Toán học Liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian34648

VÀI LIÊN H GI A HÌNH H C PH NG VÀ HÌNH H C KHƠNG GIAN ==================== Các tốn sau khai thác m t vài m r ng c a m t s toán ph ng sang tốn khơng gian s v n d ng ph ng pháp gi i toán ph ng đ gi i tốn m r ng Bài tốn 1: Cho  ABC vng t i A, M m t m b t kì BC AM t o v i AB, AC góc theo th t   Ch ng minh cos2  + cos2  = Gi i: Qua M d ng đ c t AB, AC l n l Khi đó: cos  = A ng th ng vng góc v i AM, t t i B’ C’ AM AM ; cos  = AB' AC ' 2  cos  + cos  = AM ( = AM C’ B 1  ) AB' AC' C M AM =1 B’ (Do  AB’C’ vuông t i A, AM đ ng cao) Bài tốn 1’: Cho hình chóp tam di n vng SABC đ nh S, M m thu c mi n  ABC SM h p v i c nh SA, SB, SC góc theo th t  ,  ,  S Ch ng minh cos2  + cos2  + cos2  = Gi i: S d ng cách gi i t C ng t cách gi i v i toán m t ph ng Dùng m t ph ng qua M vng góc v i SM c t hình chóp l n l Khi đó: cos  t t i A’, B’, C’ SM SM SM ; cos  ; cos  SA' SB' SC' Nên: 1 A  ) cos2   cos2   cos2  = SM (  SA' SB' SC '2 C’ A’ M B’ =1 B DeThiMau.vn (Theo tính ch t c a t di n vuông) V y cos  + cos  + cos2  = Bài toán 2: Trong tam giác ABC g i G giao m đ minh GA  GB  GC  ng trung n Ch ng A Gi i : G i M, N l n l Ta có: t trung m c a BC AC N GM MN 1    GM   GA GA AB 2 G L i có: GB  GC  2GM B C M  GA  GB  GC =  2GM  2GM Hay: GA  GB  GC  Bài toán 2’: Cho t di n ABCD G i G giao m đ di n Ch ng minh GA  GB  GC  GD  ng tr ng n c a t A Gi i: G i E trung m c a CD; G1, G2 l n l t tr ng tâm c a tam giác ∆BCD ∆ADC Khi đó: GB  GD  GC  3GG1 Trong ∆ABE, ta có: EG1 EG   EB EA  G1 G D B GG1 GG2   GA GB G2  GA   3GG1 E C T đó: GA  GB  GD  GC  3GG1  3GG1  Bài toán 3: Ch ng minh tam giác ABC b t kì, tr ng tâm G, tr c tâm H, tâm đ ng tròn ngo i ti p O th ng hàng GO  GH ( Gi i: DeThiMau.vn ng th ng le) Th ng hàng m t b t bi n c a phép v t nên ta có th ngh đ n vi c dùng phép v t đ gi i toán Yêu c u c a toán ch ng minh h th c GH làm ta ngh đ n phép v t tâm G bi n O thành H ho c ng c l i D a vào hình v ta d đốn t s -2 ( ho c  ) H tr c tâm c a ∆ABC O GO  tr c tâm c a tam giác có đ nh chân đ ta gi i toán nh sau G i M, N, P l n l ng trung n V i đ nh h t trung m c nh BC, CA, AB 1 Ta có: GM   GA ; GN   GB ; GP   GC 2  VG : A  M Do đó: P BN CP A H N G ( VOk phép v t tâm O t s k ) Phép v t b o t n tính vng góc nên s bi n B ng O C M tr c tâm c a ∆ ABC thành tr c tâm c a ∆ MNP Theo gi thi t, H tr c tâm c a tam giác ABC d dàng ch ng minh đ tr c tâm c a tam giác ABC  cO Suy ra: VG : H  O hay GO   GH T ta có H, G, O th ng hàng GO  GH Chuy n toán sang tốn khơng gian, khơng ph i t di n c ng có đ ng cao đ ng quy t i m t m nên ta ch xét nh ng t di n có tính ch t Bài tốn 3’ : Trong khơng gian, cho t di n tr c tâm ABCD Ch ng minh, tr ng tâm G, tr c tâm H tâm m t c u ngo i ti p t di n th ng hàng GH = GO Gi i: Ta c ng s dùng phép v t đ gi i tốn khơng gian u c u ch ng minh GH = GO g i ý cho ta ngh đ n phép v t tâm G t s -1 L n l t l y A đ i x ng v i A, B đ i x ng v i B, C đ i x ng v i C, D đ i x ng v i D qua G DeThiMau.vn Xét phép v t VG1 , ta có: VG : A  A ' B  B' C  C' D  D' Nh v y, VG1 : ( ABCD)  ( A' B' C ' D' ) nên phép v t s bi n tr c tâm c a t A di n ABCD thành tr c tâm c a t di n A’B’C’D’ Theo gi thi t, H tr c tâm c a t di n ABCD, ta s ch ng minh O tr c tâm c a t di n A’B’C’D’ Th t v y, tr c h t ta s ch ng minh A' O  mp ( BCD) , t A' O  ( B' C ' D' ) mp(BCD) // mp(B’C’D’) (các đ nh khác ch ng minh t B’ H ng t ) Do O tâm m t c u ngo i ti p t di n nên O cách đ u đ nh B, C, D O G D B G1 Ta ch ng minh A’ c ng cách đ u B, C, D G i G1 giao m c a AA’ v i mp(BCD) Trong ∆BA’B’ có G trung m c a BB’ 1 G1G  GA  GA' nên G1 tr ng tâm c a ∆BCD 3 E C A’ T đó, BG1 c t A’B’ t i trung m E c a A’B’ BG1  2G1E Trong ∆BCD, G1 tr ng tâm nên BG1 qua trung m E’ c a CD BG1 = 2G1E’ Suy ra: E E’ hay CD c t A’B’ t i trung m c a m i đ hình bình hành ng Do A’DB’C H n n a, AB  CD  A' B'  CD nên A’DB’C hình thoi A’D = A’C = CB’ A’B = B’A Ta ch ng minh đ đ nh B, C, D c B’A = CB’ nên suy A’B = A’D = A’C hay A’ cách đ u Suy ra: VG1 : H  O hay GO   GH V y H, G, O th ng hàng GO = GH Bài toán 4: Ch ng minh tam giác b t kì, m g m: chân đ ng cao, trung m c a c nh, trung m đo n n i tr c tâm v i đ nh thu c m t đ ng tròn ( ng tròn le) DeThiMau.vn A Gi i: Ta s dùng phép v t đ gi i toán H3 Gi s tam giác ABC có H1, H2, H3, M1, M2, M3, I1, I2, I3 l n l 3đ M3 H2 H M2 t chân ng cao, trung m c nh, trung m đo n n i tr c tâm v i B H1 C M1 đ nh G i E1, E2, E3, F1, F2, F3 l n l M2, M3 Nh n xét: Ta ch ng minh đ thu c đ t m đ i x ng v i H qua H1, H2, H3, M1, c m A, B, C, H1, H2, H3, M1, M2, M3 ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Qua phép v t H V A  I1 , B  I , C  I , E1  H , E  H , E3  H , F1  M , F2  M , F3  M Do đó, k t h p v i nh n xét ta k t lu n m H1, H2, H3, M1, M2, M3, I1, I2, I3 thu c m t đ H ngo i ti p tam giác ABC qua V ng tròn nh c a đ ng tròn ( pcm) Bài toán 4’: Cho t di n tr c tâm ABCD G i H1, H2, H3, H4 , G1, G2, G3, G4, I1, I2, I3, I4 l n l t chân đ ng cao, tr ng tâm m đo n th ng n i tr c tâm v i đ nh th a mãn m thu c m t m t c u I1 H I H I H I H     Ch ng minh 12 I1 A I B I C I D Gi i: Ta s ch ng minh I1, G1, H1 thu c m t m t c u t di n ABCD qua phép v t tâm H t s t ng t ) nh c a m t c u ngo i ti p (đ i v i m khác hoàn toàn Th t v y, g i G tr ng tâm c a t di n, O tâm m t c u ngo i ti p t di n ta có GH  OG G i E m thu c AH1 cho HH1  HE F m thu c HG1 cho HG1  HF A Ta có: AF  AH  HF  AH  3HG1 I1 H G DeThiMau.vn O D  AF  AH  3(AG1 - AH) = AG  2AH = 2(2 AG  AH ) = AO (Do G trung m c a HO)  A, O, F th ng hàng O trung m c a AF D th y H1G1 // EF AH1  H1G1 nên AE  EF T đó, E, F thu c m t c u ngo i ti p t di n Xét phép v t H V : A  I1 F  G1 E  H1 Do m A, E, F thu c m t c u ngo i ti p t di n nên I1 , H1, G1 thu c m t c u nh c a m t c u qua phép v t Hồn tồn t ( pcm) VH3 ng t ta ch ng minh đ c m l i thu c m t c u Bài toán 5: Cho tam giác ABC M m t m thu c mi n tam giác G i S1, S2, S3 l n l t di n tích tam giác MBC, MCA, MAB Ch ng minh S1 MA  S MB  S MC  Gi i: G i S di n tích c a tam giác ABC, ta bi n đ i đ v d ng AM  S2 S AB  AC S S A Bi u th c bi u di n c a vect AM qua hai vect c bi u th c c n ch ng minh AB AC nên ta H C’ B’ K E M B DeThiMau.vn C đ nh h ng gi i toán theo cách t M ta d ng hai đ ng th ng l n l t song song v i AB AC, c t AB t i B’ AC t i C’ Ta có: AM = AB'  AC ' = x AB  y AC Ta s ch ng minh x  S2 S y  S S G i H K l n l t chân đ giao m c a BM AC ng vng góc h t B M xu ng AC, E Ta có: x  AB' MC' EM EM MK S     AB AB EB EB BH S Suy x  S2 T S ng t ta ch ng minh đ c y S3 S T đó: S1 MA  S MB  S MC  Bài toán 5’: Cho t di n ABCD, O m t m b t kì thu c mi n t di n G i V1, V2, V3, V4 l n l t th tích c a t di n OBCD, OCDA, OABD OABC Ch ng minh V1 OA  V2 OB  V3 OC  V4 OD  Gi i: T ng t toán m t ph ng ta c ng bi n đ i đ ng th c c n ch ng minh v d ng AO = V2 V V AB + AC + AD (V i V th tích c a t di n) V V V A T ta đ nh h ng s gi i toán M b ng cách d ng hình h p nh n AO làm đ ng chéo S D ng hình h p MNOQ.APRS nh n AO làm đ P ng chéo chính, ba c nh k N Q n m ba c nh c a t di n xu t phát R F t A (Hình bên) O Gi s AO = x AB + y AC + z AD , ta V V ch c n ch ng minh x = , y = , V V B C DeThiMau.vn E K H D z= V4 đ V Ta có: x = AM AB G i F giao m c a BO m t ph ng (ACD) H đ ng cao BH, OK g i E giao m c a BN AD Hai m t ph ng (BEF) (ACD) qua hai đ n EF nên EF // NO Ta có: V2 OF NE OK AM = = = = =x V BH AB BF BE Suy x = T ng th ng song song có giao V2 V ng t ta c ng có: y = V3 V , z = ( pcm) V V Bài t p Cho  ABC víi träng tâm G a CMR m i điểm M ta có MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b Tìm quỹ tích điểm M cho MA2 + MB2 + MC2 = k2 (k cho trước) Bài toán mới: Cho tứ diện ABCD trọng tâm G a CMR với điểm M ta có: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2 b T×m quü tÝch M cho: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2 CMR tổng bình phương độ dài hình chiếu cạnh tứ diện mặt phẳng 4a2 DeThiMau.vn CMR tứ diện tổng bình phương hình chiếu đoạn thẳng nối tâm với đỉnh a Bốn điểm A, B, C, D thuộc cạnh MN, NP, PQ, QM tứ giác ghềnh MNPQ; đồng phẳng vµ chØ AM BN CP DQ AN BP CQ DM (Định lí Mênêlaúyt không gian) Một hướng khai thác khác: CMR tứ giác nội tiếp đường tròn: Các đường thẳng qua trung điểm cạnh vuông góc với cạnh đối diện đồng qui CMR tứ diện mặt phẳng qua trung điểm cạnh vuông góc với cạnh đối diện đồng qui điểm ( Điểm Monge) DeThiMau.vn ... có th ngh đ n vi c dùng phép v t đ gi i toán Yêu c u c a toán ch ng minh h th c GH làm ta ngh đ n phép v t tâm G bi n O thành H ho c ng c l i D a vào hình v ta d đốn t s -2 ( ho c  ) H tr c... h ng s gi i toán M b ng cách d ng hình h p nh n AO làm đ ng chéo S D ng hình h p MNOQ.APRS nh n AO làm đ P ng chéo chính, ba c nh k N Q n m ba c nh c a t di n xu t phát R F t A (Hình bên) O Gi... cho: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2 CMR tổng bình phương độ dài hình chiếu cạnh tứ diện mặt phẳng 4a2 DeThiMau.vn CMR tứ diện tổng bình phương hình chiếu đoạn thẳng nối tâm với đỉnh a Bốn điểm A, B,