(SKKN mới NHẤT) SKKN một số bài toán về cực trị trong hình học giải tích 12

SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 I) LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12 nói riêng Hình học giải tích nói chung, bên cạnh tốn quen thuộc như: Lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu… ta gặp nhiều tốn lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu hay tìm điểm thỏa mãn số tính chất đặt biệt hay điều kiện cực trị náo Nói chung dạng tốn khơng khơng phải dễ, có chưng trình nâng cao toán thi Đại học cao đẳng hay thi học sinh giỏi Trong trình trực tiếp giảng dạy mơn tốn tơi nhận thấy đề tài tương đối hay, lơi em học sinh giỏi Tuy nhiên việc tiếp cận vấn đề số học sinh chưa có hiệu thường hay nản chí Tơi nhận thấy hểu chất vận dụng linh hoạt kiến thức hình học thơng thường, biết vận dụng tính chất véc tơ, … ta đưa toán tưởng chừng phức tạp khó thành tốn quen thuộc với học sinh Với tinh thần trên, nhằm giúp em học sinh hứng thú hơn, tạo cho em niềm tin, niềm đam mê sáng tạo, tự học, tự nghiên cứu giải tốn Hình học, tơi trình bày chun đề: “ Một số tốn cực trị hình học giải tích 12” II) THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi:  Học sinh trang bị kiến thức  Học sinh hào hứng trước toán lạ khó  Khi thực chuyên đề, học sinh có nhiều chuyển biến thái độ kết học tập Khó khăn:  Đa số học sinh học yếu chưa có nhiều hứng thú với mơn hình học  Nhiều học sinh khơng nắm vững kiến thức hình học chưa hiểu rõ véc tơ, mối quan hệ giả thuyết tốn Giáo viên: Ngũn Ngọc Hờng – Tở Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12  Giáo viên cần nhiều thời gian để chuẩn bị dạng tập III NỘI DUNG Cơ sở lý luận: Không cung cấp cho học sinh kiến thức mà định hướng suy luận khả tư Giúp học sinh biết nâng cao, mở rộng toán tổng quát hóa tốn cách tự nhiên Trong chun đề này, chủ yếu sử dụng phương pháp tọa độ không gian để giải vấn đề đặt Nội dung: 2.1 Nhắc lại số kiến thức bản: [1];[2];[3] Đặt f(x;y;z) = ax + by + cz +d f(A) = f(x1;y1;z1) = ax1 + by1 + cz1 +d +)Nếu f(A).f(B) < A B nằm khác phía so với (P) +)Nếu f(A).f(B) > A b nằm phía so với mặt phẳng (P) +)f(A) = A nằm (P) , dấu ↔ điểm A,B,C thẳng hàng A nằm BC , dấu ↔ điểm A,B,C thẳng hàng A nằm BC Dấu “=” Dấu “=” hướng hướng 2.2 Một số toán cực trị khoảng cách [2] Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) hai điểm A, B khơng nằm (P) Tìm điểm M (P) cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị bé  Phương pháp giải: Xét hai trường hợp: *) TH 1: Hai điểm A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P) Khi đó: +) Lập phương trình đường thẳng AB +) Tìm giao điểm M AB với mặt phẳng (P), M điểm cần tìm *) TH 2: Hai điểm A,B nằm phía so với mặt phẳng (P) Khi đó: +) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 +) Tìm giao điểm M A’B với mặt phẳng (P), M điểm cần tìm Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P): x + 2y - z - = điểm A(1;0;2); B(3; 2; 0) Điểm M (a;b;c) mặt phẳng (P) cho: MA + MB đạt giá trị bé nhất, tổng a + b bằng: A B C.5 D.6 Bài giải: Nhận xét: A, B khác phía so với (P) nên MA + MB ≥ AB Dấu sảy M nằm AB, hay M giao điểm AB với mặt phẳng (P) + )Đường thẳng AB có vtcp nên có ptts: +) M giao điểm AB với (P)  M(2;1;1)  a + b = nên chọn A Ví dụ 2: Cho số thực x, y, z thoả mãn: x + y + z - = (1) GTNN biểu thức Q nằm miền nào? Q= A (12;16) B (16;20) C (20;24) D (24;28) Lời giải: Viết lại biểu thức Q dạng: Q= +) Xét điểm A(1;2;3), B(-2;5;3) điểm M(x;y;z) +) Từ giả thuyết ta có: Q = MA + MB với M  (P) : x + y + z - =0 Bài tốn quy : “Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng (P) để tổng khoảng cách từ M đến hai điểm A,B đạt GTNN.Tìm GTNN đó” +) Nhận xét: hai điểm A, B nằm phía mặt phẳng (P) +) Gọi H hình chiếu A mặt phẳng (P) H(0;1;2) +) A’ đối xứng với A qua (P)  H trung điểm AA’  A’(-1;0;1) +) Đường thẳng A’B có vtcp nên có ptts: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 +) M = A’B  (P)  M(-3/2;5/2;2)  Vậy Q = , chọn B Bài toán 2: Cho mặt phẳng (P) hai điểm A, B Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng (P) cho đạt giá trị lớn Phương pháp giải: Xét trường hợp Trường hợp 1: A B nằm phía so với mặt phẳng (P) - Mọi điểm M thuộc (P) ta ln có: Dấu sảy M giao điểm AB với (P) Trường hợp 2: A B khác phía so với mặt phẳng (P) - Gọi A’ đối xứng với A qua (P) A’ B phía với (P) - Gọi N giao điểm A,B với mặt phẳng (P) đó, với M thuộc (P) ta ln có: Dấu “=” M trùng với N Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P): x – 2y – z + = điểm: A(2;-1;0), B(0;4;1) Điểm M (P) cho A lớn Tích thành phần tọa độ M là: B C D Giải: Nhận xét: A và B khác phía so với mặt phẳng (P) Gọi B’ đối xứng với B qua (P), M giao điểm B’A (P) M điểm cần tìm +) Đường thẳng BB’ qua B, vng góc với (P) nên có phương trình: + Vậy chọn D Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Bài Tốn 3: Trong khơng gian, cho hai điểm A, B đường thẳng d Tìm điểm M d cho tổng khoảng cách MA + MB bé *) Phương pháp giải: Xét trường hợp: TH1: AB vng góc với d ( Dấu hiệu nhận biết: ) Phương pháp: Gọi H hình chiếu A +) Dấu “=” sảy TH2: AB khơng vng góc với d: (Nhận biết bởi: ) +) Phương pháp: Lấy M d theo tham số t, từ biểu diễn tổng khoảng cách MA + MB theo t ta tốn tìm GTNN hàm số Ví dụ 4: Cho đường thẳng , điểm A(2;1;3), B(1;-1;0), C(3;0;1) a Điểm M(a;b;c) d cho MA + MB bé nhất, giá trị T = a + b + c A B.2 C -2 D -3 b Điểm M d T = MB + MC đạt giá trị nhỏ bao nhiêu: A B C D Giải: B a) Ta có: Gọi H hình chiếu A lên d A +) d M Dấu “=” sảy H *) Tìm H: Vậy nên chọn B Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 b) Nhận xét: BC d khơng vng góc với nhau: Xét vec tơ: +) Ta có: Đẳng thức sảy hướng Mà: Dấu “=” sảy Vậy T = , chọn C Bài toán 4: Cho hai đường thẳng d và d’ chéo Tìm điểm M d, N d’ cho MN ngắn nhất *) Phương pháp giải: Vì d và d’ chéo nhau, nên MN ngắn nhất và chỉ MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’ +) Để tìm M và N ta lần lượt biểu diễn M và N theo hai tham số t1, t2 rồi áp dụng các điều kiện vuông góc của MN đối với đường thẳng, từ đó tìm được các giá trị t1; t2 và suy tọa độ các điểm M, N Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng và Hai điểm M d, N d’ cho MN ngắn nhất, tích cao độ M N là: A B C 12 D.20 Giải: +) Đường thẳng d có vtcp Đường thẳng d’ có vtcp và qua điêm A(1;2;0) và qua điêm B(2;-1;3) Vậy d và d’ chéo Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 +) Vì d và d’ chéo nhau, nên MN ngắn nhất và chỉ MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’ chọn D Bài toán 5: Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ M tới (P) lớn nhất hoặc bé nhất *) Phương pháp giải: Xét hai trường hợp Trường hợp 1: Mặt phẳng (P) và (S) có điểm chung ( ) Gọi H là hình chiếu của I (P), đường thẳng IH A cắt (S) tại hai điểm A,B với I nằm giữa AH Khi đó Với M (S), gọi K là hình chiếu của M IH K =const Vậy khoảng cách từ M (P) lớn nhất bằng AH M trùng với A *) Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung( P M I H B ) Gọi H là hình chiếu của I (P), đường thẳng IH cắt (P) tại hai điểm A,B (B nằm giữa IH) Khi đó K Mọi M thuộc (S), gọi K là hình chiếu của M IH I A M Vậy Khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất bằng AH M trùng với A và B bé nhất bằng BH M trùng với B P H Ví dụ 6: Cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + y2 + (z + 1)2 = và các điểm A(1;-3;-3), B(2;-7;0), và C(-3;2;-4) Điểm M (S) cho tứ diện MABC có thể tích Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 lớn nhất, tổng thành phần tọa độ M A B C D Bài giải: Ta có: +) Mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính (P) và (S) không có điểm chung +) Vì ∆ABC có diện tích không đổi nên thể tích tứ diện MABC lớn nhất khoảng cách từ M dến (ABC) lớn nhất +) Gọi H là hình chiếu của I (P), đường thẳng IH cắt (S) tại hai điểm E và F (với F nằm giữa HI) nên khoảng cách từ M tới (ABC) lớn nhất M trùng với E *) Tìm M: Đường thẳng IH qua I, vuông góc với (P) có phương trình: Tọa độ giao điểm E và F của ∆ với (S) là nghiệm hệ: Do nên E(2;1;0); F(0;1;-2) Vậy: M(2;1;0) thì VMABC lớn nhất Khi xM + yM + zM = 3, chọn C 2.3.Bài toán cực trị véc tơ: [2] [3] Bài toán Cho mặt phẳng (P) (hoặc đường thẳng d); n điểm phân biệt A 1; A2; ;An và n số thực a1; a2; ; an Với a1 + a2 + + an = a Tìm điểm M (P) hoặc M đường thẳng d cho: đạt giá trị bé nhất đạt gtln (nếu a < 0) hoặc bé nhất (nếu a > 0) *) Phương pháp giải: Xét điểm M thuộc mặt phẳng (P) đạt giá trị bé nhất +) Tìm điểm I thỏa mãn: (1) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 +) Gọi H là hình chiếu của I (P), ta có: Dấu “=” sảy và chỉ M trùng với H Đến ta chỉ cần tìm tọa độ hình chiếu H của I (P) *) Nếu a1 = a2 = = an thì điểm I thỏa mãn (1) chính là trọng tâm của hệ n điểm A1, A2, , An Trường hợp chỉ có hai điểm A, B thì trọng tâm của AB chính là trung điểm AB đạt gtln (nếu a < 0) hoặc bé nhất (nếu a > 0) +) Gọi I là điểm thỏa mãn (1) , H là hình chiếu của I (P) và đặt k là hằng số Ta có: T= = + + = a.MI2 + k *) Nếu a > *) Nếu a < Đến ta chỉ cần tìm tọa độ hình chiếu H của I (P) *) Nếu điểm M thay đổi đường thẳng ta cũng làm tương tự Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) : x+y+z-3=0; A(1;0;2); B(-1;1;1); C(3;2;0) 1) M (P) cho: A -10 B 2) Điểm M (P) cho T = bé tích tọa độ M C D bé Mệnh đề sau sai? A xM + zM = C XM +2yM = B xM +yM + zM = D 34yM + zM = Giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 a) Giả sử I( điểm thỏa mãn: I(8; 5/2 ; -1/2) + M hình chiếu I (P) , chọn B b) T bé M hình chiếu I(8; 5/2 ; -1/2) lên (P) suy mệnh đề sai B Ví dụ 2: Cho A(-1;1;1); B(2;-3;0); C(4;0;-1); D(0;2;2) và đường thẳng d: Điểm M d Biểu thức T= đạt giá trị bé nhất gần giá trị nhất: A.9 B C 17 D 14 Giải: +) Gọi I thỏa mãn , M là hình chiếu của I d nên M (1;0;3) T ≈ 14, chọn C 2.4 Một số dạng toán cực trị về lập phương trình mặt phẳng và đường thẳng thỏa mãn điều kiện cực trị khác Bài toán 1: Cho điểm A và đường thẳng d không qua A Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất Phương pháp giải: +) Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của A (P) và d, ta có: khoảng cách từ A đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AH và chỉ H K Mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với AH Đến đây, ta chỉ việc tìm tọa độ hinhc chiếu H của A d rồi suy phương trình mặt phẳng (P) Ví dụ 1: Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 10 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất Có véc tơ pháp tuyến A.12 Tính T = a + b B.6 C D Giải: +) Gọi K và H lần lượt là hình chiếu của A (P) và d, ta có: khoảng cách từ A đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AK và chỉ H K Mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với AH +) H hình chiếu A lên d +) Mặt phẳng (P) qua H và vuông góc với AH nên có phương trình là: , chọn B Bài toán 2: Cho hai điểm A và B Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất Phương pháp giải: Gọi H là hình chiếu của B (P) ta có: khoảng cách từ B đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AB và chỉ H A Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với AB, từ đó suy phương trình (P) Ví dụ 2: Cho các điểm A(1;0;2), B(4;3;3), C(-1;1;4) a) Mặt phẳng (P) qua A cho khoảng cách tự B đến (P) lớn nhất qua điểm sau A.M(2;-1;0) B N(4;-7;12) C E(-5;4;8) D.F(2;3;-17) b) Gọi (Q) mặt phẳng cho khảng cách từ A đến (Q) bằng và khoảng cách tự C đến (Q) bằng Khoảng cách từ B đến (Q) A B C D Giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 11 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 a) Gọi H là hình chiếu của B (P) ta có: khoảng cách từ B đến (P) đạt giá trị lớn nhất bằng AB và chỉ H A Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với AB +) (P) qua E(-5;4;8), Chọn C b) Ta có: Gọi H và I lần lượt là hình chiếu của A và C (P), K là hình chiếu của C AH, ta có: A K Vậy (Q): 2x – y – 2z +17 = Chọn A Q C H I Bài toán 3: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không nằm (P) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P) cho khoảng cách từ B tới ∆ là bé nhất Phương pháp giải: +) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, song song với (P) suy ∆ nằm (Q) +) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B lên (Q) và ∆ ta có: Do đó, muốn lập phương trình đường thẳng ∆ ta chỉ cần lập phương trình mặt phẳng (Q) rồi tìm hình chiếu H của B (Q) Đường thẳng AH chính là đường thẳng ∆ cần tìm Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), đường thẳng d, song song với (P) cho khoảng cách từ B tới đường thẳng đó là bé nhất, véc tơ phương d là: A B C Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com D 12 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Giải: +) Gọi ∆ là đường thẳng cần lập, (Q) là mặt phẳng qua A, song song với (P) suy ∆ nằm (Q) +) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B lên (Q) và ∆ ta có: Khi đó đường thẳng ∆ là đường thẳng AH *) Tìm H: +) Mặt phẳng (Q) qua A, song song với (P) PQ Chọn D A ∆ B H K Bài toán 4: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d không nằm (P) Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d, tạo với (P) các góc lớn nhất hoặc bé nhất Phương pháp giải: +) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M thuộc d và có vtpt +) Từ giả thuyết d nằm (Q) suy mối quan hệ giữa a,b c +) Gọi α là góc giữa (P) và (Q), tính cosα theo a, b, c +) Kết hợp các điều kiện của a,b,c ta biểu diễn cosα thành một hàm số của t +) Tìm GTLN, GTNN của hàm số đó suy GTLN, GTNN của cosα Khi đó: α lớn nhất thì cosα nhỏ nhất; α nhỏ nhất thì cosα lớn nhất Ví dụ 4: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 13 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Cho mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + = 0; Đường thẳng d: Gọi (Q) mặt phẳng chứa d tạo với (P) một góc bé nhất Biết véc tơ pháp tuyến (Q) có dạng (a;b;1) Tính b – a A B C D – Giải +) Mặt phẳng (P) có vtpt +) Đường thẳng d có vtcp +) Giả sử và qua M(-1;1;0) là vtpt của (Q) a – b + 2c = (Q): ax + by + cz + a – b = b = a + 2c Gọi α là góc giữa (P) và (Q), +) c Đặt t =a/c, ta có: +) Xét hàm số: t -5/3 y’ - 5/4 + - 35/6 y 9/2 9/2 +) c = (*) Từ BBT và (*) suy ra: +) α bé nhất cosα = Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 14 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Chọn chọn B Bài toán 5: Cho điểm A, B, C phân biệt, không thẳng hàng Lập phương trình mặt phẳng (P) qua C cho tổng khoảng cách từ A và B tới (P) là lớn nhất I Phương pháp giải: B A Xét trường hợp: *) Trường hợp 1: điểm A và B cùng phía so với (P) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của M P H N C của A và B (P), I là trung điểm AB, H là hình chiếu của I (P), ta có: Khi đó, mặt phẳng (P) qua (C) và vuông góc với IC *) Trường hợp 2: Hai điểm A,B nằm khác phía mặt phẳng (P) +) Gọi E là giao điểm của AB với (P) A Dấu “=” sảy và chi Khi đó mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với AB, và tổng khoảng cách từ A và B tới (P) E P M N C Đạt giá trị lớn nhất bằng AB +) Tới đây, ta chỉ cần so sánh AB và 2IC, và được kết quả: *) Nếu AB < 2IC B tổng khoảng cách lớn nhất bằng 2IC (P) qua C và vuông góc với IC *) Nếu AB >2IC thì tổng khoảng cách lớn nhất bằng AB, và mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với AB *) Nếu AB = 2CI thì cả hai trường hợp đều thỏa mãn bài toán Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 15 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Ví dụ: Cho A(1;0;1), B(-3;2;1), C(-7;4;3) a) Mặt phẳng (P) qua C cho tổng khoảng cách từ A và B tới (P) là lớn nhất qua điểm nào: A.M(5;20;15) b) B N(10;-5;6) C E(4;2;-3) D F(0;17;6) Gọi (Q) mặt phẳng qua B cho tổng khoảng cách từ A và C tới (Q) là lớn nhất Véc tơ pháp tuyến (Q) vng góc với véc tơ nào? A.(1;-1;2) B (2;-1;-1) C.(1;-2;2) D.(1;1;2) Giải a) Gọi I trung điểm AB I(-1;1;1) IC = 7, Vậy mặt phẳng (P) qua C và vuông góc với IC Vậy (P) qua điểm M(5;20;15), chọn A b)Gọi J là trung điểm AC J(-3;2;2) Ta có: mặt phẳng (Q) qua B có tổng khoảng cách từ A và C tới (Q) lớn nhất và chỉ (Q) vuông góc với AC chọn D BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho mặt phẳng (P): 2x – y + z – = 0, đường thẳng d: , các điểm A(3;-2;1), B(4;1;-2);C(0;4;3),D(-5;-1;2) Tìm tọa độ điểm M (P) cho: MA + MB bé nhất A (1;-1;0) B (-1;0;-1) Điểm M (P) cho C (27/8;-7/8;-15/8) D (4/3;1/3;-11/3) bé nhất, hoành độ M Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 16 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 A 2/3 B -2/3 C 7/6 D -7/6 Điểm M (P) cho 2MB2 – MC2 bé nhất Tổng thành phần tọa độ M A B -2 C D -3 Mặt phẳng (Q) qua A cho khoảng cách từ B tới (Q) lớn nhất, Khoảng cách từ C tới (Q) bằng: A B C D Mặt phẳng (Q) qua A cho tổng khoảng cách từ B và C tới (Q) lớn nhất Góc tạo oy (Q) gần bằng: A 570 B 760 C 410 D 680 BT2: Cho điểm A(2;1;3) mặt phẳng (P): x + my + (2m+1)z – m – = Gọi H(a;b;c) hình chiếu A lên (P) Tính a + b AH lớn A B C 3/2 D 1/2 BT3: Cho điểm A(-1;0;0), B(0;-1;0), C(0;0;1) mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + = Xét điểm M thay đổi (P) GTNN A B C D BT4: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 8y + = hai điểm A(5;10;0), B(4;2;1) Giá trị nhỏ MA + 3MB A B C D BT5: Cho A(6;0;0), B(0;3;0), mặt phẳng (P): x – 2y + 2z = Gọi d đường thẳng qua M(2;2;0), song song với (P) tổng khoảng cách từ A,B đến d nhỏ Véc tơ véc tơ phương d? A (-10;3;8) B (14;-1;-8) C (22;3;-8) D (18;1;-8) BT6: Cho A(1;1;3), B(5;2;-1), hai điểm M,N thay đổi (oxy) cho điểm I(1;2;0) trung điểm MN Khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, tính T = 2xM - 2xN + 3yM - yN A -9 B – 10 C -11 D -12 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 17 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 BT7: Cho A(1;2;-1), B(0;4;0), mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2017 = Mặt phẳng (Q) qua A, B tạo với (P) góc nhỏ nhất, biết (Q) có véc tơ pháp tuyến Tính tổng a + b A -2 B C D BT8: Cho A(-3;0;1), B(1;-1;3), mặt phẳng (P): x –2 y + 2z - = Đường thẳng d qua A, song song với (P) cho khoảng cách từ b tới d nhỏ Biết véc tơ phương d Khi a/b A 11 B -11/2 C.-3/2 D 3/2 BT9: Cho mặt phẳng (P): mx + (m+1)y – z – 2m – =0 Gọi (T) tậphopwj điểm Hm hình chiếu H(3;3;0) lên (P), a b khoảng cách lớn nhỏ từ O tới điểm thuộc (T) Tính a + b A B C D IV KẾT LUẬN Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy từ có ý tưởng giải quyết các bài toán cực trị dạy chương trình hình học nâng cao lớp 12 và ôn thi Đại học Trong quá trình thực hiện chuyên đề này thấy học sinh rất tự tin gặp các bài toán cực trị, góp phần tạo dựng niềm đam mê và óc sáng tạo của học sinh ôn luyện và giải các đề thi Đại học Dạng toán về cực trị hình học nói chung rất đa dạng, và phong phú Mỗi dạng toán lại có nhiều cách giải khác nhau.Việc vận dụng linh hoạt và sáng tạo các dạng toán sẽ giúp học sinh phát triển tư duy, sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 18 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 gợi mở vấn đề và định hướng cho học sinh tư và sáng tạo, vậy, để đạt được hiệu quả cao, học sinh phải rèn luyện thường xuyên và lien tục Tuy nội dung của chuyên đề này rất rộng khuôn khổ thời gian có hạn, mới chỉ cung cấp một số dạng toán điển hình và một số ví dụ trình bày chi tiết Rất mong sự góp ý kiến của các bạn quan tâm và của các bạn đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hơn, hoàn thiện và được nhiều người áp dụng V TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] SGK, SBT hình học 12- NXBDG năm 2008 [2] SGK,SBT nâng cao hình học 12 – NXBDG năm 2008 [3] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2014 – 2018 Thanh Hóa ngày 20 tháng năm 2019 Người thực hiện Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 19 SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Nguyễn Ngọc Hồng XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa ngày 20 tháng năm 2019 CAM KẾT KHÔNG COPY Nguyến Ngọc Hồng Giáo viên: Nguyễn Ngọc Hồng – Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com 20 ... hướng hướng 2.2 Một số toán cực trị khoảng cách [2] Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) hai điểm A, B khơng nằm (P) Tìm điểm M (P) cho tổng khoảng cách MA + MB đạt giá trị bé  Phương pháp giải: Xét hai... Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 +) M = A’B  (P)  M(-3/2;5/2;2)  Vậy Q = , chọn B Bài toán 2: Cho mặt phẳng (P)... Tổ Toán – THPT Hoằng Hóa IV download by : skknchat@gmail.com SKKN: MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12 Bài Tốn 3: Trong khơng gian, cho hai điểm A, B đường thẳng