Chương 2 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU 2 1 Cơ sở lí luận 2 1 1 Định nghĩa bất đẳng thức Bất đẳng thức là hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b), a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất[.]
Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ MƠ HÌNH NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận: 2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức: Bất đẳng thức hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a ≥ b, a ≤ b), a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức Ta có: a > b a - b > a b b > c a > c - Nếu a > b a + c > b + c - Nếu a > b c > d a + c > b + d - Nếu a > b c < d a - c > b - d - Nếu a > b c > ac > bc - Nếu a > b c < ac < bc - Nếu a > b > c > d > ac > bd - Nếu a > b > an > bn (nN) - Nếu a > b a2n+1 > b2n+1 (nN) 1 - Nếu a > b ab > a b - Nếu m > n > thì: a > am > an a = am = an < a < am < an skkn 2.1.3 Một số bất đẳng thức bản: - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a ≥ Dấu "=" xảy a = a ≥ a Dấu "=" xảy a ≥ a + b ≥ a + b Dấu "=" xảy ab ≥ a - b ≤ a - b Dấu "=" xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ - Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si ): Với a1,a2 , ,an số khơng âm Ta có: a1 a2 an n a1a2 an n Dấu "=" xảy a1 = a2 = = an - Bất đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-côp-xki): Với a1, a2, , an b1, b2, , bn hai số tuỳ ý Ta có: a1b1 a2 b2 anbn a12 a22 a2n b12 b22 b2n a1 Dấu "=" xảy b1 = a2 b2 = = an bn - Một số bất đẳng thức khác: + Với a b hai số Ta có: a2 + b2 ≥ 2ab Dấu "=" xảy a = b (a + b)2 ≥ 4ab Dấu "=" xảy a = b + Với a b hai số dương Ta có: a b 2 b a Dấu "=" xảy a = b 1 a b a b Dấu "=" xảy a = b + Với a, b, c số dương Ta có: a b c a b c Dấu "=" xảy a = b = c skkn 2.1.4 Định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Cho biểu thức f(x) xác định miền D - Ta nói M = const giá trị lớn f(x) D hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: + f(x) M với x D + Tồn x0 D cho f(x0) = M Kí hiệu: max f(x) = M - Ta nói m = const giá trị nhỏ f(x) D hai điều kiện sau đồng thời thoả mãn: + f(x) m với x D + Tồn x0 D cho f(x0) = m Kí hiệu: f(x) = m 2.1.5 Các bước giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức f(x) m (hoặc f(x) M) với x D Bước 2: Chỉ giá trị x0 D để f(x0) = m (hoặc f(x0) = M) Bước 3: Kết luận Chú ý: Nếu chứng minh f(x) m f(x) M chưa đủ để kết luận giá trị lớn giá trị nhỏ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x - 1)2 + (x - 3)2 *Cách giải sai: Ta có: (x - 1)2 (1) (x - 3)2 (2) A kết luận A = dấu “=” khơng xảy đồng thời hai bất đẳng thức (1) (2) *Cách giải đúng: Ta có: f(x) = x2 - 2x + + x2 - 6x + = 2(x2 - 4x + ) = 2(x - 2)2 + Vậy A = x - = x = skkn 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy đại đa số học sinh lúng túng đứng trước toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức đại số, nhiều em ngại làm tập dạng toán Nguyên nhân dẫn đến khả nắm bắt vận dụng kiến thức bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức học sinh yếu do: - Học sinh chưa nắm vững định nghĩa tính chất bất đẳng thức - Chưa vận dụng linh hoạt kiến thức bất đẳng thức vào giải toán cụ thể - Kinh nghiệm giải toán bất đẳng thức tìm cực trị cịn - Hệ thống tập tự giải, tự tích lũy em chưa nhiều - Các em chưa phân loại dạng toán phương pháp giải Để khắc phục mặt hạn chế học sinh việc xây dựng chuyên đề bất đẳng thức vô cần thiết 2.3 Mơ hình nghiên cứu: 3.1 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: * Dùng định nghĩa: Để chứng minh A ≥ B ta chứng minh A - B ≥ Ví dụ 1: Cho a b hai số không âm Chứng minh rằng: a b ab Giải: 2 Ta có: a b ab ( a) ab ( b) ( a b) Vậy a b ab Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) Giải: Ta có: skkn 2(a2 + b2) - (a + b)2 = 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 ≥ Do đó: 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 hay (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) * Dùng phép biến đổi tương đương: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Giải: Ta có: (a + b+c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ≥ 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≥ (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) ≥ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ (hiển nhiên) Vậy (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2 Giải: Ta có: a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2 a2 b2 (a2 b2 )(c2 d2 ) c2 d2 (a c)2 (b d)2 (a2 b2 )(c2 d2 ) ac bd (2) Nếu ac + bd < (2) ln Nếu ac + bd ≥ thì: 2 2 2 2 (2) (a b )(c d ) a c b d 2acbd a2 c2 a2 d2 b2 c2 b2 d2 a2 c2 b2 d2 2acbd a2 d2 b2 c2 2.ad.bc (ad bc)2 (hiển nhiên) Vậy a2 b2 c2 d2 (a c)2 (b d)2 skkn (1) Ví dụ 3: Cho x, y số thực khác Chứng minh rằng: x y x2 y2 y2 x2 y x Giải: Ta có: x y x2 y2 x y x2 y2 3 3 y x x y x y y x x y x y x y x y x y 3 1 1 3 1 y x y x y x y x y x x y x y x2 y2 xy x2 y2 2xy 1 0 y x y x xy xy y 2 x y (x y) 2 0 x2 y2 (hiển nhiên) x y x2 y2 2 y x y x Vậy * Dùng tính chất bất đẳng thức: Sử dụng tính chất bất đẳng thức để biến đổi suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: x + y = Chứng minh rằng: x4 + y4 ≥ Giải: Ta có: (x2 - y2)2 ≥ x4 + y4 ≥ 2x2y2 2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (1) (x - y)2 ≥ x2 + y2 ≥ 2xy 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 = x2 + y2 ≥ (2) Từ (1) (2) suy ra: x4 + y4 ≥ Ví dụ 2: Cho x, y, z > thỏa mãn điều kiện: x + y + z ≤ 1 x y z Chứng minh rằng: skkn Giải: 1 0 x y z Nhân hai vế bất đẳng thức x + y + z ≤ với , ta được: 1 1 1 1 6 (x + y + z) x y z x y z x y y x x z 1 6 y x z y z x x y z x y y x x z ; ; z x z y Vì x, y, z > nên y x 1 1 6 Do đó: x y z ≥ + + + = 1 x y z Vậy Ví dụ 3: Cho a, b, c ≥ thỏa mãn điều kiện: a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) Chứng minh rằng: a + b + c ≤ ab bc ca Giải: Ta có: a2 + b2 + c2 ≤ 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc - 2ca ≤ a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ca ≤ 4ab (a + b - c)2 ≤ 4ab a + b - c ≤ ab Tương tự: b + c - a ≤ bc ; c + a - b ≤ ca Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: a+b+c≤2 ab bc ca * Dùng bất đẳng thức bản: Sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, để biến đổi suy bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho a, b, c ≥ Chứng minh rằng: a + b + c ≥ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a + b ≥ ab skkn ab bc ca b + c ≥ bc c + a ≥ ca Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: 2(a + b + c) ≥ 2( ab bc ca) hay a + b + c ≥ ab bc ca Ví dụ 2: Cho x, y ≥ Chứng minh rằng: (1+ x)(1+ y) (1 + xy )2 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có : 1 (1+ x)(1+ y) = ( x)2 12 ( y)2 1.1 x y = (1 + xy )2 xy )2 Vậy (1+ x)(1+ y) (1 + Ví dụ 3: Cho a, b > ab = Chứng minh rằng: a + b + a b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: a+b + 1 1 = (a+b )+ + (a+b )≥ √ ab+2 ( a+b )= +1= a+b a+b 4 a+b 2 Vậy a + b + a b Dấu "=" xảy a = b = √ 2 Ví dụ 4: Cho a, b > 3a + 4b = Chứng minh rằng: a +b ≥1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có: 2 2 2 =(3 a+4 b ) ≤(3 +4 )(a +b ) a2 +b2 ≥1 Dấu "=" xảy {3a+4b=5¿¿¿¿ a= b= ; a2 b2 c2 (a b c)2 x y z x y z Ví dụ 5: Cho a, b, c, x, y, z > Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cơp-xki ta có: a2 b2 c2 (x y z) ( x)2 ( y)2 ( z)2 y z x skkn 2 a b 2 c x y z a b c x y z (a b c)2 x y z a2 b2 c2 (a b c)2 x y z x y z Vậy * Phương pháp phản chứng: Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử bất đẳng thức sai vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vơ lí (trái với giả thiết, mâu thuẫn với nhau) Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh a b c ab bc ca Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c thoả mãn: abc Chứng minh rằng: a > 0, b > 0, c > Giải: Giả sử a + Nếu a = abc = Vơ lí! + Nếu a < 0: Từ abc > bc < Kết hợp với ab + bc + ca > ab + ac > a(b + c) > Mà a < b + c < Do đó: a + b + c < Mâu thuẫn với giả thiết a + b + c > 0! Vậy a > Chứng minh tương tự ta có: b > 0, c > Ví dụ 2: Cho < a, b, c < Chứng minh có bất đẳng thức sau sai: a1 b ; b1 c ; skkn c1 a Giải: Giả sử ba bất đẳng thức 1 a1 b ; b1 c ; 4 Ta có: a1 b b1 c c a 64 c1 a (1) 1 a1 a a a a 2 Mặt khác: Mà < a < nên < Tương tự: < a1 a b1 b 4 ; 0< c1 c 64 Mâu thuẫn với (1)! Do đó: Vậy có bất đẳng thức cho sai a1 b b1 c c a 2.3.2 Một số dạng toán thường gặp chứng minh bất đẳng thức: 2.3.2.1 Dạng tốn vận dụng bất đẳng thức Cơ-si: Bài 1: Cho a, b, c số không âm Chứng minh rằng: a) a3 + b3 ≥ ab(a + b) b) a4 + b4 ≥ ab(a2 + b2) c) a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 3 a3 + a3 + b3 ≥ (a ) b 3a b 3 a3 + b3 + b3 ≥ a (b ) 3ab Do đó: 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) hay a3 + b3 ≥ ab(a + b) b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 4 a4 + a4 + a4 + b4 ≥ (a ) b 4a b 4 a3 + b4 + b4 + b4 ≥ a (b ) 4ab Do đó: 4(a4 + b4) ≥ 4ab(a2 + b2) hay a4 + b4 ≥ ab(a2 + b2) 10 skkn ... theo vế ba bất đẳng thức ta được: a+b+c≤2 ab bc ca * Dùng bất đẳng thức bản: Sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, để biến đổi suy bất đẳng thức cần... dạng toán Nguyên nhân dẫn đến khả nắm bắt vận dụng kiến thức bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị biểu thức học sinh yếu do: - Học sinh chưa nắm vững định nghĩa tính chất bất đẳng. .. phải chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử bất đẳng thức sai vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vơ lí (trái với giả thiết, mâu thuẫn với nhau) Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh