2 Ứng dnng nguyên lý Carpets vào giải mt so bài toán hình
2.9 D in tích phan màu hong bang phan màu vàng
Giải. Goi đường tròn lớn là U . Giả sả U được chia theo hai cách như trong
Hình 2.10:
U = S1 ∪ S2 = T1 ∪ T2,
(trong đó S1 và T1 là hợp của hai đường tròn).
Vì di n tích của moi đường tròn nhỏ bang m®t phan tư di n tích đường tròn lớn. Do đó
[T1] = [S2] = [U ]. 2 Theo nguyên lý Carpets 3 (Định lý 1.2.8), ta có
[S1 ∩ T1] = [S2 ∩ T2].
Hình 2.10: Di n tích phan màu hong bang phan màu vàng
Cách 2. Theo nguyên lý Carpets 2, neu phủ kín sàn nhà bang các tam
thảm thì khi di chuyen các tam thảm kéo theo di n tích phan sàn nhà trong bang di n tích bị chong lên nhau. Vì tőng di n tích của bon hình tròn nhỏ bang di n tích của hình tròn lớn, áp dụng nguyên lý Carpets 2, phan không bị phủ bởi 4 tam thảm có di n tích phan các tam thảm chong lên nhau.
Bài toán 2.2.7 ([5]). Giả sả AB và CD là hai dây cung song song trong đường tròn (O). Goi M và N là giao điem của hai dây cung này với đường kính vuông góc với hai dây cung. Giả sả thêm rang hai nảa đường tròn (AB) và (CD) tiep xúc nhau tại P trên MN . Cháng minh di n tích của hai nảa đường tròn bang m®t nảa di n tích của (O).
Giải. Đ t AB = 2a, CD = 2b thì a và b lan lượt là bán kính của (M ) và (N ). Khi đó, di n tích của (M ) là πa2 và di n tích của (N ) là πb2. Vì (M ) và (N ) tiep xúc nhau tại P nên MN = a + b. Suy ra
Ta có
A
^
P B =
MO + NO = a + b.
C^P D = 90◦ bởi vì chúng là góc chan bởi đường
kính.
Tam giác ABP là tam giác vuông cân tại P nên B^AP = 45◦. Lại có góc
B^AD = B^AP = 45◦ chan bởi cung BD nên góc tại tâm O
chan bởi cung
BD là B^OD = 90◦. Tà đây, ta có hai góc M^OB và
N^OD phụ nhau:
M^OB + N^OD = 90◦.
M t khác, vì BO = DO, suy ra tam giác vuông BMO và OND bang nhau. Nói cách khác
MO = DN = b và NO = MB = a.
Theo định lý Pythagoras, bán kính R của đường tròn (O) là
R = √a2 + b2
nên có di n tích
[(O)] = πR2 = π(a2 + b2) = πa2 + πb2 = [(M )] + [(N )].
Hay di n tích của (O) bang tőng di n tích của hai đường tròn (M ) và (N ). Cháng tỏ tőng di n tích của hai nảa đường tròn (M ) và (N ). bang m®t nảa di n tích hình tròn (O).
H quả 2.2.8 ([5]). Cho ba hình tròn có vị trí như trong Hình 2.12, trong đó di n tích hình tròn lớn bang tőng di n tích hai hình tròn nhỏ. Khi đó di n tích mien màu xám bang tőng di n tích hai mien màu vàng.
Chúng minh. Vì di n tích đường tròn lớn bang tőng di n tích của hai hình tròn nhỏ, theo nguyên lý Carpets, phan không đè lên nhau của hai tam thảm có di n tích bang nhau.