skkn03 sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki trong giảng dạy môn toán ở THCS

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn to¸n ë THCS PHẦN I ĐẶT VẤN ẹE I Lý chọn đề tài: - Trong thời điểm nay, nỗ lực xây dựng đẩy mạnh công nghiệp hóa đại hóa đất nước nhằm tiến tới xã hội văn minh đại Muốn người phải có tri thức Chính Đảng ta xác định giáo dục quốc sách hàng đầu Trong năm gần đây, Đảng nhà nước ta quan tâm đến giáo dục, bước có cải cách giáo dục từ bậc mầm non đến đại học sau đại học nhằm đưa giáo dục nước nhà phát triển ngang tầm khu vực Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán môn học quan trọng, thành phần thiếu văn hóa phổ thông người Môn toán có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư Trong trình giải toán nhà trường kỳ thi học sinh sinh giỏi cấp, chuyên đề bất đẳng thức chuyên đề hay lý thú mà thường xuyên có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp đặc biệt cấp THCS kỳ thi vào lớp 10 Trong chuyên đề bất đẳng thức việc sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán toán khác hiệu thông qua mà lời giải đơn giản hơn, thu kết nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức kinh điển Vì khai thác bất đẳng thức vào việc giải toán khác đem lại kết qua nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo học sinh.Với ý nghó giới thiệu việc sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki vào giải số toán : chứng minh bất đẳng thức đại số hình học, giải số toán cực trị đại số hình hoïc D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS Xuaát phát từ thực tế giảng dạy chương trình THCS, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đứng trước toán có nhiều phương pháp giải khác song phương pháp giải tương đối có hiệu lực việc sử dụng bất đẳng thức để giải Học sinh tiếp xúc nhiều phương pháp giải bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán khác như: chứng minh bất đẳng thức đại số va hình học giải số toán cực trị đại số hình học II PHẠM VI ĐỀ TÀI Tuy nội dung đề cập rộng toán dạng phong phú song khuôn khổ thời gian có hạn nêu số toán điển hình xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp III ĐỐI TƯNG Đề tài áp dụng cho học sinh giỏi THCS lớp IV MỤC ĐÍCH Nhằm mục đích nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp em hiểu sâu sắc bất đẳng thức.Qua giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện phương pháp bất đẳng thứcvà rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC - Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán môn học quan trọng, thành phần thiếu văn hóa phổ thông người Môn toán có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư Trong trình giải toán nhà trường kỳ thi học sinh sinh giỏi cấp, chuyên đề bất đẳng thức chuyên đề hay lý thú mà thường xuyên có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp, đặc biệt cấp THCS kỳ thi vào lớp 10 - Đứng trước toán có nhiều cách giải khác song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị độc đáo việc không dễ thông qua mà thu kết nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức kinh điển Vì khai thác bất đẳng thức vào việc giải toán khác đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo học sinh ĐỐI TƯNG PHỤC VỤ đề tài dùng để giảng dạy cho học sinh tham gia thi học sinh giỏi lớp 8-9 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU A ¸p dơng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh bất đẳng thøc I Chứng minh bất đẳng thức đại số D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS Để chứng minh bất đẳng thức có áp dụng nhiều phải biến đổi toán để đưa trường hợp thích hợp sử dụng Sau dây kỹ thuật thường gặp:  Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ ngược lại  Dồn phối hợp  Kỹ thuật nghịch đảo Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ ngược lại Ví dụ 1: Cho a b , a,bR Chứng minh rằng: a  b  Lời giải:  1 1a Ta viết a4+b4= 1 2 2   (b 2 )    p dụng bất đẳng thức Bunhiacopski  1a 2 b24 24 (ñfcm) 28 Ví dụ 2: cho a(a1)  Chứng minh rằng: Lờigiải: Tư øgiả thiết ta có: 1 a b c b ( b   )  c ( c  )  4 2 2 2 2 3 a(a1) b(b1) c(c1) a  b  c  (a b c) (1 1 1 )(a  b  c ) (a b c) B.C.S  3a b c  (a b c) D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng Sư dơng bÊt đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS - a b c2 3(a b c) 4  (a b c1)(a b c 4)0  1 a b c Ví dụ 3: cho x,y (x 1)  ( y )  25 2 x y  R Chứng minh x,y>0 x+y=1 Lời giải: Ta sử dụng (a b)2  2(a2  b2 )    a  b2  (a  b)2 Khi ta coù: (x 1)  ( y  1)  (x  y 1)  (1 ) x y x y xy maø1 x y xy 1 4xy xy   vaäy (x )  ( y )  (1 4) x y  25 xy 2 Kyõ thuật dồn phối hợp Ví dụ 1: Cho 3x-4y=7 Chứng minh rằng: 3x2 y 2 Lời giải:   2 2 Ta vieát (3x  y )  (2)  (3x y)  49 Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q số dương tùy ý Chứng minh b c    p.b q.c pc  qa pa qb p q a Lời giải a a pb qc a( pb qc) D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS -b b( pc qa) pc qa c c( pa qb) c b pa qb Gọi S vế trái ta coù: (2) (a b c)  Sa( pb qc) b( pc qa) c( pa qb) S( p q)(ab bc ca) ab bc ca (a b c) 2 (3) Mà Vì (3)  3(ab bc ca) (a b  c)2 3(ab bc ca) ab bc   (a b c)2 Từ (2), (3) (a b c )2  S p q ca 2(ab bc ca) ( a  b 2 c )(a  b  c ) 2ab 2bc 2ca S( p q) (a b c)2 (đpcm) Ví dụ 3: Cho x y z Chứng minh rằng: x y  y z  z x   y  z (1) z x x Lời giải : Xét hai dãy số: x y ,y z , y z x vaø x z , y x ,z y z x y y z x 2 2 x y y zz x Ta coù: ( z x y x zy x ).( z y ) (  z x x y y  z 2 ) (2) Xeùt hieäu A x y  y z  z x  x z  y x  z y  (x y  y z  z x  x z  y x  z y z x y y z x xyz  (x y)( y z)(z x)(xy yz zx) xyz  x y  y z  z x  x z  y x  z y (3) z x y y z x D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng Sư dơng bÊt đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS Từ (2), (3) suy đpcm Kỹ thuật nghịch đảo n n ( yi )( Dạng i1 i1 n x 2i 2 ) (x i )  yi i1 y i 0 Chứng minh: n Ta vieát (  n y i )( i1  x i1 2i yi n n x 2i x i n  i  ( (y ) ( y ) ( y y ))  ( x ) i i i1 i1 i1   i i1 i a  b  c  a b c a,b, c (1) b c c a a b Ví dụ Chứng minh Lời giải Ta có n   (b c) (c a) (a b)  a  b c b  c a  a  b  c  (a b )  a b c b c c a a b c 2(a b c)  Ví dụ Chứng minh raèng   a2 b2 c2 b c a c a b a b c  a,b,c độ dài cạch Lời giải (b c a) (c a b) (a b VT (1) a b c  c    (a b c)2 a b  ABC Ví dụ 3: Chứng minh a3 b c  b3 c a Lời giải:  c3 a b a2 b2 c2  a,b, c (1) D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn to¸n ë THCS a (1)  ab ac  b  a 2 b 2 c ca cb c bc ba Theo bất đẳng thức B.C.S : (ab ac) (ba bc) (ca cb).VT (1) Mặt khác ta có: a  VT (1) ( a  b  c )2   ab bc b c 2 ca  b  )(ab bc  ca)  a  c  b2 c 2(ab bc ca) 2 n Daïng ( ( a n n x  x y )(  y i i i i1 i1 i ) (  x i ) x , i1 i y 0 i Chứng minh: Theo bất đẳng thức B.C.S ta có:  VT  n n   i1 ( x i y i )     x  i (  ) yi  i1        n n i   x y i1  i x  y  i i1  i n  ( i x) i1  a  b  c  a, b, c b c a a b c Ví dụ Chứng minh Lời giải: Ta viếta ( b  VT  c) b(c a) c(a b).VT (1) (a b c)  3(ab bc ca)  3(ab bc ca) (Đpcm) 2(ab bc ca) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: b  c d  2 d 2a 3b b 2c 3d c 2d 3a a 2b 3c Lời giải: Ta có  a(b  2c  a   (a b c d ) a 3d ) b 2c 3d    Ta chứng minha(b  2c  3d )  (a b c d )2  2(ab ac ad bc bd cd ) 3(a 2 b2 c 2 d )  (a b)2 (a c)2 (a d )2 (b c)2 (c d )2 x x z y B A y z C D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng Sư dơng bÊt đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS II Chứng minh bất đẳng thức hình học Cho ABC có AB=c, AC=b, BC=a Chứng minh a b(a b)  b c(b c) c 2a(c a) (1) Lời giải: Theo ký hiệu hình vẽ tồn x,y,z>0 a=x+z Sao cho b=z+x c=x+y (1)  ( y z)2 (z x)( y x) (z x)2 (x y)(z y) (x y)2 ( y z)(x z)  y z z x x3 y xyz(x y z) y  z  x  x y z x y z   Theo bất đẳng thức B.C.S (x  y  z)(  y 2 z 2 x 2 x y z x y  z  x ) (x y z)2 x y z (ñpcm) yz Ví dụ 2: ABC có AB=c, AC=b, BC=a p nửa chu vi Chứng minh a 2 b  c  36( p 35  abc ) (1) p Lời giải (1) (a  b  c   36(a b c)   35  2 35(a2 b2 c2 ) 9(a b c)2 Theo CoâSi: a 2  b  c  a b c 33 abc  8(a 2 b2 c ) 72abc (3) 3 a2 a b c 2abc  (2) b c  b 2c D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS -Từ (2)và (3) suy ĐPCM (dấu xẩy ABC đều) Ví dụ 3: ABC M,N,P Chứng minh Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạch rằng: S (MNP) S (S- Diện tích tam giác) A Lời giải: Đặt S (ANP)=S1; S(BPM)=S2 , S(CMN)=S3 Ta phải chứng minh:  ( p a)   bc  ( p b) ca  S S  S 3  4(ab bc ca)  S S S ab (a b c) 2 B  (1) C M ( p c)  VT(1) S 1 S N P (ab bc ca) p   S(MNP) (Dấu “=” xẩy ABC đều) S B Sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPSKI để giảng toán cực trị đại số : Sửỷ duùng kết quả:  an xn a Nếu a1 x1 a2 x2 Min( x 2 x2  x n  C , C số C2 ) 2 a  a 2   an Dấu “=” xẩy a1  a2  . an x x xn b Neáu x2 x2   x2  C 2 Const n Max(a x  a x   2 a 1 D ấu “=”xẩy x )|C | a  n a n   a 2 n a1  a2   an  x x2 xn 10 D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS 2 Ví dụ 1: Cho x  y  tìm Max(x 1 y y 1 x ) Lời giải: A x 1 y y 1 x (x  y  (1212 )(x 2 y ) 2   ) ( 1 y )  ( 1 x )  x y 2 MaxA2 2 x y 2 Ví dụ 2: Cho 36x 16 y  Tìm Max, Min A=(y-2x+5) Lời giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 36x 16 y 2 (  )2  ( )2   ( y 2x)2      25 ( y 2x)2 5 y 2x 1644  15 y 2x 5 25 44 Max( y 2x 5) 25  (x , y ) 20 Min( y 2x 5) 15  (x , y ) 20 Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy+yz+zx=4 Tìm MinA biết A=x4+y4+z4 Lời giải: Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2  (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) Suy ra: (x2+y2+z2)2 42  (121212 )(x4 y 4 z ) 16 x  y  z  16 MinA 16  x y z 3 11 D-¬ng nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS -Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z1 x+y+z=1 Tìm MaxA biết A 1 x 1 y 1 z Lời giải: Theo B.C.S ta có (1 1 1 )(1 x1 y1 z) 3.42 A 1 x 1 y 1 z 2  MaxA 3 x y z x  y 2 16  Ví dụ 5: cho u v 2 25    yv 20 xu Tìm Max (x+v) Lời giải: p dụng bất đẳng thức B.C.S ta có: 20 xu yv (x2 y )(u 2 v2 ) 20.25 20 x y  xu yv 20 u  v  xv yu Mặt khác 41 (x  y 2) (u  v ) (x  v 2 ) ( y  u ) x  v  yu x  v  2xv (x v)  x v 41 Max(x v)  x  y     u  v  16  25  y(x v) 20 u 20  20 x v 41  y u y   16 , xu yv 20  41 z 25 41 20 ,  41 Ví dụ 6: Tìm cặp số (x,y) x,y>0 để A x  y  x  y  x  y đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ y x y4 x4 Lời giải: y2 x2 12 D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS Đặt t x  y  t y x  x  y 2 t  2 , x y  4 t  4t 2 y x y x 2  A t  5t  t 4 (t  2)   2) t (t  2)  (t (t Do t 2 t  4, 31 t  A 2  2) (t 2) t  (t t  4  MinA 2 x y    3)  t C Một số tập áp dụng Cho ABC (a,b,c) Chứng minh:  a b c b c a b a   a b c c a b c Cho a,b,c,d >0 Chứng minh rằng: a  b  c  d 2 b c c d d a a b ChoABC (a,b,c) Chứng minh rằng: p p a p b p c p ChoABC nhọn H trực tâm Chứng minh (AH BH CH)  a  b  c Cho ABC (a,b,c) Chứng minh: a b c   3 b c a a c b a b c Cho số x,y thỏa mãn 2x+5y=7 Tìm giá trị nhỏ cuûa: 2 a, A=x +y b, B=2x +5y 2 2 Cho x,y,z thỏa mãn x +y +z =1 Tìm Max = x+2y+3z Cho a+b+c=1 vế trái có nghóa Chứng minh 4a1 4b1 4c1 21 13 D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS -8 Có tồn hay không số: a 1, b 1, c thỏa mãn điều kiện: a 1  b 1  c 1  c (a 1) b Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, A=x2+y2+z2 b, B=x4+y4+z 10 Cho: a, b,c vaø a+b+c=3 Chứng minh: 4a  4b  4c  11 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f (x, y, z) xy yz zx mxyz Trong x 0, y 0, z  0, x+y+z=1 12 Tìm giá trị lớn hàm số:f(x,y)=2 x y Trong x 0, y 0, x  y  KẾT QỦA Đề tài thực giảng dạy tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp 8-9 vòng huyện vòng tỉnh Trong trình học đềø tài này, học sinh thực thấy tự tin gặp toán bất đẳng thức, tạo hứng thú với học toán, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học tự nghiên cứu GIẢI PHÁP MỚI - Bài toán nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Do học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan 14 D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng Sư dơng bÊt đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS -II THỰC TIỄN GIẢNG DẠY QUÁ TRÌNH ÁP DỤNG - Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống mộït số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG - Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hóc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học tự nghiên cứu BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút là: trước hết học sinh phải nắm kiến thức vận dụng linh hoạt kiến thức Từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp ly ùvới đối tựợng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập có sử dụng bất đẳng thức B.C.S từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh KIẾN NGHỊ - Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên lớp chuyên đề, hội thảo chuyên đề để giáo viên trừờng trao đổi, bàn luận vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng giáo dục huyện nhà so vối huyện thị khác tỉnh 15 D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng Sư dơng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS PHẦN C KẾT LUẬN - Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ.Do chuyên đề hàng chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhìn, cách vân dụng linh hoạt cáckiến thưc đó, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước toán khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu Tuy nội dung đề cập rộng song khuôn khổ thời gian hạn hẹn người viết chỉ ví dụ, toán điển hình - Rất mong sựï đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thieọn hụn Xin chaõn thaứnh caựm ụn! Bình Xuyên, ngày 10 tháng10 năm 2007 Ngửụứi vieỏt D-ơng Thế NAm 16 D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh L·ng ... trước toán có nhiều phương pháp giải khác song phương pháp giải tương đối có hiệu lực việc sử dụng bất đẳng thức để giải Học sinh tiếp xúc nhiều phương pháp giải bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức. .. Thanh L·ng Sư dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán ë THCS Để chứng minh bất đẳng thức có áp dụng nhiều phải biến đổi toán để đưa... D-¬ng thÕ nam - THCS Thanh LÃng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski giảng dạy môn toán THCS II Chứng minh bất đẳng thức hình học Cho ABC