(SKKN CHẤT 2020) báo cáo kết quả nghiên cứu ứng dụng sáng kiến một số phương pháp giải hệ phương trình đại số

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU - ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Tác giả sáng kiến: Nguyễn Mã sáng kiến: 09.52.01 Thị Thanh Hòa Tam Dương, Năm 2018 download by : skknchat@gmail.com Lời giới thiệu Hệ phương trình Đại số tốn chương trình tốn học phổ thơng Các em häc sinh làm quen với hệ phương trình đại số từ lớp trung học sở Ở bậc THPT học sinh học chi tiết chương trình đại số lớp 10, với lượng kiến thức khơng nhiều, hệ phương trình đưa vào đề thi THPT Quốc gia, thi HSG lại địi hỏi em phải có lượng kiến thức tương đối nhiều phần Chính q trình giảng dạy, tơi soạn chun đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ” Trước hết giúp thân hệ thống dạng hệ phương trình phương pháp giải qua phục vụ tốt cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chun mơn Tên sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Hòa - Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0987.444.700 - Email: nguyenthanhhoa.gvtranhungdao@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Hòa Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Môn Đại số lớp 10 Giải Tích lớp 12 ban -Trong phạm vi đề tài này, thực nghiên cứu đưa các dạng phương pháp giải số hệ phương trình thuộc chương trình Đại số 10 có sử dụng kiến thức chương Giải tích 12 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu: Ngày 03 tháng 11 năm 2017 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Nội dung sáng kiến PHẦN I MỞ ĐẦU Mục đích nghiên cứu Tơi viết sáng kiến kinh nghiệm với mục đích thân có tài liệu phục vụ công tác giảng dạy mong muốn cung cấp cho thầy, giáo có thêm tài liệu tham khảo Các em học sinh THPT tài liệu học tập, tra cứu thơng dụng có hiệu giải hệ phương trình Đại số Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12A1 12A3 trường THPT Trần Hưng Đạo năm học 2017 – 2018 Phạm vi nghiên cứu Chương III chương trình Đại Số lớp 10 chương I chương trình Giải Tích 12 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận download by : skknchat@gmail.com Phân tích chương trình mơn tốn THPT Nghiên cứu kỹ dạng phương trình phương pháp: “Giải hệ phương trình Đại số” tài liệu lý luận, sách tham khảo 4.2 Thực hành rút kinh nghiệm Thông qua buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với đồng nghiệp khảo sát học sinh thông qua kiểm tra để rút kinh nghiệm 4.3 Thực nghiệm sư phạm : Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc phân dạng tập Qua đánh giá hiệu đề tài Điểm đề tài - Hệ thống lại số dạng hệ phương trình bản, thường gặp cách giải chúng - Đưa số phương pháp giải chung số hệ phương trình thường gặp với ví dụ có lời giải - Hệ thống số tập thường gặp đề thi HSG năm gần Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm chia làm hai phần: - Các hệ phương trình - Một số phương pháp giải hệ phương trình download by : skknchat@gmail.com Phần II: NỘI DUNG CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1.1 HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1.1 Dạng tổng quát: 1.1.2 Phương pháp giải: 1.1.2.1 Phương pháp thế: Bước 1: Từ phương trình (1) hệ ta rút x y vào phương trình (2) Khi ta phương trình bậc hai y x Bước 2: Giải phương trình bậc hai Bước 3: Kết luận 1.1.2.2 Phương pháp đồ thị: Bước 1: Tập hợp điểm thỏa mãn phương trình (1) đường thẳng d: Ax + By + C = Tập hợp điểm thỏa mãn phương trình (2) đường cong (S) có phương trình: Bước 2: Số nghiệm hệ số giao điểm đường thẳng d đường cong (S) Chú ý: Phương pháp thường sử dụng cho toán chứa tham số a = c, b = Lúc (S) phương trình đường trịn 1.2.3 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình với m = b)Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Lời giải: a) Với thỏa măn: ta có hệ: +) Từ (1) ta có: thay vào (2) được: +) KL: Hệ có nghiệm: download by : skknchat@gmail.com b) Từ phương trình (1): thay vào (2) ta được: (3) +) Dễ thấy phương trình (3) ln có hai nghiệm phân biệt với m Do hệ ln có hai cặp nghiệm phân biệt là: +) Mặt khác từ giả thiết ta có: KL: Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: a) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b) Gọi nghiệm hệ CMR: Lời giải: Cách 1: Từ (1) ta có: thay vào (2) được: (3) a) Để hệ có hai nghiệm phân biệt b) Với (3) có hai nghiệm phân biệt Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: Do ta có: (đpcm) Cách 2: Phương trình (1) phương trình đường thẳng d download by : skknchat@gmail.com Phương trình (2) phương trình đường trịn (C ) tâm , bán kính R= a)Hệ có hai nghiệm phân biệt đường thẳng (d) cắt đường tròn (C ) hai điểm phân biệt b) Với d(I; d) < R , d cắt (C ) hai điểm A(x1; y1) B(x2; y2) Ta có: (đpcm) Nhận xét: So sánh hai phương pháp ta thấy toán chứa tham số mà sử dụng phương pháp đồ thị tốn có lời giải ngắn gọn Tuy nhiên với dạng hệ phương trình sử dụng phương pháp đồ thị có hiệu a = c, b = Chú ý: Phương pháp cịn mở rộng cho hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc lớn 2, dùng để giải phương trình vơ tỷ khơng đồng bậc có dạng: Ví dụ 3: Giải phương trình: (1) ( Khối A – 2009) Lời giải +) Điều kiện: +) Đặt điều kiện +) Khi (1) trở thành: +) Từ (2) ta có +) Với thay vào (3) được: KL: phương trình có nghiệm 1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I 1.2.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại I hai ẩn x, y hệ gồm phương trình khơng thay đổi ta thay x y y x download by : skknchat@gmail.com 1.2.2 Phương pháp giải chung: Bước 1: Biến đổi tổng tích đặt , điều kiện: Bước 2: Đưa hệ phương trình hệ gồm hai ẩn S, P Giải hệ tìm S, P, thay vào (*) x, y nghiệm phương trình: * Chú ý: +) Nếu nghiệm hệ nghiệm điều kiện cần là nghiệm hệ Từ để hệ có +) Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S, P: * * * * 1.2.3 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Lời giải: +) Biến đổi hệ: +) Đặt , (Điều kiện ) +) Ta có hệ: +) Với +) Với download by : skknchat@gmail.com +) KL: Hệ có nghiệm: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: Lời giải: +) Hệ +) Đặt , điều kiện: Khi hệ có dạng: +) Với +) KL: Vậy hệ có hai nghiệm: Ví dụ 3: Tìm m để hệ: có nghiệm Lời giải: * Điều kiện cần: Giả sử nghiệm hệ Do hệ cho hệ đối xứng với nghiệm hệ Để hệ có nghiệm nên Thay vào hệ phương trình ta được: * Điều kiện đủ: +) Với Với +) Với Vậy thay vào hệ ta được: hệ có nghiệm nên khơng thỏa mãn thay vào hệ ta được: thỏa mãn KL: giá trị cần tìm download by : skknchat@gmail.com 1.2.4 Phương pháp giải số hệ phương trình đối xứng loại I 1.2.4.1 Hệ phương tŕnh đối xứng có chứa Phương pháp: Khi ta đặt Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Lời giải: Đặt Điều kiện Khi hệ cho trở thành: +) Với , +) Với Ta có: +) Với Ta có: nghiệm phương trình: và KL: Vậy hệ có nghiệm: 1.2.4.2 Hệ phương trình đối xứng chứa x y S Phương pháp: Khi ta đặt: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (I) +) Điều kiện : +) Hệ (I) download by : skknchat@gmail.com *) Với KL: Hệ có nghiệm Ví dụ : Giải hệ phương trình: Lời giải: *) Điều kiện: *) Nhận xét: *) Với không nghiệm hệ Do vào phương trình (2) ta có: , Vì Ta có : , với *) Do ta có 35 download by : skknchat@gmail.com *) Vậy hệ phương trình có nghiệm 2.4.3 Bài tập rèn luyện 1/ 2/ 3/ 4/ 8/ 7/ 2.5 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2.5.1 Nhận dạng Phương pháp hàm số phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình hệ từ tìm hệ thức đơn giản biến Phương pháp hàm số cơng cụ mạnh việc giải phương trình, hệ phương trình đặc biệt phương trình có nghiệm nhât Phương pháp có vai trị phương pháp biến đổi thành tích *) Cơ sở phương pháp: Ta sử dụng định lí sau đây: Định lí 1: Nếu hàm số hàm đơn điệu (luôn đồng biến ln nghịch biến) tập D phương trình có nhiều nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số nghịch biến (hoặc đồng biến) D phương trình có nhiều nghiệm D Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n phương trình có m nghiệm, phương trình có nhiều m+1 nghiệm 2.5.2 Ví dụ minh họa 36 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (HSG 12 Vĩnh Phúc 2014 – 2015) Lời giải: Điều kiện Xét hàm số Vậy hàm số đồng biến R Từ (1) ta có Thay (3) vào (2) ta phương trình: Phương trình Từ nghiệm Từ phương trình vơ nghiệm KL :Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực (HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 – 2014) Lời giải: Hệ tương đương 37 download by : skknchat@gmail.com Đặt , ta có hệ: Hệ cho có nghiệm (1) có nghiệm thỏa mãn Xét hàm số Với Ta có Lập bảng biến thiên ta giá trị cần tìm m là: Ví dụ 3: Giải hệ phương trình Lời giải: Điều kiện : +) Với thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn +) Với từ chia hai vế phương trình (1) cho y5 ta được: Ta : +) Xét hàm số với t thuộc R Là hàm số ln đồng biến R ta có: +) Với thay vào (2) ta được: KL: Vậy hệ có hai nghiệm Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: Lời giải: * Điều kiện: 38 download by : skknchat@gmail.com *) Biến đổi phương trình (2): *) Xét hàm số R Suy (*) *) Với Suy hàm số đồng biến Ta có Thay vào pt (1) ta được: Do nên (vơ nghiệm) * Với Kết luận hệ có nghiệm: Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (Khối A, A1 _ 2013) Lời giải: +) Điều kiện: Từ (2) ta suy được: , suy +) Đặt Phương trình (1) trở thành: +) Xét hàm: Ta có: Do phương trình (3) tương đương với: +) Thay ta được: vào phương trình (2) +) Với +) Với ta có: Nên phương trình nghiệm mà nghiệm có nhiều nghiệm Vậy phương trình Với 39 download by : skknchat@gmail.c om KL: Hệ có nghiệm Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: Lời giải: +) Điều kiện (1) (3) +) Xét hàm số: , với +) Ta có: với suy hàm số f(t) đồng biến khoảng Từ (3) ta có: f(x) = f(y) +) Thay y vào (2) được: Xét hàm số , với với Hàm số liên tục , hàm đồng biến Mà ta có : KL : Vậy hệ có nghiệm: Ví dụ 7: Tìm m để hệ phương trình: nghiệm thực có Lời giải: Điều kiện , 40 download by : skknchat@gmail.com +) Ta có (1) +) Đặt Khi ta có (1) t3 - 3t2 = y3 - 3y2 +) Xét hàm số: f(u) = u3 - 3u2 Dễ thấy hàm số nghịch biến đoạn [0; 2] nên: (1) +) Với y=t y=x+1 thay vào (2) ta được: +) Xét hàm: (3) với Ta có: , +) Lập bảng biến thiên cho hàm số đoạn ta được: Vậy để hệ có nghiệm thực (3) có nghiệm thực +) Kết luận: 2.5.3 Bài tập rèn luyện 2/ 1/ 4/ 3// 6/ 5/ 8/ 7/ 10/ 9/ Đề kiểm tra Giải hệ phương trình sau 41 download by : skknchat@gmail.com Câu 1: Câu 3: Phần III: K Hệ phương trình đại số phần kiến thức quan trọng khó nhiều học sinh thời lượng chương trình q Do phân phối chương trình đại số lớp 10 cần tăng số tiết chuyên đề hệ phương trình giúp em học sinh có thêm thời gian nghiên cứu, tìm hiểu sâu phần kiến thức quan trọng Nên đưa thêm dạng toán ứng dụng đạo hàm vào giải toán phương trình hệ phương trình vào tiết tự chọn tiết ôn thi đại học học sinh lớp 12 để giáo viên có thời lượng truyền đạt kiến thức cho học sinh Việc hệ thống hệ phương trình phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực hy vọng giúp em học sinh làm tốt toán giải hệ phương trình đề thi tuyển sinh HSG đề thi THPT Quốc gia Tôi mong tài liệu để đồng nghiệp tổ tham khảo Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Toán – Tin – CN em học sinh lớp 12A1, 12A3 Trường THPT Trần Hưng Đạo giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm Cuối cùng, cho dù cố gắng khơng tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm cịn hạn chế, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy em học sinh để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện 42 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phương pháp dạy học môm toán – Tác giả Nguyễn Bá Kim [2] Sách Đại số 10 [3] Sách Bài tập đại số 10 ( Nâng cao bản) [4] Sáng tạo giải phương trình – hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Tài Chung [5] Trọng tâm kiến thức phương pháp giải toán đại số - Tác giả Nguyễn Phú Khánh [6] Toán nâng cao Đại số THPT (Tập 1) – Tác giả Phan Huy Khải [7] Đại số sơ cấp _ tác giả Nguyễn Tất Thu Khả áp dụng sáng kiến - Qua nghiên cứu lí luận thực dạy thực tế trường phổ thông, nhận thấy việc thực dạy học giải hệ phương trình với cách trình bày mang lại kết cao, giúp học sinh hứng thú, sáng tạo trình học tập - Để phát huy khả sáng tạo học sinh thực dạy giải hệ phương trình đại số giáo viên nên kết hợp thêm với việc giao tập nhóm báo cáo kết trước lớp - Sáng kiến áp dụng với tất em học sinh THPT học toàn chương 1- Giải Tích 12 nói riêng tồn cấp học nói chung - Sáng kiến áp dụng thực tế với em học sinh lớp 12A3 trường THPT Trần Hưng Đạo, học chương – Giải Tích 12 Thực tế cho thấy em học sinh dễ tiếp thu giảng, dễ làm quen với tập tương giao hai đồ thị +) Lớp thực nghiệm : 12A3 +) Lớp đối chứng : Kết Lớp Số 12A3 30 12A1 26 Nhận xét : - Ở lớp thực nghiệm 12A3: Tỉ lệ học sinh có điểm TB TB thấp lớp đối chứng, tỉ lệ giỏi cao - Ở lớp đối chứng 12A1: Tỉ lệ học sinh có điểm TB TB cao lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm giỏi thấp Điều cho thấy học sinh lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu vận dụng kiến thức tốt Khả nhìn nhận giải tốn tốt so với đối chứng Những thơng tin cần bảo mật: không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 43 download by : skknchat@gmail.com - Giáo viên cần đưa phương pháp dạy học phù hợp với lực trình độ nhận thức học sinh - Việc thực dạy kiến thức cần đảm bảo tính vừa sức, khoa học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh học tập; tránh việc dạy nhiêu, khó lan man; khiên cưỡng - Việc kiểm tra đánh giá dạy học tích hợp cần hướng tới việc đánh giá theo định hướng phát triển lực học sinh 10 Đánh giá lợi ích thu áp dụng sáng kiến 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: 10.1.1 So sánh phương pháp dạy chưa phân dạng phương pháp dạy theo hướng phân dạng a Phương pháp dạy chưa phân dạng Khi chưa phân dạng mà tập cho học sinh làm ta thấy sau: - Học sinh khơng có phương hướng làm dẫn đến nhiều thời gian suy nghĩ - Trình bày: Vắt tắt, lủng củng, khơng logic, không chặt chẽ - Nhiều biến đổi không hiểu chất dẫn đến mắc sai lầm toán học - Bị điểm trình bày Mặc dù dạy theo kiểu chưa phân dạng giúp em phải kiên trì tư duy, tự phát vấn đề để giải lại không khắc sâu tổng quan chuyên đề b Phương pháp dạy phân dạng Sau học xong chuyên đề em cảm thấy tự tin vào nội dung chương trình ơn thi THPT Quốc Gia hay ôn thi học sinh giỏi Nhờ vào việc tận dụng từ khóa phương pháp sáng tạo, chuyên đề ghi cô động trang giấy, mà không bỏ lỡ thông tin quan trọng Tất thông tin cần thiết để đạt điểm cao kỳ thi lưu giữ nguyên vẹn từ chi tiết nhỏ nhặt Hệ phương trình đại số toán bản, quan trọng Trong khuôn khổ sáng kiến đề cập đến lớp toán thường xuất đề thi năm gần Sáng kiến nêu phương pháp chung cho dạng minh họa toán cụ thể, đồng thời đưa cho dạng số tập với mức độ khác 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Sáng kiến kinh nghiệm có tính khả thi, ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu cao học toán trường phổ thơng Giúp học sinh có niềm say mê hứng thú với môn học đồng thời khắc sâu kiến thức 44 download by : skknchat@gmail.com Tuy thời gian có hạn, kinh nghiệm cịn hạn chế nên sáng kiến tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp để sáng kiến thực tài liệu có ích cho thân em học sinh q trình ơn thi THPT Quốc Gia ôn thi học sinh giỏi 11 Danh sách cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu: Số TT - Nguyễn Thị Thanh Hòa - Lớp 12A1, 12A3 Tam Dương, ngày 25 tháng 02 năm 2018 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Nguyễn Thị Thanh Hoà 45 download by : skknchat@gmail.com ... PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ” Trước hết giúp thân hệ thống dạng hệ phương trình phương pháp giải qua phục vụ tốt cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn Tên sáng kiến ? ?Một số phương. .. nắm dạng số phương pháp giải sau CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP THẾ 1.1.Nhận dạng Thế kĩ quan trọng hàng đầu vấn đề giải hệ phương trình Là kĩ sử dụng hầu hết hệ phương trình Dấu... chương trình Giải Tích 12 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận download by : skknchat@gmail.com Phân tích chương trình mơn tốn THPT Nghiên cứu kỹ dạng phương trình phương pháp: ? ?Giải hệ phương