Hình học phân hình

Tài liệu tham khảo công nghệ thông tin Hình học phân hình

một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc thử nghiệm liên ngành Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất dài Hình học phân hình đã được đông đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên cứu Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc phân hình cơ sở và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lôi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tượng toán học đã từng được biết đến Hình học phân hình đã cung cấp cho các nhà khoa học một môi trường phong phú cho sự thám hiểm và mô hình hoá tính phức tạp của tự nhiên Những nguyên nhân của sự lôi cuốn do hình học phân hình tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực thông qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó.

Những thành công to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước một Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hoá hoặc phát triển của các sự vật sẽ được dự đoán trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt nguyên tắc Những bước phát triển ngoạn mục đầy lôi cuốn trong lĩnh vực kỹ thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thông tin nhiều hơn nữa của nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những máy móc ở tương lai Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt lỗi của khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở tương lai như thế sẽ không bao giờ đạt được Một kết luận có thể thu được từ các lý thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự phát triển có tính ngẫu nhiên không những không có sự loại trừ lẫn nhau mà chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên Hình học phân hình và lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này Khi xét đến sự phát triển của một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ của hình học phân hình là bộ môn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn độn Trong ngữ cảnh nào đó hình học phân hình là ngôn ngữ đầu tiên để mô tả, mô hình hoá và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên Nhưng trong khi các phần tử của ngôn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trong hình học phân hình đó là các thuật toán chỉ có thể biến đổi thành các dạng và cấu trúc nhờ máy tính.

Việc nghiên cứu ngôn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng Trong đề tài này chỉ mới thực hiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó Nội dung của

Chương II: Trình bày các kỹ thuật hình học phân hình thông qua sự khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật toán chi tiết để tạo nên các cấu trúc này.

Chương III: Kết quả cài đặt chương trình vẽ một số đường mặt fractal và các hiệu ứng

Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu này

Em cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô khoa công nghệ thông tin đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong suốt quá trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ, và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn.

Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết sức cố gắng hoàn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong nhận được sự thông cảm và đóng góp những ý kiến vô cùng quý báu của các Thầy Cô, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài trong tương lai.

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Ngọc Hùng Cường.

Chương I:SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 5

I.1 Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình 5

Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy luật trong tự nhiên 5

Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eulide cổ điển 8

I.2 Sự phát triển c ủa l ý thuyết hình học phân hình 9

I.3 Các ứng dụng tổng quát của hình học phân hình 10

Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính 11

Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh 11

Ứng dụng trong khoa học cơ bản 13

I.4 Các kiến thức cơ sở của hình học phân hình 13

I.4.1 Độ đo Fractal 13

I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS 17

Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH 21

II.1 Họ đường Von Kock 21

Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake 21

Đường Von Kock-Gosper 26

Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn 28

Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn 30

Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn 32

Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn 33

Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn 35

Generator phức tạp 38

II.2 Họ đường Peano 44

Đường Peano nguyên thuỷ 44

Đường Peano cải tiến 45

Tam giác Cesaro 49

Tam giác Cesaro cải tiến 51

Một dạng khác của đường Cesaro 54

Tam giác Polya 56

Đường Peano-Gosper 58

Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn 62

Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn 66

II.3 Đường Sierpinski 70

II.4 Cây Fractal 73

Các cây thực tế 73

Biểu diễn toán học của cây 73

II.5 Phong cảnh Fractal 77

Thuật toán thể hiện tập Julia 95

II.9 Họ các đường cong Phoenix 97

Chương III : GIỚI THIỆU VỀ NGÔN NGỮ CÀI ĐẶT VÀ KẾT QUẢ CHƯƠNG TRÌNH 100

III.1 Giới thiệu về ngôn ngữ cài đặt 100

III.2 Kết quả chương trình 111

TÀI LIỆU THAM KHẢO 116

Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình là kết quả của nhiều thập kỷ nổ lực giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là vật lý và toán học Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình được xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế kỷ 20 Các vấn đề đó bao gồm:

♦ Tính hỗn độn của các quá trình phát triển có quy lực trong tự nhiên.

♦ Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Euclide cổ điển.

□ TÍNH HỖN ĐỘN CỦA CÁC QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN CÓ QUY LUẬT TRONG TỰ NHIÊN:

Các công thức lặp có dạng:Xn+1=f(Xn)

thường được sử dụng trong các ngành khoa học chính xác để mô tả các quá trình lặp đi lặp lại có tính xác định Các quá trình được xác định bởi công thức trên, trong đó f thể hiện mối liên hệ phi tuyến giữa hai trạng thái nối tiếp nhau Xn và Xn+1, được quan tâm đặc biệt Các khảo sát trong những thập niên gần đây đã phát hiện ra các cư xử kỳ dị của các tiến trình lặp như vậy.

Khảo sát chi tiết đầu tiên được nhà khí tượng học Edward N Lorenz tiến hành vào năm 1961 khi nghiên cứu hệ toán học mô phỏng dự báo thời tiết Về mặt lý thuyết, hệ này cho ra các kết quả dự đoán chính xác về thời tiết trong một khoảng thời gian dài Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, khi bắt đầu tính toán lại dựa vào dữ liệu cho bởi hệ tại một thời điểm tiếp sau đó không giống với các kết quả dự đoán ban đầu Hơn nữa sai số tính toán sẽ tăng lên nhanh chóng theo thời gian Điều này dẫn đến kết luận là nếu tiến trình dự đoán lại từ một thời điểm nào đó trong tiến trình dự báo, khoảng thời gian để các kết quả dự báo tiếp theo vẫn còn chính xác sẽ bị thu hẹp lại tức là không thể dự báo chính xác về thời tiết trong một khoảng thời gian khá lớn Vấn đề được Lorenz tìm thấy ở đây ngày nay được gọi là sự hiện diện của tính chất hỗn độn trong các tiến trình lặp xác định.

Tiếp theo sau phát hiện của Lorenz, vào năm 1976 Robert May trong bài viết với tựa đề “Các mô hình toán học đơn giản với các hệ động lực phức tạp” đã đề cập đến một vấn đề tương tự Đó là sự hỗn độn của quá trình phát triển dân số trong tự nhiên, vốn được xem là đã được xác định rất rõ ràng và chi tiết nhờ mô hình dân số Verhulst xây dựng dưới đây.

Nếu ký hiệu:

- Pn là lượng dân số có được sau n năm phát triển Ta có quan hệ sau:

Để ý là nếu dân số phát triển đều, tức là R không đổi từ năm này sang năm khác, từ (1) ta sẽ có:

Pn+1 - Pn

R = , ∀n > 0 (1) Pn

N - Pn

R = r (2) N

Pn+1 - Pn N - Pn = r

Pn N

Pn+1 - Pn

N Pn = r Pn N

N

Pk

Pk = ta có: N

Pn+1 - Pn

= r(1 - Pn) Pn

sát phương trình này thì với r thay đổi trong phạm vi khá lớn, ông đã khám phá ra sự bất ổn định về tỉ lệ phát triển dân số theo môi trường Pk.

Các kết quả quan sát chi tiết cho thấy khi số lần lặp n trở nên khá lớn ta có các trường hợp sau:

- Với 0 < r < 2: Dãy (Pn) tiến đến 1, tức là sự phát triển dân số đạt mức tối đa

- Với 2 < r < 2,449: Dãy (Pn) dao động tuần hoàn giữa hai giá trị, tức là sự phát triển dân số biến động giữa hai mức xác định Hình vẽ (I.1) minh hoạ cho trường hợp r = 2.3 và Po

Dân số:

Thời gian Hình vẽ I.2 với r = 2.5

- Với r > 2.570: Dãy (Pn) không còn tuần hoàn nữa mà trở nên hỗn độn, theo nghĩa các giá trị của dãy được chọn một cách hoàn toàn xác định nhưng không có thể dự đoán chính xác Hình vẽ (I.3) minh hoạ trường hợp r = 3.0 và Po = 0.1

Vào năm 1976, Mitchell Feigenbaum đã nghiên cứu phương trình này một cách độc lập với May và York Feigenbaum xét phương trình dân số ở dạng đơn giản:

y = x(1- x)

và thể hiện nó trên sơ đồ phân nhánh Nếu gọi rn là giá trị tham số phát triển theo môi trường của mô hình Verhulst tại lần rẻ nhánh thứ n (là lúc ứng với rn đó, chu kỳ 2n trở nên không ổn định nữa và chu kỳ 2n+1 đạt được sự ổn định), thì tỷ số của các khoảng liên tiếp δn xác định bởi:

Sẽ tiến về giá trị δ = 4.669 khi n→∞ Tính chất này cũng được tìm thấy trong các tiến trình có chu kỳ lần lượt được nhân đôi và khác với tiến trình Verhulst Do đó giá trị này ngày nay được gọi là hằng số phổ dụng Feigenbaum (trong lý thuyết hỗn độn).

□ SỰ MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ CHIỀU VÀ ĐỘ ĐO TRONG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC EULIDE CỔ ĐIỂN:

Vào các năm 1890 & 1891, trong khi tìm kiếm các đặc trưng bất biến của các đối tượng hình học qua các phép biến đổi đồng phôi trong lý thuyết topo, các nhà toán học Peano & Hilbert đã phát minh ra các đường cong có tính chất rất đặc biệt Đó là các đường cong không tự cắt theo một quy luật được chỉ ra bởi Peano và Hilbert, chúng lấp đầy mọi miền hữu hạn của mặt phẳng Hình học

rn - rn-1 δn =

rn+1 - rn

ra nhiều tranh luận toán học trong các thập kỷ gần đây.

Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà toán học Thụy Điển Helge Koch đã đưa ra một loại đường cong khác với những đường cong của Peano và Hilbert Các đường cong Von Koch không lấp đầy mặt phẳng nhưng lại có độ dài thay đổi một cách vô hạn mặc dù chúng được chứa trong một miền hữu hạn Những đường cong như vậy có rất nhiều trong tự nhiên, ví dụ như các đường bờ biển, đường biên của một bông hoa tuyết, các đám mây, vv… Tất vả các đường cong này đều một tính chất đặc trưng là đồng dạng Nó được biểu hiện bởi sự giống nhau giữa một phần rất nhỏ của đường cong được phóng lớn với một phần khác lớn hơn của cùng một đường cong đó Tính chất này giữ một vị trí quan trọng trong việc hình thành nên các dạng cấu trúc vô cùng phức tạp của tự nhiên, nhưng vào thời Von Koch lại được hiểu biết rất sơ lược.

Chỉ với sự giúp đỡ của máy tính điện tử, bản chất của tính đồng dạng mới được nghiên cứu đầy đủ và chi tiết trong tác phẩm “Hình học phân hình trong tự nhiên” của Benoit B Mandelbrot xuất bản năm 1982 Trong tác phẩm của mình, Mandelbrot đã phân rã các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên thành các thành phần cơ bản gọi là fractal Các fractal này chứa đựng các hình dáng tự đồng dạng với nhiều kích thước khác nhau Mandelbrot đã tạo nên những bức tranh fractal trừu tượng đầu tiên và nhận thấy rằng đằng sau các đối tượng tự nhiên như các đám mây, các dãy núi, các khu rừng, vv… là các cấu trúc toán học tương tự nhau Chúng có khuynh hướng hài hoà về màu sắc và cân đối về hình thể Ngoài ra Mandelbrot cũng thiết lập cách xác định số chiều và độ dài của các dạng fractal cơ sở Chính với định nghĩa về số chiều này, bài toán số chiều không nguyên mới được giải quyết một cách hoàn chỉnh Có thể nói công trình của Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý thuyết hình học phân hình sau hơn nửa thế kỷ nghiên cứu liên tục.

I.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:

Kể từ khi ra đời một cách chính thức vào năm 1982 cho đến nay, lý thuyết hình học phân hình học phân hình đã phát triển một cách nhanh chóng.

Sau khi đặt nền móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot cùng với các nhà toán học khác như A Douady và J.Hubbard đã phát triển lý thuyết về các mặt fractal Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu trúc fractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia Ngoài ra các nghiên cứu cũng cố gắng tìm kiếm mối liên hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối liên hệ giữa

M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh các đối tượng trong tự nhiên Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một toà nhà, một cổ máy nhưng lại hoàn toàn không thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng quá lớn các đặc tả cần có Nếu như trong hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vuông,… thì lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vô số thuật toán để vẽ nên các fractal của tự nhiên.

Ngoài ra các công trình có tính chất lý thuyết, hình học phân hình còn được bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các khoa học chính xác khác, ví dụ dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát triển lý thuyết biến đổi phân hình áp dụng vào công nghệ nén ảnh tự động trên máy tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại

Hiện nay nhiều vấn đề, về lý thuyết phân hình vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài toán về các độ đo đa phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên.

I.3 CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QUÁT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:

Hiện nay có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học phân hình, bao gồm:

▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính.▪ Ứng dụng trong công nghệ nén ảnh.

▪ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản.

□ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH:

Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây, công nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi, anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó Công nghệ này đòi hỏi sự mô tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và công sức Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm nhẹ đáng kể nhờ các mô tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đối tượng tự nhiên Với hình học phân hình khoa học máy tính có trong tay một công cụ mô tả tự nhiên vô cùng mạnh mẽ.

các đối tượng Như đã biết, các ảnh bitmap hiển thị hết sức nhanh chóng, thích hợp cho các ứng mang tính tốc độ, các ảnh véctơ mất nhiều thời gian hơn để trình bày trên màn hình (vì phải được tạo ra bằng cách vẽ lại) nhưng đòi hỏi rất ít vùng nhớ làm việc Do đó ý tưởng kết hợp ưu điểm của hai loại đối tượng này sẽ giúp tiết kiệm nhiều thời gian cho người sử dụng các hệ phần mềm này trong việc tạo và hiển thị các ảnh có độ phức tạp cao.

□ ỨNG DỤNG TRONG CÔNG NGHỆ NÉN ẢNH:

Một trong những mục tiêu quan trọng hàng đầu của công nghệ xử lý hình ảnh hiện nay là sự thể hiện hình ảnh thế giới thực với đầy đủ tính phong phú và sống động trên máy tính Vấn đề nan giải trong lĩnh vực này chủ yếu do yêu cầu về không gian lưu trữ thông tin vượt quá khả năng lưu trữ của các thiết bị thông thường Có thể đơn cử một ví dụ đơn giản: 1 ảnh có chất lượng gần như chụp đòi hỏi vùng nhớ 24 bit cho 1 điểm ảnh, nên để hiện ảnh đó trên màn hình mày tính có độ phân giải tương đối cao như 1024x768 cần xấp xỉ 2.25Mb Với các ảnh “thực” 24 bit này, để thể hiện được một hoạt cảnh trong thời gian 10 giây đòi hỏi xấp xỉ 700Mb dữ liệu, tức là bằng sức chứa của một đĩa CD-ROM Như vậy khó có thể đưa công nghệ multimedia lên PC vì nó đòi hỏi một cơ sở dữ liệu ảnh và âm thanh khổng lồ.

Đứng trước bài toán này, khoa học máy tính đã giải quyết bằng những cải tiến vượt bậc cả về phần cứng lẫn phần mềm Tất cả các cải tiến đó dựa trên ý tưởng nén thông tin hình ảnh trùng lặp Tuy nhiên cho đến gần đây, các phương pháp nén thông tin hình ảnh đều có 1 trong 2 yếu điểm sau:

● Cho tỉ lệ nén không cao Đây là trường hợp của các phương pháp nén không mất thông tin.

● Cho tỉ lệ nén tương đối cao nhưng chất lượng ảnh nén quá kém so với ảnh ban đầu Đây là trường hợp của các phương pháp nén mất thông tin, ví dụ chuẩn nén JPEG.

Các nghiên cứu lý thuyết cho thấy để đạt một tỷ lệ nén hiệu quả (kích thước dữ liệu nén giảm so với ban đầu ít nhất hàng trăm lần), phương pháp nén mất thông tin là bắt buộc Tuy nhiên một vấn đề đặt ra là làm thế nào có được một phương pháp nén kết hợp cả tính hiệu quả về tỷ lệ nén lẫn chất lượng ảnh so với ảnh ban đầu? Phương pháp nén ảnh phân hình được áp dụng gần đây bởi Iterated System đáp ứng được yêu cầu này.

Như đã biết, với một ánh xạ co trên một không gian metric đầy đủ, luôn

“điểm” bất động xr. Để ý rằng với một ánh xạ co, ta luôn tìm được điểm bất động của nó bằng cách lấy một giá trị khởi đầu rồi lặp lại nhiều lần ánh xạ đó trên các kết quả thu được ở mỗi lần lặp Số lần lặp càng nhiều thì giá trị tìm được càng xấp xỉ chính xác giá trị của điểm bất động Dựa vào nhận xét này, người ta đề nghị xem ảnh cần nén là “điểm bất động” của một họ ánh xạ co Khi đó đối với mỗi ảnh chỉ cần lưu thông tin về họ ánh xạ thích hợp, điều này làm giảm đi rất nhiều dung lượng cần có để lưu trữ thông tin ảnh.

Việc tìm ra các ảnh co thích hợp đã được thực hiện tự động hoá nhờ quá trình fractal một ảnh số hoá do công ty Iterated System đưa ra với sự tối ưu về thời gian thực hiện Kết quả nén cho bởi quá trình này rất cao, có thể đạt tỷ lệ 10000: 1 hoặc cao hơn Một ứng dụng thương mại cụ thể của kỹ thuật nén phân hình là bộ bách khoa toàn thư multimedia với tên gọi “Microsoft Encarta” được đưa ra vào tháng 12/1992 Bộ bách khoa này bao gồm hơn 7 giờ âm thanh, 100 hoạt cảnh, 800 bản đồ màu cùng với 7000 ảnh chụp cây cối, hoa quả, con người, phong cảnh, động vật,… Tất cả được mã hoá dưới dạng các dữ liệu fractal và chỉ chiếm xấp xỉ 600Mb trên một đĩa compact.

Ngoài phương pháp nén phân hình của Barnsley, còn có một phương pháp khác cũng đang được phát triển Phương pháp đó do F.H.Preston, A.F.Lehar, R.J.Stevens đưa ra dựa trên tính chất của đường cong Hilbert Ý tưởng cơ sở của phương pháp là sự biến đổi thông tin n chiều về thông tin một chiều với sai số cực tiểu Ảnh cần nén có thể xem là một đối tượng 3 chiều, trong đó hai chiều dùng để thể hiện vị trí điểm ảnh, chiều thứ ba thể hiện màu sắc của nó Ảnh được quét theo thứ tự hình thành nên đường cong Hilbert chứ không theo hàng từ trái sang phải như thường lệ để đảm bảo các dữ liệu nén kế tiếp nhau đại diện cho các khối ảnh kế cạnh nhau về vị trí trong ảnh gốc Trong quá trình quét như vậy, thông tin về màu sắc của mỗi điểm ảnh được ghi nhận lại Kết quả cần nén sẽ được chuyển thành một tập tin có kích thước nhỏ hơn rất nhiều vì chỉ gồm các thông tin về màu sắc Phương pháp này thích hợp cho các ảnh có khối cùng tông màu lớn cũng như các ảnh dithering.

□ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC CƠ BẢN:

Có thể nói cùng với lý thuyết topo, hình học phân hình đã cung cấp cho khoa học một công cụ khảo sát tự nhiên vô cùng mạnh mẽ như đã trình bày trong phần I.1, vật lý học và toán học thế kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của tính hỗn độn trong nhiều quá trình có tính quy luật của tự nhiên Từ sự đối đầu đó, trong những thập niên tiếp theo đã hình thành một lý thuyết mới chuyên nghiên cứu về các hệ phi tuyến, gọi là lý thuyết hỗn độn Sự khảo sát các bài toán phi tuyến đòi hỏi rất nhiều công sức trong việc tính toán và thể hiện các quan sát một cách trực quan, do đó sự phát triển của lý thuyết này bị hạn chế rất nhiều Chỉ gần đây với sự ra đời của lý thuyết fractal và sự hỗ trợ đắt lực của

xỉ liên tiếp của Newton trong giải tích số,… Các kết quả thu được giữ vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực tương ứng.

I.4 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH:

I.4.1 ĐỘ ĐO FRACTAL:

□ Số chiều Hausdorff của một tập hợp A⊂ Rn:

Cho trước các số thực dương s và ε Gọi hs (A) là độ đo Hausdorff chiều của tập A thì hs (A) được xác định bởi:

Hs (A) = lim hsε (A) ε→0

∞ khi s < DH(A) Giá trị DH(A) được gọi là số chiều Hausdorff của tập A.

Nói cách khác:

DH(A) thì hS(A) có thể là một số thực dương 0 hay ∞.

Định nghĩa này giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết hình học phân hình hiện đại nhưng không có tính thực tiễn vì việc xác định số chiều theo định nghĩa này rất phức tạp ngay cả với trường hợp tập A rất đơn giản Do đó, xuất phát từ định nghĩa này, Mandelbrot đã đưa ra khái niệm số chiều fractal tổng quát dễ xác định hơn với ba dạng đặc biệt áp dụng cho từng loại đối tượng (tập A) cụ thể Sau đây chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa về các dạng đặc biệt đó, đồng thời chỉ ra mối liên hệ giữa chúng với định nghĩa số chiều của Hausdorff.

∞ hs

ε (A) = inf Σ diam(Ui)s i=1

Cho trước một cấu trúc tự đồng dạng được chia thành N phần, hệ số thu nhỏ của mỗi phần so với cấu trúc ban đầu là r Ký hiệu DS là đại lượng xác định bởi:

◊ Xét một khối lập phương được chia thành 27 khối lập phương nhỏ hơn với tỷ lệ đồng dạng 1/3 Ta có số chiều của tự đồng dạng của khối lập phương được xác định bởi:

Hai ví dụ trên cho thấy định nghĩa số chiều tự đồng dạng phù hợp với định nghĩa thông thường của hình học Euclide.

□ SỐ CHIỀU COMPA:

Số chiều được xác định theo định nghĩa này được áp dụng cho các đường cong không phải là các đường cong tự đồng dạng hoàn toàn (như các đường bờ biển, các con sông,…), nhưng có thể sử dụng nhiều đơn vị khác nhau để xác định độ dài của chúng

log 1/r

D

D

27log

log u = d log (1/s + b), b là hệ số tự do.Khi đó số chiều compa DC được xác định bởi:

DC = 1 + dVí dụ:

Xét đường cong 3/2 được xây dựng theo kỹ thuật initiator / generator chỉ ra bởi hình vẽ sau:

Biểu diễn các đại lượng có liên quan trên hệ toạ độ log/log đã được trình bày ở trên với chú ý sau bước tạo sinh thứ k, đường cong gồm 8k đoạn, mỗi đoạn có độ dài s = 1 / 4k nên độ dài của đường cong sẽ là 8k.1/4k = 2k

Khi đó giá trị trên trục hoành là log41 / 1 / 4k = k ứng với giá trị trên trục tung là: log42k = k / 2 Do đó ta xác định được d = 0.5.

generator

Xét một cấu trúc fractal bất kỳ Lần lượt đặt cấu trúc này lên một dãy các

lưới cĩ kích thước ơ lưới s giảm liên tiếp theo tỉ lệ ½ Gọi N(s) là các ơ lưới cĩ

kích thước s cĩ chứa một phần cấu trúc Ta xây dựng hệ toạ độ log/log như sau:- Trục hồnh biểu thị giá trị của đại lượng log2 (1/s).

- Trục tung biểu thị giá trị của đại lượng log2 N((s)).

- DB là hệ số gĩc của đường thẳng hồi qui đối với tập hữu hạn các điểm (s, N(s)) của hệ toạ độ.

: đóDo(A)bD s khi(A)bD s khi0s (A)N

Tuy nhiên 2 định nghĩa số chiều này không phảI luôn cho kết quả giống nhau Ví dụ xét tập các số hữu tỷ trong khoảng đóng [0, 1] Tập này có số chiều box-counting là 1 trong khi số chiều Hausdorff tương ứng bằng 0 Kết quả này còn có thể mở rộng cho tập con trù mật A của Rn, vớI DB(A) = n và DH(A) ≠ n.

I.4.2 CÁC HỆ HÀM LẶP IFS:□ Không gian ảnh Hausdorff:

Giả sử (X, d) là một không gian mtric đầy đủ Ở đây X được giới hạn bằng R2 và d là metric Euclide Ký hiệu H(X) là không gian các tập con compact khác rỗng của X Ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 3:

Khoảng cách Hausdorff giữa hai điểm A và B ∈ H(H) được xác định bởi:Với các định nghĩa trên ta có định lý:

Định lý về sự tồn tại của các IFS Fractal:

Ta có (H(X), h) là một không gian metric đầy đủ Hơn nữa nếu A ∈H(X) { d(x,y) : y B }

{ d(x,B) : x A }max

{ d(A,B),d(B,A }max

B)h(A, =

A = [ x ∈ X : ∃ một dãy Cauchy [ xn∈ An] hội tụ về x]

□ Ánh xạ co trên không gian Hausdorff:Bổ đề 1:

Giả sử w: X → X là một ánh xạ co liên tục trên không gian metric (X, d)

Khi đó w liên tục.Chứng minh:

Cho s > 0 Gọi s là hệ số co của w Khi đó: d(w(x), w(y)) ≤ s.d(x,y) < ε

Khi và chỉ khi:

D(x,y) < δ = ε / s

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 2:

Giả sử w: X → X là một ánh xạ liên tục trên không gian metric(X,d)

Khi đó w ánh xạ không gian H(X) lên chính nó.Chứng minh:

Giả sử S là một tập con compact khác rỗng của X Khi đó ta có: w(S) = [w(x) : x ∈ S] là một tập khác rỗng Ta chứng minh w(S) compact Xét [ yn = w(xn) ] là một dãy vô hạn điểm của w(S) Khi đó [xn] cũng là một dãy vô hạn điểm trong S Vì S compact nên tồn tại một dãy con [xn ] hội tụ về một điểm x’∈ S, nhưng do tính liên tục của w suy ra được [ yNn = f (xNn ) ] là một dãy con của [ yn ] hội tụ về y’ ∈ w(S) Vậy w(S) compact.

≤ s.max [ d(B, C), d(C, B) ] = s.h(B, C)

Từ đĩ suy ra điều phải chứng minh.

Bổ đề 4 sau đây cung cấp một cách thức cơ bản để nối kết các ánh xạ co trên (H(X), h) thành các ánh xạ co mới trên (H(X), h):

Vậy W là ánh xạ co với N = 2.Giả sử khẳng định đúng với N = k Ta chứng minh khẳng định đúng với N = k + 1 Thật vậy, ta cĩ:C)s.h(B,

C)}.h(B,2s , C).h(B,1s { max

(C))}2w ,(B)2 h(w, (C))1w ,(B)1 h(w{ max

(C))2w(C)1w ,(B)2w(B)1 h(w W(C)), h(W(B)≤≤≤∪∪=(B)1kwT(B) W(B)

:viết thểcóVậy ns kn 1maxTs cosố hệvớiH(X)trênco xạánhmột làTcótanạpquithuyết giảdothìnw k1nTĐặt (B)1kw(B)nw k1n(B)nw 1k1nW(B)+∪=≤≤==∪=+∪=∪=+=∪= 

Do đĩ theo nguyên lý qui nạp bổ đề 4 được chứng minh xong.

□ CÁC HỆ HÀM LẶP IFS (ITERATED FUNCTION SYSTEM ):Định nghĩa 1:

Một hệ hàm lặp gồm một khơng gian metric đầy đủ (X, d) và một bộ hữu hạn các ánh xạ co wn với hệ số co tương ứng sn, n = 1, 2,…, N Ta ký hiệu IFS thay cho cụm từ hàm lặp Một IFS được ký hiệu bởi [X; wn, n = 1, 2,…, N] và hệ số co s = max sn

: vớiH(X)Ađộngđiểm bấtmột nhất duycónày xạÁnhH(X)CB, , C)B,s.h( W(C)), h(W(B)

: làtức ,cosố hệvớih(d)), (H(X)đủđầymetricgian khôngtrênco xạánhmột làH(X)Bđótrong(B)nw N1n W(B)

: bởiđịnhxácH(X)H(X): Wđổi biến phépđóKhi s cosố hệvớiN}, 1,2,n,nw{X; IFSmột Xét

=

R: Là số chiều dài của mỗi đoạn.

Chúng ta bắt đầu bằng một initiator, nó có thể là một đoạn thẳng hay một đa giác Mỗi cạnh của initiator được thay thế bởi một generator, mà là tập liên thông của các đoạn thẳng tạo nên bằng cách đi từ điểm bắt đầu đến điểm cuối của đường thay thế (Thông thường các điểm của generator là một lưới vuông hay một lưới tạo bởi các tam giác đều) Sau đó mỗi đoạn thẳng của hình mới được thay thế bởi phiên bản nhỏ hơn của generator Quá trình này tiếp tục không xác định được Sau đây là một số đường Von Kock quan trọng:

□ ĐƯỜNG HOA TUYẾT VON KOCK-NOWFLAKE:

Đường hoa tuyết được xây dựng bởi nhà toán học Helge Von Kock vào năm 1904 Ở đây chúng ta bắt đầu với initiator là một đoạn thẳng Còn generator được phát sinh như sau:

Generator của đường von kock

Chúng ta chia đoạn thẳng thành ba phần bằng nhau Sau đó thay thế một phần ba đoạn giữa bằng tam giác đều và bỏ đi cạnh đáy của nó Sau đó chúng ta lặp lại quá trình này cho mỗi đoạn thẳng mới Nghĩa là chia đoạn thẳng mới thành ba phần bằng nhau và lặp lai các bước như trên.

Ta thấy quá trình xây dựng là tự đồng dạng, nghĩa là mỗi phần trong 4 phần ở bước thứ k là phiên bản nhỏ hơn 3 lần của toàn bộ đường cong ở bước thứ (k–1).

Như vậy mỗi đoạn thẳng của generator có chiều dài R = 1/3 (giả sử chiều dài đoạn thẳng ban đầu là 1) và số đoạn thẳng của generator N = 4 Do vậy số chiều fractal của đường hoa tuyết là:

Để viết một đoạn mã cho việc phát sinh ra đường hoa tuyết, chúng ta cần phải trình bày về đồ hoạ con rùa (turtle graphic) Loại đồ hoạ này gồm một số hàm thao tác chính sau:

RND

/* EDIT CODE */#include”stdafx.h”

#include”math.h”#define PI 3.141593

double Point(double X1, double Y1, double X2, double Y2)double Theta,Temp=180/PI;

if((X2-X1)= = 0)if(Y2 > Y1)

Theta= 90;else

Theta = 270;else

Theta= atan((Y2 -Y1) / (X2 -X1)) * Temp;if (X1 > X2)

Theta += 180;return Theta;

♦ Hàm Turn (Angle, Turtle-Theta):

Hàm này cộng thêm vào Turtle-Theta một góc Angle (tức là quay con

rùa đi một góc theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu Angle > 0, còn nếu Angle < 0 thì quay cùng chiều kim đồng hồ) Đoạn mã sau đây minh hoạ cách

cài đặt:

void Turn(double Angle, double &Turtle_Theta)Turtle_Theta+=Angle;

♦ Hàm Step (Turtle-X, Turtle-Y, Turtle-R, Turtle-Theta):

Hàm này di chuyển con rùa đi một bước Chiều dài của mỗi bước là Turtle-R Ở đây hàm sử dụng vị trí con rùa hiện tại có toạ độ (Turtle-X, Turtle-Y) và góc định hướng là Turle-Theta để xác định vị trí toạ độ mới sau khi di chuyển một bước Đoạn mã sau đây minh hoạ cho cách cài đặt:

void Step(double &Turtle_X, double &Turtle_Y,

double Turtle_R, double Turtle_Theta)Double Temp=PI/180;

Turtle_X+=Turtle_R*cos(Turtle_Theta* Temp);Turtle_Y+=Turtle_R*sin(Turtle_Theta* Temp);

{

//Phát sinh họ đường Vonkock:

void Generator(CDC *pDC,double X1, double Y1, double X2, double Y2, int Level,int NumLines,double LineLen,double Angles[])

double *XPoints,*YPoints; int I;

double Turtle_Theta,Turtle_X, Turtle_Y, Turtle_R;XPoints = new double[NumLines +1];

YPoints = new double[NumLines +1]; Level;

Turtle_R=sqrt((X2-X1)* (X2-X1)+ (Y2-Y1)* (Y2-Y1))*LineLen;XPoints[0]=X1;

Turn(Angles[0],Turtle_Theta);for (I=1; I<NumLines; ++I)

Step(Turtle_X, Turtle_Y, Turtle_R, Turtle_Theta); XPoints[ I ]=Turtle_X;

YPoints[ I ]=Turtle_Y;

Turn(Angles[ I ],Turtle_Theta);if (Level)

for (I=0; I<NumLines; I++) X1=XPoints[ I ];

Y1=YPoints[ I ];X2=XPoints[ I +1]; Y2=YPoints[ I +1];

Generator(pDC,X1,Y1,X2,Y2,Level, NumLines,LineLen,Angles); else

for (I= 0; I<NumLines; I++ )

{

Hàm này cũng có thể áp dụng cho việc phát sinh ra các đường khác cùng họ Chẳng hạn sau đây là một minh hoạ cho hình vẽ trình bày ở mức 3 của đường Von Kock-Snowflake.

Hình : Đường Von Kock-Snowflake mức 3 Lưu đồ của đoạn mã ở trên như sau:Bắt đầu

Khởi động initiator, Level, Generator

Thay Thế mỗi đoạn thẳng bằng Generator

Đ

Mỗi lúc chúng ta thay thế đoạn thẳng bởi generator, chúng ta dùng 2 mảng XPoints, YPoints để tạo mảng các vị trí toạ độ và sau đó vẽ đoạn thẳng từ cặp tọa độ thứ nhất đến thứ hai, từ thứ hai đến thứ ba, v.v… cho đến khi chúng ta cần vẽ hết số đoạn cần vẽ NumLines (trong trường hợp đường hoa tuyết thì NumLines = 4) Để phát sinh ra các cặp tọa độ chúng ta sử dụng các lệnh đồ họa con rùa như đã mô tả ở trên.

Đầu tiên, hàm –Generator giảm Level đi một đơn vị Sau đó chúng xác định các toạ độ của các điểm cần vẽ của generator bằng cách trước tiên tính chiều dài của mỗi đoạn thẳng của generator cần thay thế (Line-Len chính là 1/R), sau đó lưu trữ hai đầu mút của đoạn thẳng cần thay thế, rồi tính góc con rùa, sau đó di chuyển con rùa tới toạ độ đầu của đoạn thẳng này, và cuối cùng quay đi một góc thích hợp (có lúc góc quay là 00 ).

Sau đó chúng ta lặp lại quá trình sau để xác định các toạ độ của các đoạn thẳng của generator: di chuyển con rùa đi một bước, lưu trữ vị trí mới của con rùa và quay đi một góc thích hợp Ở đây góc quay được lưu trữ trong mảng Angle Đối với đường hoa tuyết giá trị của mảng Angle là : {0, 60, -120, 0}.

Kế tiếp hàm –Generator kiểm tra xem mức Level có lớn hơn 0 chưa:Nếu có hàm bắt đầu lặp, xác định các toạ độ các đầu mút của đoạn thẳng mới trong các mảng toạ độ vừa mới tạo thành và sau đó gọi đệ quy hàm –Generator để thay thế mỗi đoạn bằng một generator.

Nếu Level bằng 0, hàm sẽ vẽ các đoạn thẳng được lưu trong các mảng toạ độ.

□ ĐƯỜNG VON KOCK-GOSPER:

Một dạng khác của đường Von Kock được phát hiện bởi W.Gosper Trong đường mới này, initiator là một lục giác đều và generator chứa ba đoạn

Ta thấy đường này có chút khác biệt so với đường hoa tuyết ở chổ đoạn thẳng được thay thế không nằm trên bất kỳ các đường nào của lưới.

Để tính số chiều fractal của đường Gosper trước hết ta tính chiều dài mỗi đoạn của generator Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1.

AC = R => AE = 3AC = 3R

AB2 = AE2 + EB2 – 2AE.EB.Cos(600)Ta có:

Mà AB = 1, AE = 3R, EB = AC = R

Vì N = 3 nên số chiều fractal của đường Gosper là:

Hình sau là mức đầu tiên của đường Gosper.

3log ≈=

D

Đoạn mã đối với đường Gosper giống như đoạn mã của đường hoa tuyết, trong đó:

NumLines = 3

Mảng Angle có giá trị sau: {19.1, -60.0 }

Ngoài ra, đường Gosper có các mức khác nhau thì tương ứng với các hình dạng khác nhau.

Hình sau là mức 3 của đường Gosper.

Hình : Đường Gosper ở mức 3 □ ĐƯỜNG VON KOCK BẬC HAI 3-ĐOẠN:

Một vài đường cong kế tiếp được gọi là bậc hai (quadric) vì initiator là

Hình sau sẽ cho chúng ta một generator:

Để tính số chiều fractal của đường này trước hết ta tính số chiều của mỗi đoạn của generator Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1:

Ta có:

Đặt AC = RAB2 = AE2 + EB2

Mà AB = 1, AE = 2AC = 2R, EB = R => 1 = 4R2 + R2

EB2 = EA2 + AB2 – 2EA.AB.cosα

Vì N = 3 nên số chiều fractal là:

Hình sau là mức đầu tiên của đường cong Von Kock bậc hai 3-đoạn:

3log ≈=

D

Đoạn mã đối với đường 3-đoạn giống như đoạn mã của đường hoa tuyết.Trong đó:

NumLines = 3

Mảng Angle có giá trị sau: {26.56, -90.0 }

Ngoài ra, đường Von Kock 3-đoạn có các mức khác nhau thì tương ứng với các hình dạng khác nhau.

Hình sau là mức 4 của đường Von Kock 3-đoạn.

□ ĐƯỜNG VON KOCK BẬC HAI 8-ĐOẠN:

Một vài đường cong kế tiếp sẽ giúp sử dụng một lưới hình vuông và quay các góc đi 900 Chúng đều hơn một chút so với đường cong trước bởi vì đoạn thẳng được thay thế sẽ rơi vào đường nằm ngang ở giữa lưới Hình sau cho chúng ta thấy generator của nó:

Giả sử chiều dài từ đầu nút của generator đến đầu mút khác là 1, thì chiều dài mỗi đoạn thẳng của generator R = 1/4.

Bây giờ chúng ta có thể vẽ các generator khác nhau, giới hạn duy nhất là đường cong không tự đè lên nhau và không tự giao nhau Nếu chúng ta muốn đường cong có số chiều lớn nhất có thể có, thì chúng ta cần tìm generator với N lớn nhất Mandelbrot đã định giá trị N lớn nhất có thể có là:

Với 1/R là số chẵn

Với 1/R là số lẻ.

Do vậy R = 1/4 nên Nmax = 8 Số chiều fractal là:

Hình sau là mức đầu tiên của đường cong:

Đoạn mã đối với đường cong 8-đoạn giống như đoạn mã của đường hoa tuyết, trong đó:

NumLine = 8

Mảng Angle có giá trị sau: {0, 90, -90, -90, 0, 90, 90, 0 }

Ngoài ra, đường Von Kock 8-đoạn có các mức khác nhau thì tương ứng với các hình dạng khác nhau.

Hình sau là mức 5 của đường Von Kock 8-đoạn.

D

□ ĐƯỜNG VON KOCK BẬC HAI 18-ĐOẠN:

Hình sau là generator của đường Von Kock bậc hai 18-đoạn:

Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1, thì chiều dài mỗi đoạn thẳng của generator là R = 1/6 Khi đó Nmax= 18 Do đó số chiều fractal là:

Hình sau là mức đầu tiên của đường cong Vonkock bậc hai 18 đoạn:6131

18log ≈=

D

Đoạn mã đối với đường 18-đoạn giống như đoạn mã của đường hoa tuyết, trong đó:

Hình sau là mức 5 của đường Von Kock 18-đoạn:

□ ĐƯỜNG VON KOCK BẬC HAI 32-ĐOẠN:

Hình sau là generator của đường Von Kock bậc hai 32-đoạn:

Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1, thì chiều dài mỗi đoạn thẳng của generator là R = 1/8 Khi đó Nmax = 32 Do đó số chiều fractal là:

Hình sau là mức đầu tiên của đường cong:6667.18log

D

Đoạn mã đối với đường 32-đoạn giống như đoạn mã của đường hoa tuyết, trong đó:

NumLine = 32

Mảng Angle có giá trị sau:

Ngoài ra, đường Von Kock 32-đoạn có các mức khác nhau thì tương ứng với hình dạng khác nhau.

Hình sau là mức 4 của đường VonKock 32-đoạn:

,0,90,90,90,0,90,90,90,0,90,90,90,90,90,90

Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút khác là 1, thì chiều dài mỗi đoạn thẳng của generator là R = 1/10 Khi đó Nmax = 50 Do đó số chiều fractal là:

Chúng ta thấy generator chứa nhiều đoạn thẳng hơn, do đó nó trở nên kém rõ ràng hơn trong cách thức chứa đường Quá trình được sắp xếp và sửa sai.

Nếu chúng ta sử dụng generator để thay thế các đoạn thẳng cắt nhau theo một góc 900, thì chúng ta không thể có bất cứ phần nào của generator vượt ra ngoài biên của ô vuông được tạo ra bởi các đường chấm chấm (Như ở hình vẽ trên) Điều này đủ để tránh tự đè lên nhau, nhưng không ngăn cản việc tự giao nhau Để đảm bảo ngăn chặn tự giao nhau, chúng ta nối một cách hình thức mỗi cặp cạnh song song của ô vuông Nếu generator tiếp xúc với cạnh của ô vuông ở cùng một điểm về cùng một bên của một cặp, thì sự tự giao nhau sẽ xảy ra Cuối cùng, cách dễ dàng để tạo ra generator là chia nó ra làm hai phần mà đối xứng với nhau, mỗi phần bắt đầu ở mút của đoạn được thay thế và kết thúc ở điểm giữa của điểm này Do đó sự ràng buộc ở đây là:

◊ Tạo một nửa generaor từ một đầu mút của đoạn được thay thế và kết thúc ở điểm giữa của đoạn này, chứa Nmax/2 đoạn.

◊ Không đi ra ngoài ô vuông.

◊ Nếu generator giao với một điểm nằm trên một cặp cạnh song song với nhau của ô vuông, thì nó không thể giao nhau ở một điểm tương ứng của cặp cạnh khác.

D

Hình sau là mức đầu tiên của đường cong Von Kock bậc hai 50 đoạn:

tuyết, trong đó:NumLine = 50

Mảng Angle có giá trị sau:

{ 0, 90, -90, -90, 0, 0, 90, 0, 0, 0, 90, 90, 0, 0, 90, 0, -90, 0, 0, 0, -90, -90, 0, 0, 90, 0, -90, 0, 0, 90, 90, 90, 0, 0, 0, 90, 0, -90, 0, 0, -90, -90, 0, 90, 0, -90, 0, 0, 90, 90, 0 }

Ngoài ra, đường Von Kock 50-đoạn có các mức khác nhau thì tương ứng với các hình dạng khác nhau.

Hình sau là mức 3 của đường Von Kock 50-đoạn:

□ GENERATOR PHỨC TẠP:

Generator này được khám phá bởi Mandelbrot Cơ sở của nó là một lưới các tam giác đều Nếu generator chứa các đoạn nối các điểm 0, 1, 2, 3, 4 và 11 thì nó sẽ trở nên đơn giản hơn Tuy nhiên mô hình nhỏ hơn của generator đơn giản này được chèn vào giữa điểm 4 và 9, sau đó hai đoạn thẳng bằng nhau được thêm vào để hoàn tất generator.

Do có hai độ dài khác nhau được sử dụng, chúng ta sử dụng biểu thức sau để xác định số chiều fractal:

Thật vậy:Ta có:

CD2 = CB2 + DB2 – 2.CB.DB.cos600Mà:

CB = 1/3DB = 2/3

R

Bên phải đoạn thẳng gốc.Bên trái đoạn thẳng gốc.

Bên phải đoạn thẳng gốc (nhưng với generator đảo ngược).

DD

void ComplexVonKockGenerator( CDC *pDC,double X1,double Y1[],double X2,double Y2,int Level,int Type,int Sign,int NumLines,double LineLen,double Angles[])

double * XPoints ,*YPoints;int I;

double Thurtle_Theta,Thurtle_X,Thurtle_Y,Thurtle_R;int Split=5;

double AngleSplit=60;

XPoints = new double[NumLines + 1];YPoints = new double[NumLines + 1];Switch(Type)

Sign*= -1;break;case2:

Sign*= -1;Case3:

Double Temp; Temp = X1; X1=X2;

X2=Temp; Temp = Y1; Y1 = Y2;

}}