȁng 19 2.3 M®t so dụng nguyên lý Carpets thực tien 36 2.3.1 Cháng minh √2 so vô tỉ 36 2.3.2 Cháng minh √3 so vô tỉ 39 2.3.3 Đ c trưng b® ba Pythagoras 40 2.3.4 Các bat đȁng thác trung bình 42 2.3.5 Tőng l p phương 43 2.3.6 Chia đơi hình trịn âm dương 44 Ket lu n 49 Tài li u tham khảo 50 Danh sách hình vẽ 1.1 [DMR] = [BCR] 1.2 Nguyên lý Carpets 1.3 [AOD] = [BOC] 1.4 [CDP ] = [AMP ] + [BCM ] 1.5 [DPQR] = [AMP ] + [BMQN ] + [CNR] 1.6 Nguyên lý Carpets 1.7 Hai cách bo trí hai tam thảm m®t phịng hình vng 1.8 [AEF ] = [DFP ] + [BEN ] 10 1.9 [MIPJ] = [PAB] .11 1.10 Tính di n tích tá giác IMDN 12 1.11 [QBCR] = [AMQP ] + [PRND] 13 2.1 Di n tích phan màu xám bang di n tích phan màu đỏ 18 2.2 [AEF ] = [DFP ] + [BEN ] 19 2.3 [XY ZT ] = [AQX] + [BMY ] + [CNZ] + [DPT ] 20 2.4 Điem M nam ΔABC 21 2.5 [ABM ] + [BCM ] + [CAM ] = [ABC] 22 2.6 [PSQR] = [ARD] + [BSC] .22 2.7 Di n tích mien màu trang khơng đői 24 2.8 Ba đường chéo giao m®t điem 25 2.9 Di n tích phan màu hong bang phan màu vàng 26 2.10 Di n tích phan màu hong bang phan màu vàng 27 iii 2.11 Tőng di n tích hai nảa đường trịn bang m®t nảa di n tích hình trịn 27 2.12 Di n tích mien màu xám bang tőng di n tích hai mien màu vàng 29 2.13 [AEPF ] = [BCP ] .29 2.14 [AEDF ] = [BDH] 30 2.15 Di n tích tam giác màu đỏ bang di n tích tam giác màu xanh 31 2.16 Lưới điem cách đơn vị dài 32 2.17 [A] + [B] = [C] 33 2.18 Tìm di n tích tam giác màu đỏ 33 2.19 Tìm x 34 2.20 Di √ n tích màu xám bang di n tích màu xanh 35 2.21 so vô tỉ 37 √ 2.22 so vô tỉ 40 2.23 B® ba Pythagoras (a, b, c) 41 2.24 Các bat đȁng thác trung bình 42 2.25 Tőng l p phương 43 2.26 Bieu tượng âm dương quoc kỳ Hàn Quoc 44 2.27 Hình trịn âm dương 45 2.28 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 45 2.29 Chia đôi đường tròn âm dương bang cách 46 2.30 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 47 2.31 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 47 2.32 Chia đơi đường trịn âm dương bang cách 48 M đau Trong chương trình mơn Tốn trường phő thơng, hình hoc phȁng m®t nhǎng n®i dung quan ln xuat hi n đe thi THPT Quoc gia, tạp chí tốn hoc, blog tốn hoc, đe thi hoc sinh giỏi hay kì thi Olympic Hình hoc nói chung, tốn ve hình hoc phȁng nói riêng ln đánh giá m®t n®i dung tương đoi khó, thường địi hỏi hoc sinh hieu xác nhǎng moi quan h giǎa yeu to hình hoc, đoi tượng hình hoc xét mà đơi bang ngơn ngǎ khó dien đạt m®t cách đay đủ Do v y tốn ve hình hoc phȁng ln tốn thú vị thường phác tạp ln có sác hap dan, niem đam mê, thu hút yêu thích thay dạy tốn hoc sinh Trong khn khő lu n văn, xin dành quan tâm đen nguyên lý Carpets (tieng Vi t thường goi nguyên lý trải thảm toán liên quan đen nguyên lý Carpets) Tuy nhiên, cách thác khơng giảng dạy chương trình đại trà, chương trình nâng cao b c phő thơng Có the dien tả trực quan ve ngun lý Carpets sau: Cho hai tam thảm có tőng di n tích bang di n tích nen nhà Neu ta trải hai tam thảm phạm vi nen nhà di n tích phan nen nhà chưa trải thảm bang di n tích nen nhà phủ hai tam thảm Trong thời gian vàa qua, có nhieu hoc viên cao hoc lựa chon chủ đe liên quan đen hình hoc đe trien khai lu n văn thạc sĩ, chưa có hoc viên nghiên cáu ve nguyên lý Carpets toán liên quan đen nguyên lý Carpets (dành cho hoc sinh khá, giỏi) đe phát trien thành lu n văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cap Với mong muon tìm hieu ve nguyên lý Carpets đe dụng vào giải m®t so tốn liên quan, đe làm tài li u cho vi c giảng dạy thân làm tài li u tham khảo cho hoc sinh khá, giỏi tự hoc, v y chon chủ đe “Nguyên lý Carpets dụng” vào giải m®t so tốn liên quan đen ngun lý Carpets làm lu n văn thạc sĩ Mục đích lu n văn tìm hieu ngun lý Carpets, tìm hieu ý nghĩa hình hoc nguyên lý Carpets qua vi c sả dụng phan mem hình hoc đ®ng Sưu tam tốn hình hoc phȁng luy n thi đ®i tuyen hoc sinh giỏi, đe thi hoc sinh giỏi tốn có the dựa vào ngun lý Carpets đe giải quyet Trình bày lời giải, co gang đưa lời giải tường minh đoi với nhǎng toán, đe thi mà tài li u tham khảo có lời giải van tat ho c định hướng lời giải sở dựa vào nguyên lý Carpets đe giải quyet Ngoài phan mở đau, ket lu n tài li u tham khảo, đe tài gom chương, cụ the: Chương Kien thfíc chuan bị Trong chương chúng tơi trình bày ve ngun lý Carpets bő sung m®t so kien thác nâng cao đe làm rõ sở cho toán trình bày Chương lu n văn Chương Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải m t so tốn hình hoc phang Trong Chương 2, chúng tơi trình bày vi c dụng ngun lý Carpets kien thác liên quan đen nguyên lý Carpets đe giải m®t so tốn hình hoc phȁng dành cho luy n thi đ®i tuyen hoc sinh giỏi Trong suot q trình làm lu n văn, tơi nh n hướng dan giúp t n tình PGS TS Trịnh Thanh Hải Tôi xin bày tỏ lòng biet ơn sâu sac đen thay! Tác giả xin trân cảm ơn Trường Đại hoc Khoa hoc, Đại hoc Thái Ngun, thay giáo, phịng chác trường tạo đieu ki n tot nhat cho tơi q trình hoc t p trường Tôi xin gải lời cảm ơn chân thành đen q thay giảng dạy lớp Cao hoc Tốn khóa 13 truyen thụ cho nhieu kien thác kinh nghi m nghiên cáu khoa hoc quý báu Cuoi tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân đong nghi p đ®ng viên giúp tác giả suot trình hoc t p Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2021 Hoc viên Hà Mạnh Cường Chương Kien thfíc chuan bị Trong chương chúng tơi sě trình bày ve ngun lý Carpets bő sung m®t so kien thác nâng cao đe làm rõ sở cho tốn trình bày Chương lu n văn 1.1 Nguyên lý Carpets Trong lu n văn ta quy ước ký hi u di n tích hình phȁng A [A] Nguyên lý Carpets tőng qt hóa tà tốn đơn giản sau Bài tốn 1.1.1 ([5]) Cho hình vng ABCD, lay M m®t điem cạnh AB Đ t R giao điem MC BD Cháng minh di n tích tam giác DMR bang di n tích tam giác BCR Hình 1.1: [DMR] = [BCR] Giải Hai tam giác BMD BMC có chung đáy BM có chung chieu cao (AD = BC) Do đó, chúng có di n tích bang Hai tam giác có giao bang tam giác BMR Do đó, xóa phan chung hai phan cịn lại có di n tích bang nhau: [DMR] = [BCR] Có the dien tả trực quan ve nguyên lý Carpets sau: Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Carpets 1, [5]) Neu hai tam thảm có di n tích bang đè lên phan khơng đè lên hai tam thảm có di n tích bang ngược lại Hình 1.2: Ngun lý Carpets Tà nguyên lý Carpets, ta có the giải hàng loạt toán thú vị sau hình thang Bài tốn 1.1.3 ([5]) Cho hình thang ABCD Cháng minh di n tích hai tam giác tạo hai đường chéo hình thang ke với hai cạnh bên bang Hình 1.3: [AOD] = [BOC] Chúng minh Goi hình thang ABCD, O giao điem hai đường chéo Tam giác ACD tam giác BCD có di n tích bang chúng có chung đáy CD đường cao bang đường cao hình thang Tam giác DOC phan chung hai tam giác ACD BCD Theo nguyên lý Carpets, phan không giao tam giác ACD tam giác BCD bang Hay tam giác AOD BOC có di n tích bang (xem Hình 1.3) Bài tốn 1.1.4 ([5]) Cho hình vng ABCD, M trung điem AB Goi P giao điem AC với MD Cháng minh di n tích tam giác CDP bang tőng di n tích tam giác AMP BCM Hình 1.4: [CDP ] = [AMP ] + [BCM ] Chúng minh Hai tam giác ABC CDM có di n tích bang m®t nảa di n tích hình vng nên có di n tích bang M t khác, phan chung hai tam giác bang tam giác MPC Do theo ngun lý Carpets, phan khơng giao hai tam giác có di n tích bang Tác [CDP ] = [AMP ] + [BCM ] Nh n xét 1.1.5 Trong Ví dụ 1.1.4, theo nguyên lý Carpets ta có [ADP ] = [CMP ] 2.3 M t so fíng dnng nguyên lý Carpets thfic tien 2.3.1 Chfíng minh √2 so vơ tỉ Hi n có rat nhieu cách đe cháng minh √2 so vơ tỉ Trong [5] trình bày 29 cách cháng minh khác M®t so có dùng nguyên lý trải thảm Sau đây, lu n văn trình bày m®t so cách cháng minh đe so sánh giǎa cách √ m = , (m, n) = hay n n mau so nhỏ nhat có tính chat Ta có m > n n > m − n M t khác √ 2n − √ √ √ − 2− m m Cách Giả sả phản cháng rang = Hay √2 = m− n 2n − m n m n − = (2 − =√ 2) ( + 1) = 2−1 Nhưng đieu mâu thuan với n mau so nhỏ nhat m√− n √ có tính chat = m Cháng tỏ so vô tỉ n √ m Cách Giả sả phản cháng rang = , (m, n) = hay n n mau so nhỏ nhat có tính chat Ta có m > n n > m − n M t khác, tà 2n2 = m2 suy 4n2 − 4mn + m2 = 2n2 − 4mn + 2m2 ⇔ (2n − m)2 = 2(m − n) 2 ⇔ = (2n − m) 2n − ⇔ √2 = m m − n (m − n)2 m Đieu mâu thuan với n mau so nhỏ nhat có tính chat √2 = Cháng tỏ √2 so vô tỉ n √ m Cách Giả sả phản cháng rang = , m, n so nguyên n dương thỏa mãn (m, n) = hay phân so toi giảm Vì m2 = 2n2 nên ton hai hình vng với cạnh ngun m n cho di n tích hình vng cạnh m bang hai lan di n tích hình vng cạnh n Và m, n so nguyên nhỏ nhat có tính chat Xem Hình 2.21(a) √ Hình 2.21: so vơ tỉ Đ t hai hình vng nhỏ vào hình vng lớn Hình 2.21(b) Đ® dài cạnh hình vng màu trang m − n < n Đ® dài cạnh hình vng màu xám 2n − m < m Các hình vng có đ® dài cạnh ngun hi u so nguyên so nguyên Theo nguyên lý Carpets, di n tích hình vng màu xám bang tőng di n tích hai hình vng màu trang hay 2(m − n)2 = (2n − m)2 ⇔ √ 2= 2n − m m− n √ Mau thuan với m n so nguyên nhỏ nhat có tính chat = m/n Cháng tỏ √2 so vô tỉ Edwin Halfar (Am Math Monthly, Vol 62, No (1955), p 437) trình bày m®t cách cháng minh dựa ý tưởng tương tự Cách sau √ n Cách Giả sả = , n, m nguyên dương Khi n > m m ton so nguyên p > cho n = m + p 2m2 = n2 = (m + p)2 = m2 + 2mp + p2 ⇒ m2 = p2 + 2mp Đieu kéo theo m > p Do đó, ton so nguyên a > 0, a < m cho m = p + a, n = m + p = p + a + p = 2p + a Tà 2m2 = n2 suy 2(p + a)2 = (2p + a)2 ⇔ 2p + 4pa + 2a2 = 4p2 + 4pa + a2 ⇔ a = 2p Do đó, ta có the l p lại tồn b® q trình vơ hạn lan n>m>p>a>··· , moi t p so nguyên dương khác rong có phan tả nhỏ nhat nên q trình khơng the l p lại vơ hạn lan, mâu thuan cháng tỏ √2 so vô tỉ Cháng minh Edwin Halfar khȁng định rang cho hai hình vng với cạnh ngun cho m®t hình có di n tích bang hai lan di n tích hình cịn lại, ton m®t c p hình vng nhỏ có tính chat Ta có the áp dụng nguyên lý Carpets minh hoa cho cháng minh Edwin Halfar sau Cách Cho hai hình vng với cạnh ngun, m®t hình có di n tích bang hai hình cịn lại Di chuyen hai hình vng nhỏ vào hai góc đoi di n hình vng lớn Phan giao giǎa hình vng nhỏ m®t hình vng (hình màu đỏ) giǎa hình vng lớn Hình vng lớn trà hợp hai hình vng nhỏ tạo thành hai hình vng nhỏ (màu xanh) hai góc hình vng lớn Theo nguyên lý Carpets 2, ta có di n tích hình vng màu đỏ bang tőng di n tích hai hình vng màu xanh Hien nhiên hình vng có cạnh ngun hình vng ban đau có cạnh ngun, hi u so nguyên so nguyên Ta có the l p lại tồn b® q trình vơ hạn lan Nhưng moi t p so nguyên dương khác rong có phan tả nhỏ nhat nên q trình khơng the l p lại vô hạn lan, mâu thuan cháng tỏ khơng ton hai hình vng với cạnh ngun, m®t hình có di n tích bang hai lan hình cịn lại Hay tương đương √2 so vô tỉ 2.3.2 Chfíng minh √3 so vơ tỉ Tương tự, ta có the cháng minh √3 so vơ tỉ bang cách sả dụng tam giác đeu chong lên Ký hi u Ts = s2√3/4 di n tích tam giác đeu có đ® dài cạnh s Giả sả phản 2cháng 2rang √3 so hǎu tỉ với √3 = m/n phân so toi giản Khi m = 3n , hay tương đương Tm = 3Tn Ta có m > n > √ Hình 2.22: so vơ tỉ Chieu dài cạnh tam giác nhỏ màu xám đ m Hình 2.22 2n − m Khi đó, chieu dài cạnh tam giác màu trang giǎa n − 2(2n − m) = 2m − 3n Vì Tm = 3Tn nên theo nguyên lý Carpets, phan chong lên ba tam thảm bang phan sàn hay di n tích tam giác nhỏ màu trang bang ba lan di n tích tam giác nhỏ màu xám đ m Suy T2m−3n = 3T2n−m, hay tương đương 2 (2m − 3n) = 3(2n − m) Do √3 = (2m − 3n)/(2n − m), mau thuan với √3 = m/n phân so toi giản tam giác nhỏ màu trang nhỏ tam giác cạnh m (0 < 2m −3n < m) tam giác nhỏ màu xám nhỏ tam giác cạnh n √ (0 < 2n − m < n) Suy so vô tỉ 2.3.3 Đ c trưng b ba Pythagoras Định nghĩa 2.3.1 ([2]) B® ba so nguyên dương (a, b, c) goi b® ba Pythagoras neu a2 + b2 = c2 Nó goi ngun thủy neu chúng khơng có nhân tả chung Ví dụ (a, b, c) = (3, 4, 5) ho c (5, 12, 13) b® ba Pythagoras nguyên thủy, (a, b, c) = (6, 8, 10) b® ba Pythagoras khơng ngun thủy H thác Pythagoras a2 +b2 = c2 cho tam giác vuông với cạnh góc vng a, b cạnh huyen c gợi ý ta xét hai tam thảm hình vng với di n tích a2 b2 nam phịng di n tích c2 minh hoa Hình 2.23 Theo nguyên lý Carpets, di n tích (a + b − c)2 hình vng màu xám giǎa bang tőng 2(c − a)(c − b) di n tích hai hình chǎ nh t màu trang Hình 2.23: B® ba Pythagoras (a, b, c) Đ t n = a + b − c, p = c − a q = c − b Vì n, p, q so nguyên a2 + b2 = c2 n2 = a + b − c = 2(c − a)(c − b) = 2pq, ta thu đ c trưng sau [2]: ton tương úng 1−1 giũa b® ba Pythagoras (a, b, c) phép phân tích thùa so so phương chȁn dạng n2 = 2pq Ngồi ra, ta có a = n + q, b = n + p, c = n + p + q nên b® ba (a, b, c) nguyên thủy p q nguyên to Ví dụ: • 62 = · · 18 = 2pq tương với b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (7, 24, 25); • 62 = · · = 2pq tương với b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (8, 15, 17); • 62 = · · = 2pq tương b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (9, 12, 15) 2.3.4 Các bat thfíc trung bình Ta có the cháng minh m®t so bat đȁng thác trung bình dựa vào hình vuông chong lên Đe làm đieu này, ta nới lỏng ràng bu®c rang tőng di n tích hình vng bang di n tích hình vng cháa chúng Xem Hình 2.24 Hình 2.24: Các bat đȁng thác trung bình Khi x, y > 0, hai hình vng chong lên trà x = y Do ta thu bat đȁng thác 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 √ Đ t x = a y = √b (2.3), ta thu √ √ √ 2(a + b) ≥ ( a + b)2 = a + ab + b (2.3) Tà suy bat đȁng thác trung bình c®ng - trung bình nhân: với moi a, b dương √ a+ b ≥ ab Đ t x = a/2 y = b/2 (2.3), ta thu a2 + b2 ≥ a+b 2 Lay b c hai hai ve ta thu bat đȁng thác trung bình c®ng - trung bình bình phương: với moi a, b dương s a + b2 a+ b ≥ 2 √ √ Đ t x = 1/ a y = 1/ b (2.3), ta thu ⇔ + 1 a b ≥ +√ +√ a+ a ab b b √ ≥ ab ab Lay nghịch đảo roi nhân hai ve với ta thu bat đȁng thác trung bình đieu hịa - trung bình nhân: với moi a, b dương √ 2.3.5 2ab ab ≥ a + b Tong l p phương Golomb (1965) sả dụng hình vng chong lên đe cháng minh cơng thác tőng l p phương n so tự nhiên đau tiên 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + + · · · + n)2 Trước tiên, ta bieu dien k3 thành k hình vng di n tích k2 với ≤ k ≤ n, sau xep hình vng hình vng lớn với cạnh có đ® dài + + · · · + n Hình 2.25 Hình 2.25: Tőng l p phương Khi k lẻ hình vng cạnh k (màu xám) khơng chong lên Khi k chȁn, có hai hình vng cạnh k (gạch chéo) đè lên Nhưng theo nguyên lý Carpets, di n tích đè lên bang di n tích khơng bị phủ hình vng gạch chéo (phan màu trang) Do đó, tőng di n tích hình vng cạnh k, ≤ k ≤ n bang di n tích hình vng cạnh + + · · · + n 2.3.6 Chia đôi hình trịn âm dương Quoc kỳ Hàn Quoc hình chǎ nh t có nen trang, giǎa có hình trịn âm dương, màu đỏ màu xanh dương dưới, bon góc có quẻ bát quái Hình 2.26: Bieu tượng âm dương quoc kỳ Hàn Quoc Hình trịn âm dương đại di n cho đau tranh, hợp nhat ton hai m t đoi l p (có the nóng/lạnh, nam/nǎ, bau trời/trái đat, m t trăng/m t trời, v.v.) Trong hình trịn, phan Âm (khía cạnh tiêu cực, tieng Hán Yin) hien thị bang màu đên, phan Dương (khía cạnh tích cực, tieng Hán Yang) hien thị bang màu trang Hình trịn âm dương gom có hai mien hình trịn cách hai hình bán nguy t bang nảa bán kính hình trịn lớn Hình 2.27: Hình trịn âm dương Nhà giải đo női tieng người Anh H E Dudeney đ t tốn chia đơi hình trịn bang cơng cụ hình hoc Euclid thơng thường dùng thước thȁng compa Ông đưa hai cách giải: cách Sau đó, M Gardner in lại tốn m®t tờ báo khoa hoc My hai quyen sách ông (New Mathematical Diversions, The Colossal Book of Short Puzzles) Đe trả lời cho câu hỏi báo, m®t so đ®c giả đưa cháng minh khác đơn giản cách Dudeney Cách Dựng hai nảa đường trịn bang nảa bán kính hình trịn lớn xoay 90◦ so với hai nảa đường tròn âm dương Do tính đoi xáng, đường trịn lớn chia thành bon phan bang Cụ the hơn, phan âm màu đen chia thành hai phan bang nhau, phan dương màu trang chia thành hai phan bang V y đường nét đát chia đường tròn âm dương thành phan bang Hình 2.28: Chia đơi đường trịn âm dương bang cách Cách Goi R bán kính hình trịn lớn Khi nảa hình trịn nhỏ có bán kính R/2 V y phan âm (màu đen) bên đường kính nam ngang hình trịn lớn nảa đường trịn có di n tích πR2/8 phía nảa hình trịn âm này, dựng hình quạt ke với đường kính hình trịn lớn bang đường thȁng hợp m®t góc 45◦ tâm Di n tích hình quạt πR2/8 V y hai phan có có tőng di n tích πR2/4, bang m®t nảa di n tích phan âm Suy đường thȁng hợp m®t góc 45 ◦ với đường kính nam ngang chia đơi đường trịn âm dương Hình 2.29: Chia đơi đường trịn âm dương bang cách Cách Goi đường tròn lớn T Dựng đường trịn bán kính R/√2, goi hình T1 Di n tích đường trịn [T1] = πR2/2 Goi phan hình khun T2, di n tích hình vành khuyên [T2] = πR2 − πR2/2 = πR2/2 Goi phan âm S1, phan dương S2 V y ta có hai cách phân hoạch hình trịn lớn: T = S1 ∪ S2 = T1 ∪ T2, [S1] = πR2/2 = [T2] Theo nguyên lý Carpets 3, ta suy [S1 ∩ T1] = [S2 ∩ T2] Ket hợp tính đoi xáng tâm với tâm đường lớn, lay phản xạ mien S2 ∩ T2, ta suy di n tích phan âm hình vành khun bang di n tích phan âm hình trịn T1 Cháng tỏ đường trịn T1 chia đơi hình trịn âm dương Hình 2.30: Chia đơi đường trịn âm dương bang cách Cách Lay phản xạ qua đường kính nam ngang đường trịn lớn tạo m®t c p âm dương thá hai Khi đó, biên đường tròn âm dương thá hai đường chia đơi can tìm Đây h đơn giản nguyên lý Carpets cách Hình 2.31: Chia đơi đường trịn âm dương bang cách Cách Đ t x = R(√5 − 1)/4 Khi đường nét đát gom hai nảa đường trịn có bán kính x hai nảa đường trịn bán kính x + R/2 De cháng minh với giá trị x này, đường nét đát chia đường tròn thành hai nảa di n tích bang Phan cịn lại cháng minh h nguyên lý Carpets cách Hình 2.32: Chia đơi đường trịn âm dương bang cách Ket lu n Lu n văn với đe tài “Nguyên lý Carpets dụng” đạt ket sau: Trình bày ba ngun lý Carpets, tính chat m®t so ví dụ minh hoa cho nguyên lý Áp dụng nguyên lý giải m®t so tốn ve cháng minh di n tích hình hoc m®t so dạng tốn hình hoc khác (cháng minh hi u so di n tích hang so, cháng minh ba đường chéo đong quy, tính di n tích) √ √ Áp dụng nguyên lý Carpets cháng minh 2, so vô tỉ, đưa đ c trưng b® ba Pythagoras, cháng minh m®t so bat đȁng thác trung bình, cháng minh công thác tőng l p phương giải tốn chia đơi đường trịn âm dương Hướng mở lu n văn nghiên cáu vi c dụng nguyên lý Carpets với nhieu hai tam thảm Tài li u tham khảo Tieng Vi t [1] Phan Cung Đác (chủ biên), Các giảng ve hình hoc phȁng, NXB Đại hoc Quoc gia Hà N®i, 2006 Tieng Anh [2] C Alsina, R B Nelsen (2016), Icons of Mathematics: An exploration of Twenty Key Images, American Mathematical Society Press [3] T Andreescu, B Enescu (2011), Mathematical Olympiad Treasures, Springer [4] J Konhauser, D Velleman, S Wagon (1966), Which Way Did the Bicycle Go?, The Mathematical Assoication of America [5] https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ CarpetsInSquare.shtml [6] https://www.cheenta.com/carpet-strategy-in-geometry-watch -and-learn/ [7] http://themathguy.blogspot.com/2015/09/ still-in-love-after-all-these-years.html ... chủ đe ? ?Nguyên lý Carpets dụng? ?? vào giải m®t so toán liên quan đen nguyên lý Carpets làm lu n văn thạc sĩ Mục đích lu n văn tìm hieu nguyên lý Carpets, tìm hieu ý nghĩa hình hoc nguyên lý Carpets. .. dụng nguyên lý trải thảm ta có [QBCR] = [AMQP ] + [PRND] Định lý tiep theo dạng tőng quát nhat nguyên lý Carpets, ket mở r®ng nguyên lý Carpets 1, nguyên lý Carpets Định lý 1.2.8 (Nguyên lý Carpets. .. 1.1 Nguyên lý Carpets 1.2 Ý nghĩa hình hoc nguyên lý Carpets Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải m t so tốn hình hoc phang 16 2.1 Ý tưởng chung ve vi c dụng ngun lý Carpets vào giải