(SKKN CHẤT 2020) chuyên đề phân loại và phương pháp tính thể tích khối đa diện

Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: PHẦN 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN TỚI THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Vấn đề I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: b) Tính chất · · · Đường thẳng mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P) d ầ (P) = ặ b) Tớnh chất · · · Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ b) Tính chất · · · Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: · Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: song song hình hoc phẳng(như tính chất đường trung bình, định lí Talet đảo,…) · Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba · Áp dụng định lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Vấn đề II QUAN HÊ VNG GÓC Hai đường thẳng vng góc a) Định nghĩa: a^bÛ b) Tính chất · Giả sử VTCP đường thẳng a, VTCP đường thẳng b Khi · Đường thẳng mặt phẳng vng góc d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) a) Định nghĩa: b) Tính chất · Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng: · · · · · · · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng · Định lí ba đường vng góc download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢ Cho Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: (P) ^ (Q) Û b) Tính chất: · Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: · · · Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh , ta sử dụng cách sau: · Chứng minh góc a d 900 · Chứng minh vectơ phương a d vng góc với · Chứng minh mà · Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a · Sử dụng định lí ba đường vng góc · Sử dụng tính chất hình hoc phẳng (như định lí Pitago) b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh d vng góc với hai đường cắt nằm (P) · Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) · Chứng minh d // a a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) (Q) ^ (P) d vng góc với giao tuyến (P) (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P) c) Chứng mính hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: · Chứng minh Vấn đề III GÓC– KHOẢNG CACH Góc a) Góc hai đường thẳng a//a', b//b' Þ Chú ý: 00 £ £ 900 b) Góc đường thẳng mặt phẳng · Nếu d ^ (P) · Nếu Chú ý: 00 £ = 900 = với d¢ hình chiếu d (P) £ 900 c) Góc hai mặt phẳng · Giả sử (P) Ç (Q) = c T I ẻ c, dng ị Chỳ ý : d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) S¢ = S.cosj (Q), j = Khi đó: Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đén đường thẳng(mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng(mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đườngthẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: song với đường thẳng Vấn đề IV NHẮC LẠI MỘT SÔ CÔNG THƯC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vng A, có đường cao AH · · · · b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; có độ dài đường trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p · Định lí hàm số cosin: · Định lí hàm số sin: · Công thức độ dài đường trung tuyến Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: · · · · · DABC vuông A: · · DABC đều, cạnh a: b) Hình vng: c) Hình chữ nhật: (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước ) S = a2 S = a.b d) Hình bình hành: S = đáy ´ chiều cao = e) Hình thoi: f) Hình thang: (a, b: hai đáy, h: chiều cao) download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc Vấn đề V THÊ TICH CỦA KHƠI ĐA DIÊN Thể tích khối hộp chữ nhật với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: với S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ với S diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích cơng thức · Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao,… · Sử dụng cơng thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện them vào khối đa diện tạo thành, dễ tính thể tích d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau : Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: * Bổ sung · Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: PHẦN 2: PHÂN LOẠẠ̣I VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓĨ́P Loại 1: Hình chóp có chân đường cao đỉnh đa giác đáy Loại 1: Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính , chiều cao cạnh bên vng góc với mặt đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông A, AB = a , AC = a Góc SB (SAC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Giải: + Ta có nên SA chiều cao hình chóp S.ABC B A + Ta có + Tính SA? C Ta có  A hình chiếu B (SAC)  SA hình chiếu SB (SAC)  Góc SB (SAC) góc SB SA góc nên (vì SAB vng A )  Xét SAB vng A có download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Vậy (đvtt) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Góc (SBD) (ABCD) 600 G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng qua SG song song với BD cắt BC, CD M, N Tính theo a thể tích khối chóp S.BDNM Giải: + Ta có nên SA chiều cao S hình chóp S.BDNM B + Ta có M Ta có + Tính SA? Ta có Mà  Góc (SBD) (ABCD) góc SO AC góc A nên (vì SOA vuông ) download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”:  Xét SAO vng có Vậy (đvtt) Loại 2: Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy giao tuyến hai mặt bên vng góc với mặt đáy , đường cao giao tuyến hai Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính mặt bên vng góc với mặt đáy Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có mặt (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cạnh a Góc (SBC) (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC B A + Ta có M C SA chiều cao hình chóp S.ABC + Ta có + Tính SA? Gọi M trung điểm BC, mà tam giác ABC tam giác nên ta có Ta có download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Mà  Góc (SBC) (ABC) góc SM AM góc A nên )   Xét SAM vng có S Vậy (đvtt) (vì SMA vng download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm AB AC Tính thể tích khối chóp S.AMN Giải: Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V S h ) * Khối chóp S.AMN có -Đáy tam giác AMN - Đường cao SA * AMN có Â = 600, AM=AN = a S AMN * SA = a * Thể tích khối chóp S.ABC V S.AMN Cách : ( Dùng cơng thức tỷ số thể tích) Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh A góc đỉnh A Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có Ta có : V S.ABC 46 download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Vậy VS AMN VS ABC a3 4  Nhận xét: Học sinh thường lúng túng gặp thể tích khối chóp “nhỏ” khối chóp cho xác định đa giác đáy đường cao thường bị sai Trong số tốn việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Gọi M, N trung điểm SB SC Tính thể tích khối chóp S.AMN A.BCNM Giải: Khối chóp S.AMN S.ABC có chung đỉnh S góc đỉnh S Do theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có V S.AMN V S.ABC V Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = 2a Gọi I trung điểm SC Tính thể tích khối chóp I.ABCD Giải : Gọi O giao điểm AC BD Ta có : IO // SA SA (ABCD) IO (ABCD) V I ABCD S IO ABCD 47 download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Mà : S ABCD SA a IO Vậy VI a2 ABCD a a a3 Nhận xét : Có thể trình bày lời giải tốn theo hướng so sánh hai cơng thức thể tích có diện tích đáy V SABCD , hai đường cao IO, SA : IO IA Suy V S ABCD I ABCD Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB=a; AD=b Cạnh SA=2a hình chóp vng góc với đáy M điểm nằm cạnh SA với AM= x (0 x 2a) Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp hai phần tích Giải : Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD VS ABCD Gọi V1 thể tích khối S.MNCB V1 =V(SMBC)+V(SMNC) V SM.SB.SC SA.SB.SC SMBC V Ta có SABC VSABC = SA.dt ( ABC ) V 2a x V SMBC 2a * Ta có: V SM SMNC V SACD 48 SA.S download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: VSACD= V a2 b 2 VSMNC= (2 a x ) a b (2 a x ) b a 2312 Ycbt V1= x 6ax a Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) qua AB trọng tâm G tam giác SAC cắt SC; SD M; N Tính thể tích SABMN khoảng cách BG CD theo a Giải : * Gọi E; F trung điểm AB CD góc SEF góc mặt bên đáy góc SEF = 600 tam giác SEF * Ta có * Trong tam giác SEF có SO a 49 download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: V SABCD V SABMN * d(BG; CD) = FH (H giao điểm SF MN), mà tam giác SEF cạnh a d ( BG ; CD) a Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh a, gọi P, Q trung điểm AB, CD; R điểm thuộc cạnh BC cho BR 2RC Mặt phẳng (PQR) cắt AD S Tính theo a thể tích S.BCD Giải : * Trong (BCD): BD QR I Trong ABD : AD IP S * Áp dụng tỉ lệ ABD ta cã SD V SD S.BCD V AD A.BCD V S.BCD AD 50 download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a Cạnh SA ABC SA = 2a Gọi M, N hình chiếu vng góc A lên cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp ABCMN Giải : o SAB SAC có AB = AC, SA chung, A = 90 SAB = SAC SB = SC mặt bên SBC tam giác cân Áp dụng định lý đường cao tam giác SAB SAC ta có : AB.AS AM AB Áp dụng địn lý Pitago SM SA SN SA AM AM 2 4a 4a Ta có tỷ số : SM SN V 16 SB VS.ABC 25 SC VS AMN S.AMN 16 VS ABC 25 8a 3 75 Thể tích : V ABCMN V S.ABC V S.AMN 51 AS download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài : Cho tứ diện SABC có SA = a vng góc với đáy, đáy ABC tam giác vuông cân B, AC = 2a.Lấy I thuộc SB cho SI = SB/3 Tính VSAIC Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Cạnh bên SA= a Một mp(P) qua AB vng góc với mp(SCD), cắt SC SD C’ D’ a) Tính diện tích tứ giác ABC’D’ b) Tính V khối đa diện ABCDD’C’ Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài 4: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Lấy điểm B', C' AB AC cho AB ' AC' a 2; a Tính thể tích tứ diện AB'C'D Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy tam giác ABC vuông B AB=a, BC=2a, AA’=3a Một mp(P) qua A vng góc với CA’ cắt đoạn thẳng CC’ BB’ M N a) Tính V khối chóp C.A’AB b) Tính V khối tứ diện A’AMN c) Tính S AMN Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F 52 download by : skknchat@gmail.com Chuyên đề “Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện”: a) Hãy xác định mp(AEMF); Tính thể tích khối chóp S.ABCD; b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy, SA a Gọi B’,D’ hình chiếu A lên SB,SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD; b) Chứng minh SC AB ' D' ;Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ 53 download by : skknchat@gmail.com ... dễ dàng tính thể tích chúng Sau cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện them vào khối đa diện tạo... nhật Thể tích khối chóp: với S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp Thể tích khối lăng trụ với S diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể. .. skknchat@gmail.com Chuyên đề ? ?Phân loại phương pháp tính thể tích khối đa diện? ??: g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc Vấn đề V THÊ TICH CỦA KHƠI ĐA DIÊN Thể tích khối hộp chữ nhật với a, b, c ba kích thước khối