2 Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải mt so bài toán hình
2.20 D in tích màu xám bang d in tích màu xanh
Ta có EG = IJ và cả hai đường chéo đeu đi qua tâm O. Do đó, tam giác GOI là tam giác cân và CG = IB. Do đó BCGI là m®t hình chǎ nh t và AIGD cũng là m®t hình chǎ nh t.
Hien nhiên, [IFG] = [BCGI]/2 và [IGH] = [AIGD]/2. Suy ra di n tích của tá giác IFGH bang m®t nảa di n tích của ABCD. Tương tự ta cũng có di n tích của tá giác IFJH bang m®t nảa di n tích của
ABCD:
[ABCD]
[IFGH] = [EFJH] = ⇒ [IFGH] + [EFJH] = [ABCD].
2
V y hai tam thảm IFGH và EFJH có tőng di n tích bang di n tích của căn phòng ABCD. Do đó phan phủ lên nhau của hai tam thảm (phan màu xanh) có di n tích bang phan không được phủ của sàn nhà (phan màu xám).
Ngoài ra, ta có [EFGH] + [IFJH] = tőng di n tích của bon tam giác màu trang c®ng hai lan di n tích tá giác màu xanh nên cũng bang [IFGH] + [EFJH] và bang di n tích của hình chǎ nh t ABCD.
2.3 M t so fíng dnng của nguyên lý Carpets trong thfic tien
2.3.1 Chfíng minh √2 là so vô tỉ
Hi n này có rat nhieu cách đe cháng minh √2 là so vô tỉ. Trong [5] trình bày 29 cách cháng minh khác nhau. M®t trong so đó có dùng nguyên lý trải thảm. Sau đây, lu n văn trình bày m®t so cách cháng minh cơ bản đe so sánh giǎa các cách.
Cách 1. Giả sả phản cháng rang √2 = m, trong đó (m, n) = 1 hay n là
n
mau so nhỏ nhat có tính chat trên. Ta có m > n và n > m − n. M t khác 2 n − m 2 − m 2 − √ 2 √ √ √ = m n = √ = (2 − 2)( 2 + 1) = 2. m − n n − 1 2 − 1
Hay √2 = 2n − m . Nhưng đieu này mâu thuan với n là mau so nhỏ nhat
m√− n
m √
có tính chat 2 = n . Cháng tỏ 2 là so vô tỉ.
Cách 2. Giả sả phản cháng rang √2 = m, trong đó (m, n) = 1 hay n là
n
mau so nhỏ nhat có tính chat trên. Ta có m > n và n > m − n. M t khác, tà 2n2 = m2 suy ra 4n2 − 4mn + m2 = 2n2 − 4mn + 2m2 ⇔ (2n − m) = 2(m − n) ⇔ 2 = (2n m)2 (m − n)2 ⇔ √2 = 2 mn − . m − n
Đieu này mâu thuan với n là mau so nhỏ nhat có tính chat √2 = m.
Cháng tỏ √2 là so vô tỉ. n
Cách 3. Giả sả phản cháng rang √2 = m, trong đó m, n là so nguyên
n
dương thỏa mãn (m, n) = 1 hay phân so là toi giảm. Vì m2 = 2n2 nên ton tại hai hình vuông với cạnh nguyên m và n sao cho di n tích hình
−
vuông cạnh m bang hai lan di n tích hình vuông cạnh n. Và m, n là các so nguyên nhỏ nhat có tính chat này. Xem Hình 2.21(a).