Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
*) Điều kiện xác định:
*) Kết hợp với (2) ta được hệ: .
*) Với . Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1;6).
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
Điều kiện:
*) Xét thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
*) Xét . Khi đó nhân cả hai vế của (1) cho
ta được:
.
* Với Thế vào (2) ta có:
34download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com
. *) Với . KL: Hệ có nghiệm Ví dụ 3 : Giải hệ phương trình: . Lời giải: *) Điều kiện: .
*) Nhận xét: không là nghiệm của hệ. Do đó hoặc
*) Với vào phương trình (2) ta có:
, Vì
Ta có :
,
với *) Do đó ta có
*) Vậy hệ phương trình có nghiệm . 2.4.3. Bài tập rèn luyện 1/ 2/ 3/ 4/ 8/ 7/ 2.5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 2.5.1. Nhận dạng
Phương pháp hàm số là phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đi giải quyết một phương trình nào đó của hệ từ đó tìm ra hệ thức đơn giản hơn giữa các biến. Phương pháp hàm số là một công cụ mạnh trong việc giải phương trình, hệ phương trình đặc biệt đối với phương trình có nghiệm duy nhât. Phương pháp này có vai trò như phương pháp biến đổi thành tích.
*) Cơ sở của phương pháp: Ta sử dụng các định lí sau đây:
Định lí 1: Nếu hàm số là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến) trên tập D thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm và
.
Định lí 2: Nếu hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì phương trình
có nhiều nhất một nghiệm trên D.
Định lí 3: Cho hàm số có đạo hàm đến cấp n và phương trình
có m nghiệm, khi đó phương trình có nhiều nhất là m+1 nghiệm.
2.5.2. Ví dụ minh họa
36download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (HSG 12 Vĩnh Phúc 2014 – 2015) Lời giải: Điều kiện Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên R. Từ (1) ta có
Thay (3) vào (2) ta được phương trình: Phương trình
Từ Từ
là một nghiệm của
phương trình vô nghiệm
do
KL :Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
(HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 – 2014) Lời giải:
Hệ tương đương
37download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com
Đặt , ta có hệ:
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn .
Xét hàm số . Ta có .
Với thì .
Lập bảng biến thiên ta được giá trị cần tìm của m là: .
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Điều kiện :
+) Với thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
+) Với từ đó chia hai vế của phương trình (1) cho y5 ta được:
Ta được :
+) Xét hàm số với t thuộc R . Là hàm số luôn đồng biến trên R vậy ta
có: .
+) Với thay vào (2) ta được: .
KL: Vậy hệ có hai nghiệm .
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Lời giải:
* Điều kiện:
38download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com
*) Biến đổi phương trình (2):
*) Xét hàm số . Ta có
trên R. Suy ra (*)
*) Với Thay vào pt (1) ta được:
. . . Suy ra hàm số đồng biến Do nên (vô nghiệm). * Với . Kết luận hệ có nghiệm: Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (Khối A, A1 _ 2013) Lời giải: +) Điều kiện: . Từ (2) ta suy ra được: , suy ra +) Đặt . Phương trình (1) trở thành: +) Xét hàm: . Ta có:
Do đó phương trình (3) tương đương
với: .
+) Thay vào phương trình (2)
ta được:
+) Với
+) Với ta có:
. Nên
phương trình có nhiều nhất
một nghiệm mà là nghiệm. Vậy là
nghiệm
duy nhất của phương trình .
Với .
39download by :