(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp

(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp(Luận văn thạc sĩ) Về các hàm đối xứng hoàn toàn và đối xứng sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - DƢƠNG THỊ LY VỀ CÁC HÀM ĐỐI XỨNG HOÀN TOÀN VÀ ĐỐI XỨNG SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2021 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn thạc sỹ này, tơi xin bày tỏ cảm kích đặc biệt tới PGS.TS Nông Quốc Chinh, người định hướng, dẫn dắt cố vấn cho suốt thời gian thực đề tài nghiên cứu khoa học Xin cảm ơn giảng tài liệu tham khảo thầy giúp mở mang thêm nhiều kiến thức hữu ích để hồn thành luận văn Đồng thời, thầy người cho lời khuyên vô quý giá kiến thức chuyên môn định hướng phát triển nghiệp Một lần nữa, xin cảm ơn thầy tất lịng biết ơn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy cô giảng dạy lớp cao học K13A8 (2019-2021) trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho em hồn thành khóa học Tôi xin cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2021 Tác giả luận văn Dương Thị Ly Mục lục Các kí hiệu Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Phân hoạch số nguyên 1.1.1 Định nghĩa phân hoạch số nguyên 1.1.2 Định nghĩa hàm phân hoạch số nguyên 1.1.3 Biểu đồ Ferrers Vành đa thức nhiều biến 1.2.1 Vành đa thức ẩn x 1.2.2 Vành đa thức nhiều ẩn 1.2.3 Bậc đa thức 10 1.2.4 Thứ tự từ điển 10 Vành đa thức đối xứng 11 Đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn 12 2.1 Đa thức đối xứng đơn thức 12 2.2 Đa thức đối xứng sơ cấp 14 2.2.1 Đa thức đối xứng sơ cấp 14 2.2.2 Tổng lũy thừa đồng thức Niutơn 17 2.2.3 Biệt thức Đa thức 18 2.2.4 2.3 2.4 Định lý đa thức đối xứng 19 Đa thức đối xứng hoàn toàn 24 2.3.1 Định nghĩa 24 2.3.2 Đa thức Schur 27 Mối quan hệ đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn 28 Một số ứng dụng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hồn tồn 3.1 32 Một mở rộng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn 32 3.2 Một số ứng dụng 41 3.2.1 Khai triển lũy thừa nhị thức 41 3.2.2 Biểu diễn số nguyên dương 46 3.2.3 Biểu diễn bình phương số nguyên 54 3.2.4 Biểu diễn số Catalan 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 Các kí hiệu R Tập số thực N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Z+ Tập số nguyên dương ∀x Với x ⌈x⌉ Số nguyên bé không nhỏ số thực x gọi trần x ⌊x⌋ Số nguyên lớn không vượt số thực x gọi sàn x □ Kết thúc chứng minh định lí bổ đề ∧n Tập hợp tất đa thức đối xứng n biến Mở đầu Các hàm đối xứng ứng dụng rộng rãi Toán học, Vật lý nhiều lĩnh vực khoa học khác: Như đại số sơ cấp, lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng nhóm tuyến tính tổng quát C trường hữu hạn, hàm đối xứng đối tượng nghiên cứu quan trọng đại số tổ hợp Một chuỗi lũy thừa hình thức với biến x1 , x2 , , xn gọi đối xứng bất biến hốn vị biến cho Một chuỗi lũy thừa đối xứng thường gọi hàm đối xứng Một hàm đối xứng mà đơn thức có bậc k gọi hàm đối xứng bậc k Mục tiêu luận văn nghiên cứu trình bày hàm đối xứng sơ cấp đối xứng hoàn toàn, kết tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn, số ứng dụng Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu số kiến thức phân hoạch, vành đa thức n biến, vành đa thức đối xứng với mục đích chuẩn bị kiến thức sử dụng phần sau Chương 2: Đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hồn tồn Trình bày chủ yếu số kiến thức: Đa thức đối xứng đơn thức, đa thức đối xứng sơ cấp, đa thức đối xứng hoàn toàn, đa thức Schur mối quan hệ đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn Chương 3: Một số ứng dụng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn tồn Nội dung chương chủ yếu trình bày mở rộng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn số ứng dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương giới thiệu số kiến thức phân hoạch, vành đa thức n biến, vành đa thức đối xứng với mục đích chuẩn bị kiến thức sử dụng phần sau 1.1 1.1.1 Phân hoạch số nguyên Định nghĩa phân hoạch số nguyên Định nghĩa 1.1.1 Ta nói rằng: λ = (λ1 , λ2 , , λn ) phân hoạch số nguyên dương k λ1 , λ2 , , λn dãy số nguyên không âm giảm dần nghĩa là: λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn ≥ thỏa mãn: λ1 + λ2 + + λn = k Kí hiệu: λ ⊢ k ( nghĩa λ phân hoạch k) Các số λi ̸= phân hoạch gọi phần phân hoạch λ Số phần (khác không) phân hoạch λ gọi độ dài phân hoạch λ ⊢ k, kí hiệu l(λ) (hoặc length(λ)) Nếu ta ký hiệu ts số lần xuất số nguyên cụ thể s (như phần) phân hoạch λ, phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , , λn ) ⊢ k viết dạng sau: λ = 1t1 2t2 k tk Trong có ts phần phân hoạch λ s Vì ta có: t1 + 2t2 + + ktk = k Ví dụ 1.1.1 Với k = ta có phân hoạch sau: (6) ; (4, 2) ; (5, 1) ; (3, 3) ; (4, 1, 1) ; (3, 2, 1) ; (2, 2, 2) ; (3, 1, 1, 1) ; (2, 2, 1, 1) ; (2, 1, 1, 1, 1) ; (1, 1, 1, 1, 1, 1) Phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , , λn ) ⊢ k viết dạng sau: λ = 1t1 2t2 k tk = 6t6 với t6 = ⇒ = 10 20 30 40 50 61 = + = 2t2 + 4t4 với t2 = 1; t4 = ⇒ = 10 21 30 41 50 60 = + = t1 + 5t5 với t1 = 1; t5 = ⇒ = 11 20 30 40 51 60 = + = 3t3 với t3 = ⇒ = 10 20 32 40 50 60 = + + = 1t1 + 4t4 với t1 = 2; t4 = ⇒ = 12 20 30 41 50 60 = + + = 1t1 + 2t2 + 3t3 với t1 = 1; t2 = 1; t3 = ⇒ = 11 21 31 40 50 60 = + + = 2t2 với t2 = ⇒ = 10 23 30 40 50 60 = + + + = 1t1 + 3t3 với t1 = 3; t3 = ⇒ = 13 20 31 40 50 60 = + + + = 1t1 + 2t2 với t1 = 2; t2 = ⇒ = 12 22 30 40 50 60 = + + + + = 1t1 + 2t2 với t1 = 4; t2 = ⇒ = 14 21 30 40 50 60 = + + + + + = 1t1 với t1 = ⇒ = 16 20 30 40 50 60 Kí hiệu: L tập hợp tất phân hoạch số nguyên k 1.1.2 Định nghĩa hàm phân hoạch số nguyên Định nghĩa 1.1.2 Hàm p(k) : N → N xác định số phân hoạch số nguyên k, gọi hàm phân hoạch số nguyên k Qui ước: p (0) = Ví dụ 1.1.2 Với k = ta có phân hoạch sau: = + Vậy p (2) = Ví dụ 1.1.3 Với k = ta có phân hoạch sau: = + = + + Vậy p (3) = Ví dụ 1.1.4 Với k = ta có phân hoạch sau: = + = + = + + + = + + Vậy p(4) = Ví dụ 1.1.5 Với k = ta có phân hoạch sau: = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 Vậy p(5) = 1.1.3 Biểu đồ Ferrers Định nghĩa 1.1.3 Cho λ = (λ1 , λ2 , , λn ) ⊢ k, biểu đồ Ferrers biểu diễn phân hoạch λ bảng gồm vng, có số cột λ1 có số hàng độ dài λ, xây dựng sau: Hàng thứ sơ đồ biểu diễn có λ1 vng, hàng thứ hai sơ đồ biểu diễn có λ2 vng, , hàng thứ r có λr vng, tiếp tục hết Ví dụ 1.1.6 Với k = λ = (4, 2, 2, 1, 0) ta có biểu đồ Ferrers sau: Định nghĩa 1.1.4 Ta nói phân hoạch λ′ = (λ′ , λ′ , , λ′ n ) liên hợp phân hoạch λ = (λ1 , λ2 , , λn ) biểu đồ Ferrers λ, số λ′i số ô vuông cột thứ i (tính từ trái qua phải) Ví dụ 1.1.7 Với k = λ = (2, 1, 1, 0, 0) ta có λ′ = (3, 1, 0, 0, 0) 54 Với n > thay b0 = 1, bn = n − n+1 an = n ta có: 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 = n n×n Điều phải chứng minh 3.2.3 Biểu diễn bình phương số nguyên Hệ 3.2.4 Với n số nguyên dương ta có:   t1 + + tn  t1 t2 t3 + +tn (−1)n+t1 + +tn  = (n + 1)2  t1 , , t n t1 +2t2 + +ntn =n Chứng minh Xét dãy {an }n≥0 xác định sau an = (n + 1)2 Khi ta có: an − 3an−1 + 3an−2 − an−3 =(n + 1)2 − 3(n − + 1)2 + 3.(n − + 1)2 − (n − + 1)2 =(n + 1)2 − 3n2 + 3(n − 1)2 − (n − 2)2 =n2 + 2n + − 3n2 + 3n2 − 6n + − n2 + 4n − =0 Vậy: an − 3an−1 + 3an−2 − an−3 = 55 Xét dãy {bn }n≥0 xác định sau: bn =     n =       4 n =    n =       8 n ≥ n Chứng minh (−1)k bk an−k = δ0,n k=0 n Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh (−1)k bk an−k = δ0,n k=0 Kiểm tra n = ta có: (−1) b0 a0 = b0 a0 = Vậy n = cơng thức n Giả sử công thức với n ta có: (−1)k bk an−k = δ0,n k=0 ⇔ (−1)0 b0 an + (−1)1 b1 an−1 + (−1)2 b2 an−2 + (−1)3 b3 an−3 + + (−1)n bn a0 = δ0,n ⇔ an − 4an−1 + 7an−2 − 8an−3 + 8an−4 + + (−1)n = δ0,n n ⇔ an − 4an−1 + 7an−2 + (−1)k an−k = δ0,n k=3 Chứng minh công thức với n + tức n+1 (−1)k bk an+1−k = δ0,n+1 k=0 Biến đổi vế trái: n+1 (−1)k bk an+1−k VT = k=0 = b0 an+1 + (−1)b1 an + (−1)2 b2 an−1 + (−1)3 b3 an−2 + (−1)4 b4 an−3 + (−1)5 b5 an−4 + + (−1)n+1 bn+1 a0 = an+1 − 4an + 7an−1 − 8an−2 + 8an−3 − 8an−4 + + (−1)n+1 n (−1)n an−k = an+1 − 3an + 3an−1 − an−2 − an − 4an−1 + 7an−2 + k=3 56 Mà ta có: an+1 − 3an + 3an−1 − an−2 = n (−1)n an−k = δ0,n Và an − 4an−1 + 7an−2 + k=3 n+1 (−1)k bk an+1−k = δ0,n+1 , hay công thức với n + Vậy: VT= k=0 Như hai dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1.1 Áp dụng định lý 3.1.1 ta có:  an = a0 t n+t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n  t1 + + tn  b1   b0 t1 , , t n  n+t1 + +tn ⇔ an = (−1) t1 +2t2 + +ntn =n t1 tn bn b0  t1 + + tn  b1   b0 t1 , , t n t1 bn b0 tn Với n > thay an b0 , b1 , b2 , , bn ta có:  (n + 1)2 =  t1 + + tn  t1 t2 t3 + +tn (−1)n+t1 + +tn   t1 , , t n t1 +2t2 + +ntn =n Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.3 a) Với n > ta có: −1                   22 32 22 42 32 22 52 42 32 22 62 52 42 32 22               1   n×n     −4    −4   =  −8 −   −8 −4    −8 −8 −4                  1   n×n Với phần tử đường chéo ma trận nghịch đảo có dạng 57 (−1)k với k > b) Với n > ta có: 22 32 21 42 32 22 52 42 32 22 =8 n×n c) Với n > ta có: = (n + 1)2 8 n×n Chứng minh a) Trong q trình chứng minh hệ 3.3.1 ta sử dụng hai dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 thỏa mãn giả thiết định lý 3.3.1 nên ta có:  bn = b0 t n+t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , tn  bn = a0 t n+t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n t1 an a0 tn  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , tn t1 an a0 tn Đặt b′n = (−1)n bn ta có:  (−1)n b′n = a0 t n+t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , tn t1 an a0 tn 58  b′n = a0 t t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n   t + + t n  a1   a0 t1 , , t n t1 an a0 tn Suy {an }n≥0 {b′n }n≥0 thỏa mãn giả thiết hệ 3.1.1 nên ta có: −1   1     21      32 22       42 32 22 1       ′   b0     b′ b′     ′ ′ ′  = b b b      b′ b′ b′ b′   0   n×n n×n b′0 = b′k = (−1)k bk với k >  −1  1       22  −4       2   −4 Suy ra:  = 3       42 32 22 1 −8 −4                1   n×n n×n b) Dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 sử dụng để chứng minh hệ 3.3.1 thỏa mãn giả thiết định lý 3.1.1, từ suy ra:  bn = b0 t (−1) +2t2 + +ntn =n n+t1 + +tn  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , t n t1 an a0  ⇔ bn = b0  t1 + + tn  t t − −tn  (−1)n+t1 + +tn a−t   a1 ann t1 , , t n t1 +2t2 + +ntn =n  ⇔ bn = tn  t + + tn  t1 n−t1 − −tn  t (−a )   a1 ann n+1 a0 t +2t + +nt =n t1 , , tn n 59 Theo hệ 3.1.2 ta có: a1 a0   a2 t + + tn  t n−t1 − −tn  t = (−a )   a1 ann t1 , , t n a0 t1 +2t2 + +ntn =n an a a1 Suy ra: a1 a0 a2 = bn an+1 a an a a1 Thay giá trị a0 , a1 , , an bn = với n ≥ ta có 22 32 22 2 = □ n×n c) Theo chứng minh b ta có: b0 = 1 bn = n+1 a0 a0 a1 a0 a2 a0 an a a1 60 Do theo hệ 3.1.3 ta có: an = bn+1 b1 b0 b2 b0 bn b2 b1 b1 b0 b2 ⇔ b = an bn+1 bn b2 b1 Với n > 0, thay b1 , b2 , , bn an = (n + 1)2 vào công thức ta có: 8 = (n + 1)2 n×n 3.2.4 Biểu diễn số Catalan Định nghĩa 3.2.1 Số Catalan thứ n định nghĩa:   n  2n  (2n)! n+k Cn = =  = n+1 (n + 1)! (n!) k n k=2 n ≥ Các số Catalan tạo thành dãy số tự nhiên xuất toán đếm khác nhau, thường liên quan đến đối tượng khác 61 định nghĩa đệ quy [3, phần 1.8] Ví dụ năm 1761, Segner đưa công thức đệ quy cho sử dụng toán tam giác: n Ck Cn−k , n ≥ C0 = Cn+1 = k=0 Hệ 3.2.5 Với n số nguyên dương ta có:  Cn−1 =   t1 + + tn  t1 t2 t (−1)1+t1 + +tn  C1 C2 Cnn t1, , tn t1 +2t2 + +ntn =n Chứng minh Xét hai dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 xác định sau: bn = an =    C0 n =   Cn n ̸=    C0 n =   (−1)n−1 Cn−1 n ̸= Ta có: a0 b0 = Với n > xét: n (−1)k bk an−k k=0 = (−1)0 b0 an +(−1)1 b1 an−1 +(−1)2 b2 an−2 + .+(−1)n−1 bn−1 a1 +(−1)n bn a0 = C0 (−1)n−1 Cn−1 + (−1)1 C1 (−1)n−2 Cn−2 + (−1)2 C2 (−1)n−3 Cn−3 + + (−1)n−1 Cn−1 C0 + (−1)n Cn C0 = (−1)n−1 C0 Cn−1 + (−1)n−1 C1 Cn−2 + + (−1)n−1 Cn−1 C0 + (−1)n Cn C0 = (−1)n−1 n−1 Ck Cn−1−k + (−1)n Cn C0 k=0 n Ck Cn−k , n ≥ nên Do C0 = Cn+1 = k=0 Vậy: n−1 Ck Cn−1−k = Cn k=0 62 n (−1)k bk an−k = (−1)n−1 Cn + (−1)n Cn C0 = (−1)n−1 Cn + (−1)n Cn = k=0 n Suy ra: (−1)k bk an−k = δ0,n k=0 Như hai dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 thỏa mãn giả thiết định lý 3.1.1 Theo định lý 3.1.1 ta có:  an = a0 t (−1) n+t1 + +tn +2t2 + +ntn =n ⇔(−1)n−1 Cn−1 = ⇔Cn−1 =  t1 + + tn  b1   b0 t1 , , tn  t1 bn b0  tn t1 + + tn  t1 t (−1)n+t1 + +tn   C1 Cnn t1 , , tn t1 +2t2 + +ntn =n   t1 + + tn  t1 t (−1)1+t1 + +tn   C1 Cnn t1 , , tn t1 +2t2 + +ntn =n Suy điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.4 a) Với n > ta có −1                C0 C C0 C C1 C C C2 C C0 C C3 C C1              C0    n×n        =       −C0 −C1 − C0 −C2 − C1 − C0 −C3 − C2 − C1 − C0            1   n×n 63 C1 C0 C2 C1 C0 C3 C2 C1 C0 b) Cn−1 = (−1)n−1 C4 C3 C2 C1 C0 C5 C4 C3 C2 C1 C0 n×n Chứng minh a) Xét dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 xác định sau: an = Cn a0 = C0 =    C0 n = bn =   (−1)n−1 Cn−1 n ̸= n Tương tự ta có: (−1)k bk an−k = δ0,n k=0 Do hai dãy thỏa mãn giả thiết định lý 3.1.1 ta có:  bn = b0 t (−1) n+t1 + +tn +2t2 + +ntn =n  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , t n  ⇔ bn = a0 t (−1) n+t1 + +tn +2t2 + +ntn =n t1 an a0 tn  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , tn t1 an a0 Đặt b′n = (−1)n bn suy ra:  b′n = a0 t t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , tn t1 an a0 tn tn 64 Do {an }n≥0 {b′n }n≥0 thỏa mãn giả thiết hệ 3.1.1 nên −1    ′   b0     b′ b0     ′ ′  = b b b      b′ b′ b′ b′   0     a0     a1 a0      a a a     a a a a   0   n×n n×n với b′k = (−1)k bk Thay giá trị a0 , a1 , , an b′0 , b′1 , , b′n vào ta có: −1                C0   C1 C0 C2 C1 C0 C3 C2 C1 C0 C4 C3 C2 C1            C0           =       −C0 −C1 − C0 −C2 − C1 − C0 −C3 − C2 − C1 − C0            1   n×n □ n×n b) Xét dãy {an }n≥0 {bn }n≥0 xác định sau: a n = Cn a0 = C0 =   C0 n = bn =   (−1)n−1 Cn−1 n ̸= n Ta có: (−1)k bk an−k = δ0,n k=0 Hai dãy thỏa mãn Định lý 3.1.1 từ suy ra:  bn = b0 t n+t1 + +tn (−1) +2t2 + +ntn =n  t1 + + tn  a1   a0 t1 , , tn t1 an a0 tn 65  ⇔ bn = a0 t  t1 + + tn  t1 t − −tn  (−1)n+t1 + +tn a−t   a1 ann t1 , , tn +2t2 + +ntn =n  ⇔ bn =  t + + tn  t1 n−t1 − −tn  t (−a )   a1 ann n+1 a0 t +2t + +nt =n t1 , , tn n Theo hệ 3.1.2 ta có: a1 a0  a2 a1 a0 = a3 a2 a1 a0  t + + t n  t t (−a0 )n−t1 − −tn   a1 ann t1 , , t n t1 +2t2 + +ntn =n n×n a1 a0 Suy ra: a2 a1 a0 = bn an+1 Thay giá trị a0 , a1 , a2 , , an bn a3 a2 a1 a0 n×n vào cơng thức ta có: C1 C0 C2 C1 C0 = (−1)n−1 Cn−1 C3 C2 C1 C0 n×n C1 C0 ⇔ Cn−1 = (−1)n−1 C2 C1 C0 C3 C2 C1 C0 n×n Kết luận Luận văn đạt kết sau: Giới thiệu số kiến thức chuẩn bị số kiến thức đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hồn tồn, trình bày với mục đích cung cấp kiến thức quan trọng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn Nghiên cứu số ứng dụng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hồn tồn Luận văn trình bày mở rộng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn số ứng dụng Định lý nhị thức, Dãy số nguyên, số phương, số Catalan 66 67 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Long, "Về số Padovan vài ứng dụng", Luận văn thạc sĩ, Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, Người hướng dẫn: PGS TS Nông Quốc Chinh, 2020 [2] Nguyễn Viết Đông - Trần Ngọc Hội, "Đại số đại cương", nhà xuất đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh, 2020 [3] Bùi Huy Hiền – Nguyễn Tiến Quang, "Đại số đại cương", Nhà xuất Đại học sư phạm, 2014 Tiếng Anh [4] Mircea Merca, "A generalization of the symmetry between complete and elementary symmetric functions", Article in Indian Journal of Pure and Applied Mathematics March 2014 https://www.researchgate.net/publication/260907765 [5] Giuseppe Fedele, metric functions", "A property Article of in the elementary Calcolo https://www.researchgate.net/publication/226660454 April sym2005 68 [6] Mi Lin and Neil S Trudinger, "On some inequalities for elementary symmetric functions", BULL AUSTRAL MATH SOC VOL 50, p.317326, 1994 [7] Moussa Ahmia and Mircea Merca , May 2020, "A generalization of complete and elementary symmetric functions", Preprint May 2020 https://www.researchgate.net/publication/341148785 [8] KeVin Anderson, "Combinatovics of Symmetric Functions", super vised by Dr Hadi Salmasian, 28/8/2019 (Tài liệu lấy mạng internet) ... gọi hàm đối xứng Một hàm đối xứng mà đơn thức có bậc k gọi hàm đối xứng bậc k Mục tiêu luận văn nghiên cứu trình bày hàm đối xứng sơ cấp đối xứng hoàn toàn, kết tính đối xứng đa thức đối xứng sơ. .. f hàm đối xứng sơ cấp đối xứng hoàn toàn Chương Một số ứng dụng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hồn tồn 3.1 Một mở rộng tính đối xứng đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối. .. thức đối xứng đơn thức, đa thức đối xứng sơ cấp, đa thức đối xứng hoàn toàn, đa thức Schur mối quan hệ đa thức đối xứng sơ cấp đa thức đối xứng hoàn toàn Chương 3: Một số ứng dụng tính đối xứng