2 Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải mt so bài toán hình
2.23 B® ba Pythagoras (a, b, c)
Đ t n = a + b − c, p = c − a và q = c − b. Vì n, p, q là các so nguyên và a2 + b2 = c2 khi và chỉ khi
n2 = a + b − c = 2(c − a)(c − b) = 2pq,
ta thu được đ c trưng sau [2]: ton tại tương úng 1−1 giũa b® ba Pythagoras
(a, b, c) và phép phân tích thùa so của so chính phương chȁn dạng n2 = 2pq.
Ngoài ra, ta có a = n + q, b = n + p, c = n + p + q nên b® ba (a, b, c) nguyên thủy khi và chỉ khi p và q nguyên to cùng nhau. Ví dụ:
• 62 = 2 · 1 · 18 = 2pq tương áng với b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (7, 24, 25); • 62 = 2 · 2 · 9 = 2pq tương áng với b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (8, 15, 17); • 62 = 2 · 3 · 6 = 2pq tương áng b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (9, 12, 15).
2.3.4 Các bat đang thfíc trung bình
Ta có the cháng minh được m®t so bat đȁng thác trung bình dựa vào các hình vuông chong lên nhau. Đe làm đieu này, ta nới lỏng ràng bu®c rang tőng di n tích của các hình vuông bang di n tích của hình vuông cháa chúng. Xem Hình 2.24.
Hình 2.24: Các bat đȁng thác trung bình
Khi x, y > 0, hai hình vuông chong lên nhau trà khi x = y. Do đó ta
thu được bat đȁng thác
2(x2 + y2) ≥ (x + y)2. (2.3) Đ t x = √a và y = √b trong (2.3), ta thu được
2(a + b) ≥ (√a + √b)2 = a + 2√ab + b.
Tà đó suy ra bat đȁng thác trung bình c®ng - trung bình nhân: với moi
a, b dương
a +
b
2
≥ √ab.
Đ t x = a/2 và y = b/2 trong (2.3), ta thu được
a2 + b2
2 ≥ a + b 2.
Lay căn b c hai hai ve ta thu được bat đȁng thác trung bình c®ng - trung
bình bình phương: với moi a, b dương
a2 + b2 2 ≥ a + b . 2 2 s
Đ t x = 1/√a và y = 1/√b trong (2.3), ta thu được 1 1 1 2 1 2 + a b a + b ≥ a + √ab + √b 2 ⇔ ab ≥ √ab.
Lay nghịch đảo roi nhân hai ve với 2 ta thu được bat đȁng thác trung bình
đieu hòa - trung bình nhân: với moi a, b dương
√
ab a 2 ab + b.
2.3.5 Tong các l p phương
Golomb (1965) sả dụng các hình vuông chong lên nhau đe cháng minh công thác tőng các l p phương của n so tự nhiên đau tiên
13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2.
Trước tiên, ta bieu dien k3 thành k hình vuông di n tích k2 với 1 ≤ k ≤ n, sau đó xep các hình vuông này trong hình vuông lớn với cạnh có đ® dài 1 + 2 + · · · + n như trong Hình 2.25.
Hình 2.25: Tőng các l p phương
Khi k lẻ thì các hình vuông cạnh k (màu xám) không chong lên nhau. Khi k chȁn, có hai hình vuông cạnh k (gạch chéo) đè lên nhau. Nhưng theo nguyên lý Carpets, di n tích đè lên nhau bang di n tích không bị phủ bởi các hình vuông gạch chéo (phan màu trang). Do đó, tőng di n tích của các hình vuông cạnh k, 1 ≤ k ≤ n bang di n tích của hình vuông cạnh
1 + 2 + · · · + n.
2.3.6 Chia đôi hình tròn âm dương
Quoc kỳ của Hàn Quoc là hình chǎ nh t có nen trang, ở giǎa có hình tròn âm dương, màu đỏ ở trên và màu xanh dương ở dưới, bon góc có 4 quẻ bát quái.