PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS DÂN HÒA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) x y 1.Cho P = xy a Rút gọn P x y : 1 x y xy xy xy b Tính P x = 23 + ( 1) 2 12 18 128 2.Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Câu 2: (4 điểm) a Giải phương trình: x x 3x 12 x 14 b Cho x;y;z lµ sè tháa m·n ®iỊu kiƯn: 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = Tính giá trị biểu thức A = (x- 4) 2015 + ( y - 4) 2015 + (z - 4) 2015 Câu 3: (3 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = b) Cho a, b, c số lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a 2b 3c P a 1 b 1 c 1 Câu 4: (6 điểm) Cho AB đường kính (O; R), C điểm thay đổi đường trịn (C khác A B), kẻ CH vơng góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K a, Chứng minh điểm C, H, O, I thuộc đường tròn b, Chứng minh MC tiếp tuyến (O,R) c, Chứng minh K trung điểm CH d, Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Câu 5: (1 điểm) Tìm tất số nguyên dương x , y , z thoả mãn x y z 11 8 x y 10 z 100 - Hết Lưu ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm! ThuVienDeThi.com PHỊNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS DÂN HÒA Bài HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung a) Điều kiện để P có nghĩa : x ; y ; xy x y : 1 x y xy xy xy xy x y xy x y xy xy x y xy : = xy xy xy x y P= = = Bài ( 6đ) x y x y y x x y x y y x x y xy : xy xy = x 2y x xy 1 x y 1 xy 0,5đ 0,5đ 0,5đ x 1 y x 1 x 1 y x 0,5đ b) Đặt A = ( 1) 2 Ta có: 12 18 128 18 128 18 (4 2) 12 18 128 ( 1) 2 ( 1) A ( 1)( 1) x = 23 + = 25 Thay x = 25 vào P ta có: P= Điểm 25 10 25 26 13 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99 + 992) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 992 + + ThuVienDeThi.com 0,5đ 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 Lại có: 0,5đ (1) A = (13 + 993) + (23 + 983) + + (503 + 1003) Mỗi số hạng ngoặc chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) Từ (1) (2) suy A chia hết cho 101 50 nên A chia hết cho B a) Bài ( 4đ) 0,5đ 0,5đ x x x 12 x 14 (1) ĐKXĐ: x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: VT= x x 2(2 x x) Dấu “=” xảy x = 2x x= Ta lại có: VP = 3x 12 x 14 3( x 2)2 Dấu “=” xảy x = Do VT = VP x = ( TMĐKXĐ) S 2 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + + z - 10z +25 0,5đ 0,5đ =0 ( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 0,5đ 2 x y z x y 3 y z z 0,5đ VËy ( 4- 4) 2015 + ( - 4) 2015 + ( - 4) 2015 = a) x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = (1) Bài (3đ) (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = (x + y)2 + (y - 1)(y + 4) = (y - 1)(y + 4) = - (x + y)2 (2) Vì - (x + y)2 với x, y nên: (y - 1)(y + 4) - y Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1 0,5đ 0,5đ Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìm cặp nghiệm nguyên 0,5đ (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1) b) P = P= ThuVienDeThi.com P= 0,5đ P= Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương ta có : Do P 0,5đ Vậy P Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 0,5đ Vẽ hình 0,5đ M C I K A O Bài ( 6đ) B H a) Chứng minh OI AC OIC vuông I I thuộc đường trịn đường kính OC Lại có CH AB (gt) nên CHO vuông H H thuộc đường trịn đường kính OC Do I, H thuộc đường trịn đường kính OC Hay điểm C, I, O, H thuộc đường tròn b) Ta có: góc ACB = 900 AC CB Mà AC OM CB // OM góc AOM = góc OBC (1) Lại có: góc CBO = góc OCB ( OCB cân O) Góc OCB = góc COM ( so le trong) (2) Từ (1) (2) góc AOM = góc COM AOM = COM (c.g.c) góc MCO = góc MAO = 900 MC CO MC tiếp tuyến (O;R) c) MAB có KH//MA (cùng vng góc với AB) KH HB AM HB AM HB (1) KH AM AB AB 2R CM: MAO đồng dạng với CHB ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ MA AO AM HB AM HB (2) CH CH HB AO R Từ (1) (2) suy ra: CH=2KH CK=KH K trung điểm CH 0,5 đ c) Chu vi ACB PACB =AB+AC+CB=2R+AC+CB Ta có: ( AC CB) AC CB AC.CB 0,5 đ AC 2CB AC CB AC.CB 2.( AC CB ) ( AC CB ) AC CB 2.( AC CB ) AC CB AB AC CB 2.4 R AC CB R PACB R R R(1 ) Dấu xảy AC = CB C điểm cung AB Vậy để chu vi ACB đạt giá trị lớn 2R(1+ ) C điểm cung AB 0,5 đ 0,5 đ Ta có : 100 = 8x+9y+10z > 8x+8y+8z = 8(x+y+z) x yz Bài ( 1đ 25 Theo giả thiết x+y+z > 11, ( x+y+z ) nguyên nên x+y+z =12 0,5đ x y z 12 x y z 12 8 x y 10 z 100 y 2z Vậy ta có hệ Từ y + 2z =4 suy z =1 (do y,z > 0) Khi z=1 y=2 x=9 Thay x=9; y=2; z=1 thấy thoả mãn yêu cầu toán * Chú ý: Hs giải cách khác cho điểm tối đa DUYỆT CỦA BAN GIÁM HIỆU Nguyễn Thị Hà GIÁO VIÊN RA ĐỀ Nguyễn Thị Thủy ThuVienDeThi.com 0,5đ ... 99 )(22 + 99 + 99 2) + + (50 + 51)(502 + 50 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 99 + 99 2 + + ThuVienDeThi.com 0,5đ 502 + 50 51 + 512) chia hết cho 101 Lại có: 0,5đ (1) A = (13 + 99 3) + (23 + 98 3)...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS DÂN HÒA Bài HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Nội dung a) Điều kiện để P có nghĩa... (2 + 99 ) + + (50 + 51) = 101 50 Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 101 Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 99 3) + +(503 + 513) = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99 )(22