2 Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải mt so bài toán hình
2.16 Lưới điem cách nhau 1 đơn vị dài
Giải. Đ t các mien A, B, C, D, E như trong Hình 2.17. Khi đó, theo nguyên
lý Carpets, ta có
[A] + [B] = [C] ⇒ [B] + 1 = [C].
Vì hai mien tam giác B và C đong dạng nên ta có [B] = đȁng thác trên suy ra [C] 4 . Ket hợp với Lại có [B] = 1, [C] = 4. 3 3 2 Suy ra [D] + [B] = 1 ⇒ [D] = 1 − [B] = 3 . 4 2 2 [E] = [C] − [D] = 3 − 3 = 3 . Hình 2.17: [A] + [B] = [C]
Bài toán 2.2.13. Cho hình bình hành ABCD có di n tích của các mien
màu vàng là 8, 10, 72 và 79. Tìm di n tích của tam giác màu đỏ.
Giải. Đ t di n tích can tìm là x. Goi M, N, E là các điem như hình vě,
đ t a, b là di n tích của hai mien tương áng như trong hình bên dưới.
Hình 2.19: Tìm x
Ta có di n tích của tam giác AED (tam thảm thá nhat) bang m®t nảa di n tích hình bình hành ABCD. Tương tự, tőng di n tích của hai tam giác ADM và MNB (tam thảm thá hai) bang m®t nảa di n tích hình bình hành ABCD. Do đó, hai tam thảm có di n tích bang nhau. Di n tích đè lên nhau giǎa hai tam thảm là a + b. Di n tích không đè lên nhau của tam thảm thá nhat là 79 + 10. Di n tích không đè lên nhau của tam thảm thá hai là x + 72 + 8. Theo nguyên lý trải thảm suy ra
x + 72 + 8 = 79 + 10 ⇔ x = 9.
Bài toán 2.2.14 ([4]). Cho các hình chǎ nh t ABCD, EFGH và IFJH
như trong Hình 2.20. Cháng minh rang tőng di n tích màu xám bang di n tích màu xanh. Cháng minh rang tőng di n tích của hình chǎ nh t
EFGH và IFJH bang di n tích hình chǎ nh t ABCD.
Giải. Vì hai đường chéo của m®t hình chǎ nh t giao tại trung điem chung
và vì hai hình chǎ nh t EFGH và IFJH có chung đường chéo FH nên các đường chéo của chúng bang nhau và có tâm trùng nhau. Goi tâm này là O. Khi đó O cũng là tâm của hình chǎ nh t ABCD.
Hình 2.20: Di n tích màu xám bang di n tích màu xanh
Ta có EG = IJ và cả hai đường chéo đeu đi qua tâm O. Do đó, tam giác GOI là tam giác cân và CG = IB. Do đó BCGI là m®t hình chǎ nh t và AIGD cũng là m®t hình chǎ nh t.
Hien nhiên, [IFG] = [BCGI]/2 và [IGH] = [AIGD]/2. Suy ra di n tích của tá giác IFGH bang m®t nảa di n tích của ABCD. Tương tự ta cũng có di n tích của tá giác IFJH bang m®t nảa di n tích của
ABCD:
[ABCD]
[IFGH] = [EFJH] = ⇒ [IFGH] + [EFJH] = [ABCD].
2
V y hai tam thảm IFGH và EFJH có tőng di n tích bang di n tích của căn phòng ABCD. Do đó phan phủ lên nhau của hai tam thảm (phan màu xanh) có di n tích bang phan không được phủ của sàn nhà (phan màu xám).
Ngoài ra, ta có [EFGH] + [IFJH] = tőng di n tích của bon tam giác màu trang c®ng hai lan di n tích tá giác màu xanh nên cũng bang [IFGH] + [EFJH] và bang di n tích của hình chǎ nh t ABCD.
2.3 M t so fíng dnng của nguyên lý Carpets trong thfic tien
2.3.1 Chfíng minh √2 là so vô tỉ
Hi n này có rat nhieu cách đe cháng minh √2 là so vô tỉ. Trong [5] trình bày 29 cách cháng minh khác nhau. M®t trong so đó có dùng nguyên lý trải thảm. Sau đây, lu n văn trình bày m®t so cách cháng minh cơ bản đe so sánh giǎa các cách.
Cách 1. Giả sả phản cháng rang √2 = m, trong đó (m, n) = 1 hay n là
n
mau so nhỏ nhat có tính chat trên. Ta có m > n và n > m − n. M t khác 2 n − m 2 − m 2 − √ 2 √ √ √ = m n = √ = (2 − 2)( 2 + 1) = 2. m − n n − 1 2 − 1
Hay √2 = 2n − m . Nhưng đieu này mâu thuan với n là mau so nhỏ nhat
m√− n
m √
có tính chat 2 = n . Cháng tỏ 2 là so vô tỉ.
Cách 2. Giả sả phản cháng rang √2 = m, trong đó (m, n) = 1 hay n là
n
mau so nhỏ nhat có tính chat trên. Ta có m > n và n > m − n. M t khác, tà 2n2 = m2 suy ra 4n2 − 4mn + m2 = 2n2 − 4mn + 2m2 ⇔ (2n − m) = 2(m − n) ⇔ 2 = (2n m)2 (m − n)2 ⇔ √2 = 2 mn − . m − n
Đieu này mâu thuan với n là mau so nhỏ nhat có tính chat √2 = m.
Cháng tỏ √2 là so vô tỉ. n
Cách 3. Giả sả phản cháng rang √2 = m, trong đó m, n là so nguyên
n
dương thỏa mãn (m, n) = 1 hay phân so là toi giảm. Vì m2 = 2n2 nên ton tại hai hình vuông với cạnh nguyên m và n sao cho di n tích hình
−
vuông cạnh m bang hai lan di n tích hình vuông cạnh n. Và m, n là các so nguyên nhỏ nhat có tính chat này. Xem Hình 2.21(a).
Hình 2.21: √2 là so vô tỉ
Đ t hai hình vuông nhỏ vào trong hình vuông lớn như trong Hình 2.21(b). Đ® dài cạnh của hình vuông màu trang là m − n < n. Đ® dài cạnh của hình vuông màu xám là 2n − m < m. Các hình vuông này cũng có đ® dài cạnh nguyên bởi vì hi u các so nguyên là so nguyên. Theo nguyên lý Carpets, di n tích của hình vuông màu xám bang tőng di n tích của hai hình vuông màu trang hay
2(m − n)2 = (2n − m)2 ⇔ √2 = 2n − m .
m − n
Mau thuan với m và n là các so nguyên nhỏ nhat có tính chat Cháng tỏ √2 là so vô tỉ.
√
2 = m/n. Edwin Halfar (Am Math Monthly, Vol. 62, No. 6 (1955), p. 437) đã trình bày m®t cách cháng minh dựa trên ý tưởng tương tự Cách 1 như sau.
Cách 4. Giả sả √2 = n , trong đó n, m nguyên dương. Khi đó n > m
m
và ton tại so nguyên p > 0 sao cho n = m + p và
2m2 = n2 = (m + p)2 = m2 + 2mp + p2 ⇒ m2 = p2 + 2mp.
Đieu này kéo theo m > p. Do đó, ton tại so nguyên a > 0, a < m sao cho
m = p + a, và n = m + p = p + a + p = 2p + a.
Tà 2m2 = n2 suy ra
⇔ 2p 2 + 4pa + 2a2 2 = 4p2 + 4pa + a2 ⇔ a = 2p .
Do đó, ta có the l p lại toàn b® quá trình này vô hạn lan và được
n > m > p > a > · · · ,
nhưng vì moi t p so nguyên dương khác rong có phan tả nhỏ nhat nênquá trình trên không the l p lại vô hạn lan, mâu thuan này cháng tỏ √2 là so vô tỉ.
Cháng minh của Edwin Halfar khȁng định rang cho hai hình vuông với các cạnh nguyên sao cho m®t hình có di n tích bang hai lan di n tích hình còn lại, khi đó ton tại m®t c p hình vuông nhỏ hơn có cùng tính chat như trên. Ta có the áp dụng nguyên lý Carpets minh hoa cho cháng minh của Edwin Halfar như sau
Cách 5. Cho hai hình vuông với cạnh nguyên, m®t hình có di n tích
bang hai hình còn lại.
Di chuyen hai hình vuông nhỏ
vào hai góc đoi di n của hình vuông lớn hơn
Phan giao nhau giǎa hình vuông nhỏ là m®t hình vuông (hình màu đỏ) ở giǎa hình vuông lớn. Hình vuông lớn trà đi hợp của hai hình vuông nhỏ tạo thành hai hình vuông nhỏ (màu xanh) ở hai góc của hình vuông lớn. Theo nguyên lý Carpets 2, ta có di n tích của hình vuông màu đỏ bang tőng di n tích của hai hình vuông màu xanh.
Hien nhiên các hình vuông này có cạnh nguyên bởi vì các hình vuông ban đau có cạnh nguyên, hi u các so nguyên là so nguyên. Ta có the l p lại toàn b® quá trình này vô hạn lan. Nhưng vì moi t p so nguyên dương khác rong có phan tả nhỏ nhat nên quá trình trên không the l p lại vô hạn lan, mâu thuan này cháng tỏ không ton tại hai hình vuông với cạnh nguyên, m®t hình có di n tích bang hai lan hình còn lại. Hay tương đương √2 là so vô tỉ.
2.3.2 Chfíng minh √3 là so vô tỉ
Tương tự, ta có the cháng minh √3 là so vô tỉ bang cách sả dụng các tam giác đeu chong lên nhau. Ký hi u Ts = s2√3/4 là di n tích của tam giác đeu có đ® dài cạnh là s. Giả sả phản cháng rang √3 là so hǎu tỉ với √3 = m/n là phân so toi giản. Khi đó m2 = 3n2, hay tương đương
Hình 2.22: √3 là so vô tỉ
Chieu dài cạnh của tam giác nhỏ màu xám đ m trong Hình 2.22 là 2n − m. Khi đó, chieu dài cạnh của tam giác màu trang ở giǎa là
n − 2(2n − m) = 2m − 3n.
Vì Tm = 3Tn nên theo nguyên lý Carpets, phan chong lên nhau của ba tam thảm bang phan trong của sàn hay di n tích của tam giác nhỏ màu trang bang ba lan di n tích tam giác nhỏ màu xám đ m. Suy ra
T2m−3n = 3T2n−m,
hay tương đương
2 2
(2m − 3n) = 3(2n − m) .
Do đó √3 = (2m − 3n)/(2n − m), mau thuan với √3 = m/n là phân so toi giản bởi vì tam giác nhỏ màu trang nhỏ hơn tam giác cạnh m
(0 < 2m 3n < m) và tam giác nhỏ màu xám nhỏ hơn tam giác cạnh n
(0 < 2n − m < n). Suy ra √3 là so vô tỉ.
2.3.3 Đ c trưng của b ba Pythagoras
Định nghĩa 2.3.1 ([2]). B® ba so nguyên dương (a, b, c) được goi là b® ba
Pythagoras neu a2 + b2 = c2. Nó được goi là nguyên thủy neu chúng không
có nhân tả chung.
Ví dụ (a, b, c) = (3, 4, 5) ho c (5, 12, 13) là các b® ba Pythagoras nguyên thủy, còn (a, b, c) = (6, 8, 10) là b® ba Pythagoras không nguyên thủy.
H thác Pythagoras a2 +b2 = c2 cho tam giác vuông với cạnh góc vuông
a, b và cạnh huyen c gợi ý ta xét hai tam thảm hình vuông với di n tích
a2 và b2 nam trong căn phòng di n tích c2 như minh hoa trong Hình 2.23. Theo nguyên lý Carpets, di n tích (a + b − c)2 của hình vuông màu xám ở
giǎa bang tőng 2(c − a)(c − b) của di n tích hai hình chǎ nh t màu trang.
Hình 2.23: B® ba Pythagoras (a, b, c)
Đ t n = a + b − c, p = c − a và q = c − b. Vì n, p, q là các so nguyên và a2 + b2 = c2 khi và chỉ khi
n2 = a + b − c = 2(c − a)(c − b) = 2pq,
ta thu được đ c trưng sau [2]: ton tại tương úng 1−1 giũa b® ba Pythagoras
(a, b, c) và phép phân tích thùa so của so chính phương chȁn dạng n2 = 2pq.
Ngoài ra, ta có a = n + q, b = n + p, c = n + p + q nên b® ba (a, b, c) nguyên thủy khi và chỉ khi p và q nguyên to cùng nhau. Ví dụ:
• 62 = 2 · 1 · 18 = 2pq tương áng với b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (7, 24, 25); • 62 = 2 · 2 · 9 = 2pq tương áng với b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (8, 15, 17); • 62 = 2 · 3 · 6 = 2pq tương áng b® ba (a, b, c) = (n + q, n + p, n + p + q) = (9, 12, 15).
2.3.4 Các bat đang thfíc trung bình
Ta có the cháng minh được m®t so bat đȁng thác trung bình dựa vào các hình vuông chong lên nhau. Đe làm đieu này, ta nới lỏng ràng bu®c rang tőng di n tích của các hình vuông bang di n tích của hình vuông cháa chúng. Xem Hình 2.24.
Hình 2.24: Các bat đȁng thác trung bình
Khi x, y > 0, hai hình vuông chong lên nhau trà khi x = y. Do đó ta
thu được bat đȁng thác
2(x2 + y2) ≥ (x + y)2. (2.3) Đ t x = √a và y = √b trong (2.3), ta thu được
2(a + b) ≥ (√a + √b)2 = a + 2√ab + b.
Tà đó suy ra bat đȁng thác trung bình c®ng - trung bình nhân: với moi
a, b dương
a +
b
2
≥ √ab.
Đ t x = a/2 và y = b/2 trong (2.3), ta thu được
a2 + b2
2 ≥ a + b 2.
Lay căn b c hai hai ve ta thu được bat đȁng thác trung bình c®ng - trung
bình bình phương: với moi a, b dương
a2 + b2 2 ≥ a + b . 2 2 s
Đ t x = 1/√a và y = 1/√b trong (2.3), ta thu được 1 1 1 2 1 2 + a b a + b ≥ a + √ab + √b 2 ⇔ ab ≥ √ab.
Lay nghịch đảo roi nhân hai ve với 2 ta thu được bat đȁng thác trung bình
đieu hòa - trung bình nhân: với moi a, b dương
√
ab a 2 ab + b.
2.3.5 Tong các l p phương
Golomb (1965) sả dụng các hình vuông chong lên nhau đe cháng minh công thác tőng các l p phương của n so tự nhiên đau tiên
13 + 23 + · · · + n3 = (1 + 2 + · · · + n)2.
Trước tiên, ta bieu dien k3 thành k hình vuông di n tích k2 với 1 ≤ k ≤ n, sau đó xep các hình vuông này trong hình vuông lớn với cạnh có đ® dài 1 + 2 + · · · + n như trong Hình 2.25.
Hình 2.25: Tőng các l p phương
Khi k lẻ thì các hình vuông cạnh k (màu xám) không chong lên nhau. Khi k chȁn, có hai hình vuông cạnh k (gạch chéo) đè lên nhau. Nhưng theo nguyên lý Carpets, di n tích đè lên nhau bang di n tích không bị phủ bởi các hình vuông gạch chéo (phan màu trang). Do đó, tőng di n tích của các hình vuông cạnh k, 1 ≤ k ≤ n bang di n tích của hình vuông cạnh
1 + 2 + · · · + n.
2.3.6 Chia đôi hình tròn âm dương
Quoc kỳ của Hàn Quoc là hình chǎ nh t có nen trang, ở giǎa có hình tròn âm dương, màu đỏ ở trên và màu xanh dương ở dưới, bon góc có 4 quẻ bát quái.
Hình 2.26: Bieu tượng âm dương trên quoc kỳ Hàn Quoc
Hình tròn âm dương đại di n cho sự đau tranh, hợp nhat và cùng ton tại của hai m t đoi l p (có the là nóng/lạnh, nam/nǎ, bau trời/trái đat, m t trăng/m t trời, v.v.). Trong hình tròn, phan Âm (khía cạnh tiêu cực, tieng Hán là Yin) được hien thị bang màu đên, phan Dương (khía cạnh tích cực, tieng Hán là Yang) hien thị bang màu trang. Hình tròn âm dương gom có hai mien của hình tròn cách nhau bởi hai hình bán nguy t bang nảa bán kính của hình tròn lớn.
Hình 2.27: Hình tròn âm dương
Nhà giải đo női tieng người Anh H. E. Dudeney đã đ t ra bài toán chia đôi hình tròn bang công cụ hình hoc Euclid thông thường là dùng thước thȁng và compa. Ông cũng đưa ra hai cách giải: cách 1 và 2 dưới đây. Sau đó, M. Gardner đã in lại bài toán trên m®t tờ báo khoa hoc My và trong hai quyen sách của ông (New Mathematical Diversions, The Colossal Book of Short Puzzles). Đe trả lời cho câu hỏi trong bài báo, m®t so đ®c giả đã đưa ra các cháng minh khác và đơn giản hơn cách của Dudeney.
Cách 1. Dựng hai nảa đường tròn bang nảa bán kính của hình tròn lớn và
xoay 90◦ so với hai nảa đường tròn âm dương. Do tính đoi xáng, đường tròn lớn được chia thành bon phan bang nhau. Cụ the hơn, phan âm màu đen được chia thành hai phan bang nhau, phan dương màu trang được chia thành hai phan bang nhau. V y đường nét đát chia đường tròn âm dương thành phan bang nhau.
Cách 2. Goi R là bán kính của hình tròn lớn. Khi đó nảa hình tròn nhỏ có bán kính R/2. V y phan âm (màu đen) bên dưới đường kính nam ngang của hình tròn lớn là nảa đường tròn có di n tích πR2/8. phía trên nảa hình tròn âm này, dựng hình quạt ke với đường kính hình tròn lớn bang đường thȁng hợp m®t góc 45◦ tại tâm. Di n tích của hình quạt này cũng là πR2/8. V y hai phan này có có tőng di n tích là πR2/4, bang đúng m®t nảa di n tích phan âm. Suy ra đường thȁng hợp m®t góc 45◦ với đường kính nam ngang chia đôi đường tròn âm dương.
Hình 2.29: Chia đôi đường tròn âm dương bang cách 2
Cách 3. Goi đường tròn lớn là T . Dựng đường tròn bán kính R/√2, goi
là hình T1. Di n tích của đường tròn này là [T1] = πR2/2. Goi phan hình khuyên là T2, di n tích của hình vành khuyên cũng là
[T2] = πR2 − πR2/2 = πR2/2.
Goi phan âm là S1, phan dương là S2. V y ta có hai cách phân hoạch hình tròn lớn:
T = S1 ∪ S2 = T1 ∪ T2,
trong đó [S1] = πR2/2 = [T2]. Theo nguyên lý Carpets 3, ta suy ra [S1 ∩ T1] = [S2 ∩ T2].
Ket hợp tính đoi xáng tâm với tâm của đường lớn, lay phản xạ của mien