x 2
2
x x 1 0
Giải: Điều kiện: x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
x2 x 1 x2 x 1 x 1
Do đó:x2 x 2 x 1 (x 1)2 0 x 1 Thử lại: x = 1 thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Bài 3: Giải phương trình: x 3 5 x x2 8x 18
Giải: Điều kiện: 3 ≤ x ≤ 5
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có: ( x 3 5 x)2 2(x 3 5 x) 4 x 3 5 x 2 56
x
2
2
Mặt khác:x2 8x 18 (x 4)2 2 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4. Bài 4: Giải phương trình: x2 4x 5 2 2x 3
3 Giải: Điều kiện: x ≥ - 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2 (2x 3).1 (2x 3) 1 2x 4
Do đó:x2 4x 5 2x 4 (x 1)2 0 x 1 Thử lại: x = -1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
Bài 5: Giải phương trình: x2 2
x 4 3
Giải: Điều kiện: x ≥ 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Do đó:
x2 4x 4 0 (x 2)2 0 x 2 Thử lại: x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 6: Giải phương trình: x3 3x2 8x 40 844x 4 Giải: Điều kiện: x ≥ -1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
84 4x 4 44 4.4.4.(x 1) 4 4 4 (x 1) x 13 Do đó: x3 3x2 8x 40 x 13 x3 3x2 9x 27 0
57
Vì x ≥ -1 nên x + 3 ≥ 0.
Suy ra:(x 3)2 0 x 3
Thử lại: x = 3 thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Bài 7: Giải phương trình: x
Giải: Điều kiện: x ≥ 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
1
x
x
Dấu “=” xảy ra
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 8: Giải phương trình: 13
Giải: Điều kiện: x ≥ 1
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có:
13 x 1 9 x 1 13. 13x 13 27. 3x 3 (13 27)(13x 13 3x 3)
= Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 2
Dấu “=” xảy ra10 16x 10
x 5
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 4
Bài 9: Giải phương trình: x22x 2x 1 3x2 4x 1
58
1 Giải: Điều kiện: x ≥ 2
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có:
x2 2x
Dấu “=” xảy ra√
2
x x 1 0
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 10: Giải phương trình:
Giải: Điều kiện: x 0
2 x2 2 1
x 1
4
Phương trình đã cho tương đương với: x2 x Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-
xki, ta có: √ 2−x2+√2− x1 2 + x+ 1 x ≤√4(2−x2+2− x1 2 + x2+ x12 )=4
Dấu “=” xảy ra
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Giải: Điều kiện: 0 ≤ x, y ≤ 1
59
Cộng theo từng vế của hai phương trình ta được: x 1 x y 1 y 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có: x 1 x 2(x 1 x) 2 y 1 y 2(y 1 y) 2 Do đó: x 1 x y 1 y 2 2 Dấu “=” xảy ra
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) =
Bài 12: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0
Ta có: √ Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có: x+ y≤√2( x2+ y2 ) x+ y+2√xy≤√2( x2+ y2 )+2 √xy =16 ⇔(√x +√ y )2≤16 ⇔√x+√y≤4 Dấu “=” xảy ra {x=y ¿¿¿¿ x = y = 4
Bài 13: Giải hệ phương trình: Giải: Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0
Ta có: x+ y−√xy=3 x+ y=√xy+3
60
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: √ xy≤ x+ y≤ Do đó: Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có: (√x+1+√ y+1)2≤2( x+1+ y+1)≤16 √x+1+√ y+1≤4 Dấu “=” xảy ra { x =y ¿¿¿¿ x = y = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 3)
Bài 14: Giải hệ phương trình: x y
Giải: Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Tương tự: Do đó: x
Dấu “=” xảy ray 1
Thử lại: x = 2; y = 2 thỏa mãn phương trình (1).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2)
Bài 15: Giải hệ phương trình: x
Giải: Điều kiện: y x 0
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a- côp-xki, ta có: 61
(1) (2)
x2 y y2 x 2(x2 y y2 x) 2.2 2