(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề bất đẳng thức môn toán

Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MƠ HÌNH NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b), a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức Ta có: a > b a-b>0 a b b > c a > c - Nếu a > b a + c > b + c - Nếu a > b c > d a + c > b + d - Nếu a > b c < d a - c > b - d - Nếu a > b c > ac > bc - Nếu a > b c < ac < bc - Nếu a > b > c > d > ac > bd - Nếu a > b > an > bn (n N) - Nếu a > b a2n+1 > b2n+1 (n N) a b - Nếu a > b ab > - Nếu m > n > thì: a>1 am > an a = 1am = a n < a < a m < an download by : skknchat@gmail.com 2.1.3 Một số bất đẳng thức bản: - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a ≥ Dấu "=" xảy a=0 a ≥ a Dấu "=" xảy a≥0 a + b ≥ a + b Dấu "=" xảy ab ≥ a - b ≤ a - b Dấu "=" xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si ): Với a1,a2 , ,an số khơng âm Ta có: a a n Dấu "=" xảy a n n a1a2 an a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-côp-xki): Với a1, a2, , an b1, b2, , bn hai số tuỳ ý Ta có: a1b1 a2b2 a = a = = b b anbn 2 a1 a a n b1 b b a n Dấu "=" xảy - Một số bất đẳng thức khác: +Với a b hai số Ta có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu "=" xảy (a + b)2 ≥ 4ab Dấu "=" xảy a=b a=b + Với a b hai số dương Ta có: a b a + Với a, b, c số dương Ta có: a b c n download by : skknchat@gmail.com 2.1.4 Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Cho biểu thức f(x) xác định miền D - Ta nói M = const giá trị lớn f(x) D hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: + f(x) M với x D + Tồn x0 D cho f(x0) = M Kí hiệu: max f(x) = M - Ta nói m = const giá trị nhỏ f(x) D hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: + f(x) m với x D + Tồn x0 D cho f(x0) = m Kí hiệu: f(x) = m 2.1.5 Các bước giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức f(x) m (hoặc f(x) Bước 2: Chỉ giá trị x0 M) với x D D để f(x0) = m (hoặc f(x0) = M) Bước 3: Kết luận Chú ý: Nếu chứng minh f(x) m f(x) M chưa đủ để kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x - 1)2 + (x - 3)2 *Cách giải sai: Ta có: (x - 1)2 (x - 3)2 A kết luận A = dấu “=” khơng xảy đồng thời hai bất đẳng thức (1) (2) *Cách giải đúng: Ta có: f(x) = x2 - 2x + + x2 - 6x + = 2(x2 - 4x + ) = 2(x - 2)2 + 2 Vậy A = x-2=0 x=2 download by : skknchat@gmail.com 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy đại đa số học sinh lúng túng đứng trước toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức đại số, nhiều em ngại làm tập dạng toán Nguyên nhân dẫn đến khả nắm bắt vận dụng kiến thức bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức học sinh yếu do: - Học sinh chưa nắm vững định nghĩa tính chất bất đẳng thức - Chưa vận dụng linh hoạt kiến thức bất đẳng thức vào giải toán cụ thể - Kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức tìm cực trị cịn - Hệ thống tập tự giải, tự tích lũy em chưa nhiều - Các em chưa phân loại dạng toán phương pháp giải Để khắc phục mặt hạn chế học sinh việc xây dựng chuyên đề bất đẳng thức vơ cần thiết 2.3 Mơ hình nghiên cứu: 3.1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: * Dùng định nghĩa: Để chứng minh A ≥ B ta chứng minh A - B ≥ Ví dụ 1: Cho a b hai số không âm Chứng minh rằng: a b Giải: Ta có: a b ab ( a) ab ( b)2 ( a b)2 Vậy a b ab Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) Giải: Ta có: download by : skknchat@gmail.com ab 2(a2 + b2) - (a + b)2 = 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ≥ Do đó: 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 hay (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) * Dùng phép biến đổi tương đương: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Giải: Ta có: (a + b+c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ≥ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) ≥ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ (hiển nhiên) Vậy (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Giải: Ta có: a2 a2 b2 b2 (a2 c2 d2 (a2 c)2 (a b2 )(c2 (b d)2 d ) c2 b2 )(c2 d2 ) ac bd d2 (a c)2 (2) Nếu ac + bd < (2) ln Nếu ac + bd ≥ thì: (2) (a2 b2 )(c2 d2 ) a2c2 b2d2 2acbd a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c2 b2d2 2acbd a2d2 b2c2 2.ad.bc (ad bc)2 2 Vậy a b (hiển nhiên) c2 d2 (a c)2 (b d)2 (b d)2 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 3: Cho x, y số thực khác Chứng minh rằng: Giải: Ta có: x x y x x y x V * Dùng tính chất bất đẳng thức: Sử dụng tính chất bất đẳng thức để biến đổi suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = Chứng minh rằng: x4 + y4 ≥ Giải: Ta có: (x2 - y2)2 ≥ x4 + y4 ≥ 2x2y2 2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (x - y)2 ≥ x2 + y2 ≥ 2xy 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 = x2 + y2 ≥ (2) Từ (1) (2) suy ra: x4 + y4 ≥ Ví dụ 2: Cho x, y, z > thỏa mãn điều kiện: x + y + z ≤ 1 Chứng minh rằng: x y z download by : skknchat@gmail.com Giải: Nhân hai vế bất đẳng thức x + y + z ≤ với x Vì x, y, z > nên x Do đó: 1 Vậy x y z Ví dụ 3: Cho a, b, c ≥ thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) Chứng minh rằng: a + b + c ≤ ab bc ca Giải: Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≤ a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ca ≤ 4ab (a + b - c)2 ≤ 4ab a + b - c ≤ ab Tương tự: b + c - a ≤ bc ; c + a - b ≤ ca Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: a+ b + c ≤ ab bc ca * Dùng bất đẳng thức bản: Sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, để biến đổi suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho a, b, c ≥ Chứng minh rằng: a + b + c ≥ ab Giải: bc ca Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a + b ≥ ab download by : skknchat@gmail.com b + c ≥ bc c + a ≥ ca Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: 2(a + b + c) ≥ 2( ab bc ca) hay a + b + c ≥ ab bc Ví dụ 2: Cho x, y xy ca ) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có : ≥ Chứng minh rằng: (1+ x)(1+ y) (1 + 2 2 2 (1+ x)(1+ y) = ( x) ( y) 1.1 x y = (1 + xy Vậy )2 xy (1+ x)(1+ y) (1 + )2 Ví dụ 3: Cho a, b > ab = Chứng minh rằng: a + b + a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 1 a+b + a +b = (a+b )+ a +b + (a+b )≥ √ab+2 Vậy a + b + a b Dấu "=" xảy b √a1+b 14 ( a+b )= 32 +1=52 a=b=1 + ≥ Ví dụ 4: Cho a, b > 3a + 4b = Chứng minh rằng: a2 b2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có: 2 2 2 =(3 a+4 b ) ≤(3 +4 )(a +b ) a2 +b2≥1 Dấu "=" xảy Ví dụ 5: Cho a, b, c, x, y, z > Chứng minh rằng: x Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có: a Vì x ≥ -1 nên x + ≥ Suy ra: (x 3) x Thử lại: x = thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 7: Giải phương trình: x Giải: Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: x x Dấu “=” xảy Vậy phương trình có nghiệm 13 Bài 8: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: 13 x x 13 13x 13 27 3x (13 = Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: 27)(13x 13 3x 3) Dấu “=” xảy ra10 16x 10 x Vậy phương trình có nghiệm Bài 9: Giải phương trình: x 2x 2x 3x2 4x 58 download by : skknchat@gmail.com Giải: Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: x2 2x Dấu “=” xảy ra√ x x Vậy phương trình có nghiệm Bài 10: Giải phương trình: x Giải: Điều kiện: x2 Phương trình cho tương đương với: x x2 x Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp- xki, ta có: √ x 2−x2+ )=4 √ 2− x + x+ x≤ √( 2−x2+2− x + x2+ Dấu “=” xảy Vậy phương trình có nghiệm x = Giải: Điều kiện: ≤ x, y ≤ 59 download by : skknchat@gmail.com Cộng theo vế hai phương trình ta được: x x y 1 y 2 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: x y Do đó: x x 2(x x) y 2(y y) x y y 2 Dấu “=” xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = Bài 12: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ Ta có: √ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: x+ y≤ 2( x2+ y2 ) √ x+ y+2√xy≤√2( x + y )+2 2 √xy =16 ⇔ (√x +√ y ) ≤16 ⇔√x+√y≤4 Dấu “=” xảy {x=y ¿¿¿¿ x=y=4 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (4; 4) Bài 13: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ Ta có: x+ y−√xy=3 x+ y=√xy+3 60 download by : skknchat@gmail.com Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: √ xy≤ x+ y≤ Do đó: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: (√x+1+√ y+1) ≤2( x+1+ y+1)≤16 √x+1+√ y+1≤4 { x =y ¿¿¿¿ Dấu “=” xảy Giải: Điều kiện: x=y= Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 3) Bài 14: Giải hệ phương trình: xy Giải: Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Tương tự: Do đó: x y Dấu “=” xảy Thử lại: x = 2; y = thỏa mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 2) Bài 15: Giải hệ phương trình: x y x Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-acơp-xki, ta có: 61 (1) (2) download by : skknchat@gmail.com x2 y y2 Dấu “=” xảy x 2(x2 x2 y y2 y x y2 x) x2 y 2.2 y2 x (x y)(x y 1) x y x y Với y = x hệ cho có dạng: x x2 x x y x x2 x Với y = - x -1 hệ cho có dạng: x2 (x y x x2 x Vậy hệ phương trình có nghiệm: (0; -1), (-1; 0), Bài 16: Giải hệ phương trình: x y z 12 Giải: Điều kiện: x, y, z ≠ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có: x y Suy ra: x x y y z 12 z 12 Do đó: 62 download by : skknchat@gmail.com x y z 12 z y x x 2;y 4;z Dấu “=” xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (2; 4; 6) x x4 y y4 z z4 xyz Bài 17: Giải hệ phương trình: Giải: Ta có: x4 + y4 ≥ 2x2y2; y4 + z4 ≥ y2z2 ; z4 + x4 ≥ 2z2x2 Suy ra: x4 + y4 + z4 ≥ x2y2+ y2z2 + z2x2 2 Ta lại có: x2y2+ y2z2 ≥ x y z 2xy z 2 y2z2+ z2x2 ≥ x y z 2xyz 2 z2x2+ x2y2 ≥ x y z 2x yz Suy ra: x2y2+ y2z2 + z2x2 ≥ xyz(x + y + z) = xyz Do đó: x4 + y4 + z4 ≥ xyz x y z Dấu “=” xảy rax y z Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = Bài 18: Giải hệ phương trình: x Giải: Điều kiện: x, y, z ≠ Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Tương tự: x4 y2 Do đó: download by : skknchat@gmail.com x x Dấu “=” xảy Vậy hệ phương trình có nghiệm: (2; 2; 2), (2; 2; -2), (2; -2; 2), (2; -2; -2), (-2; 2; 2), (-2; 2; -2), (-2; -2; 2), (-2; -2; -2) y Bài 19: Giải hệ phương trình: x Giải: Điều kiện: x, y ≠ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: (x Áp dụng bất đẳng thức: a Ta có: x2 (x Suy ra: y Dấu “=” xảy x Vậy hệ phương trình có nghiệm: Bài 20: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: ≤ x ≤ 32 64 download by : skknchat@gmail.com Cộng theo vế hai phương trình ta được: ( x x) 32 (4 x 32 x) y2 6y 21 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki, ta có: x x 2(x 32 32 x) √x+4√32−x≤√2( √x +√32−x )≤4 Do đó: x Mặt khác: y x 32 x 6y 21 (y 3) 32 x 12 12 12 y Dấu “=” xảy Thử lại ta thấy x = 16, y = thỏa mãn hệ phương trình cho Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (16; 3) 65 download by : skknchat@gmail.com ... theo vế ba bất đẳng thức ta được: a+ b + c ≤ ab bc ca * Dùng bất đẳng thức bản: Sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, để biến đổi suy bất đẳng thức cần chứng... dạng toán Nguyên nhân dẫn đến khả nắm bắt vận dụng kiến thức bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức học sinh yếu do: - Học sinh chưa nắm vững định nghĩa tính chất bất đẳng. .. c) b a2 d) b2 Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: b) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: b Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: 11 download by