A D' BD.tan 300 a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cú đỏy ABC vuụng cõn tại B biết A'C = a và A'C hợp
với mặt bờn (AA'B'B) một gúc 30o . Tớnh thể tớch khối lăng trụ
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cú đỏy ABC vuụng tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp
với đỏy (ABC) một gúc 30o . Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bờn (BCC'B') một gúc 30o . Tớnh độ dài AB' và thể tớch khối lăng trụ .
Bài 4: Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC A'B'C' cú khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (A'BC)
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một gúc 300 . Tớnh thể tớch khối lăng trụ
Bài 5: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cú đường chộo A'C = a và biết rằng A'C hợp
với (ABCD) một gúc 30o và hợp với (ABB'A') một gúc 45o .Tớnh thể tớch của khối hộp chữ nhật.
32
Loại 1.3: Lăng trụ đứng cú gúc giữa hai mặt phẳng
Vớ dụ 1: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' cú AB 4 a , AC 5a
phẳng ABC ' D ' hợp đỏy gúc 450 . Tớnh thể tớch khối hộp chữ nhật đú.
Giải: Theo ĐL Pitago ta cú: BC ABCD Do BC ABCD , BC AB BC' ABC'D' ,BC' AB Nờn gúc giữa mặt phẳng ABC ' D '
Suy ra, tam giỏc vuụng cõn nờn CC ' BC 3a
Vậy thể tớch khối hộp chữ nhật là V ABCD . A ' B ' C ' D ' CC '.S ABCD 36a3 (đvtt)
Vớ dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giỏc ABC A'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn
tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đỏy (ABC) một gúc 600 .Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Giải:
Ta cú A 'A (ABC),BC AB BC A'B
Vậy gúc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60
AA ' AB.tan 60 0 a 3 . 1
SABC = 2 BA.BC
Vậy thể tớch khối lăng trụ V = SABC.AA' = a
3 2 3
Vớ dụ 3: Đỏy của lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ là tam giỏc đều . Mặt (A’BC)
tạo với đỏy một gúc 300 và diện tớch tam giỏc A’BC bằng 8. Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Giải:
ABC đều AI BC mà AA' (ABC) nờn A'I BC (đl 3 ). Vậy gúc[(A'BC);)ABC)] = A ' IA 300 Giả sử BI = x AI A' AI : A' I AI : cos300 A’A = AI.tan 300 = x
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 x 2 . Do đú VABC.A’B’C’ = 8 3
Vớ dụ 4: Cho lăng trụ tứ giỏc đều ABCD A'B'C'D' cú cạnh đỏy a và mặt phẳng (BDC')
hợp với đỏy (ABCD) một gúc 60o. Tớnh thể tớch khối hộp chữ nhật.
Giải :
Gọi O là tõm của ABCD . Ta cú ABCD là hỡnh vuụng nờn OC BD CC' (ABCD) nờn OC' BD (đl 3 ). Vậy gúc[(BDC'); (ABCD)] = COC ' 600 Ta cú V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hỡnh vuụng nờn SABCD = a2 OCC' vuụng nờn CC' = OC.tan60o = a
26
Vậy thể tớch khối hộp chữ nhật V = a3 26
Vớ dụ 5: Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cú AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp
với đỏy (ABCD) một gúc 60o và A'C hợp với đỏy (ABCD) một gúc 30o .Tớnh thể tớch khối hộp chữ nhật.
34
Giải: Ta cú AA' trờn (ABCD) . Vậy gúc[A'C,(ABCD)] = A ' CA 300 BC AB BC A'B (đl 3 ) . Vậy gúc [(A'BC),(ABCD)] = A ' BA 600 AC = AA'.cot30o = 2a 3 AB AA'.cot60o 2a 3 3 BC AC 2 AB2 4a3 6 Vậy thể tớch khối hộp chữ nhật V = AB.BC.AA' = 16a 3 2 3
Vớ dụ 6: Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành với
AB a , AD 2a , BCD 600 . Gúc giữa mặt phẳng (C’BD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a .
Giải:
Vỡ ABCD.A’B’C’D’ là hỡnh lăng trụ đứng nờn cú chiều cao AA’.
Diện tớch hỡnh bỡnh hành ABCD là: SABCD 2SBCD 2. Trong BCD kẻ CH BD . BD CH BD C'CH BD C'H . BD CC'
Suy ra C ' HC là gúc giữa hai mặt phẳng (C’BD)
B’ C’
B
35
và (ABCD). Ta cú C ' HC 450 . Áp dụng định lớ cụsin trong BCD , ta cú: BD 2 BC 2 CD 2 2 BC .CD cos 600 4 a 2 a 2 2.2 a.a. 1 2 3a2 BD a 3 . Ta cú S BCD Mà S BCD
Trong C ' CH vuụng tại C, ta cú:
t an450 CCCH' CC ' CH tan 450 a .
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là CC ' a .
Thể tớch của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là V S ABCD .CC ' a 2 3.a a3 3 .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' cú AA' = a biết đường chộo A'C hợp với đỏy ABCD
một gúc 30o và
mặt (A'BC) hợp với đỏy ABCD một gúc 600 .Tớnh thể tớch hộp chữ nhật.
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng và cạnh bờn bằng a
biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đỏy một gúc 30o.Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại B và AC = 2a biết
rằng (A'BC) hợp với đỏy ABC một gúc 45o. Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc cõn tại A với AB = AC = a và
BAC 120o biết rằng (A'BC) hợp với đỏy ABC một gúc 45o. Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B và BB' = AB = h
biết rằng (B'AC) hợp với đỏy ABC một gúc 60o. Tớnh thể tớch khối lăng trụ.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' cú đỏy ABC đều biết cạnh bờn AA' = a.Tớnh thể tớch
lăng trụ trong cỏc trường hợp sau đõy:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đỏy ABC một gúc 60o .
2) Chiều cao kẻ từ A' của tam giỏc A'BC bằng độ dài cạnh đỏy của lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giỏc đều ABCD A'B'C'D' cú cạnh bờn AA' = 2a .Tớnh thể tớch lăng trụ
trong cỏc trường hợp sau đõy:
1) Mặt (ACD') hợp với đỏy ABCD một gúc 45o . 2) BD' hợp với đỏy ABCD một gúc 600 .
3) Khoảng cỏch từ D đến mặt (ACD') bằng a .
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a. Tớnh thể tớch
lăng trụ trong cỏc trường hợp sau đõy:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đỏy ABCD một gúc 60o 2)Tam giỏc BDC' là tam giỏc đều.
3)AC' hợp với đỏy ABCD một gúc 450
Bài 9:Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' cú đỏy ABCD là hỡnh thoi cạnh a và gúc nhọn A =
60.Tớnh thể tớch lăng trụ trong cỏc trường hợp sau đõy: 1) (BDC') hợp với đỏy ABCD một gúc 60o .
2) Khoảng cỏch từ C đến (BDC') bằng a / 2 3) AC' hợp với đỏy ABCD một gúc 450
Loại 2: Thể tớch khối lăng trụ xiờn
Loại 2. 1: Lăng trụ cú hỡnh chiếu vuụng gúc của một đỉnh là điểm đặc biệt nằm trờn mặt đỏy
Phương phỏp:Sử dụng cụng thức tớnh , chiều cao là đoạn thẳng nối đỉnh với
hinh chiếu vuụng gúc của nú trờn mặt đỏy
Vớ dụ 1: Cho hỡnh lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a , AD a 3
và A ' B 3a . Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A’ trờn mặt phẳng (ABCD) trựng với tõm O của hỡnh chữ nhật ABCD. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ theo a .
Giải:
37
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”:
Ta cú A ' O ABCD . Suy ra A ' O là chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
Diện tớch hỡnh chữ nhật ABCD là:
S ABCD AB. AD a2 3 .
Trong ABD vuụng tại A, ta cú BD 2 AB 2 AD 2
BD 2a .
1
Ta cú BO BD a .
2
Trong A ' OB vuụng tại O, ta cú:
A ' O 2 A ' B 2 BO 2 9 a 2 a 2 8a2 A ' O 2 a 2 .
Chiều cao của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’.
A ' O 2 a 2 .
Thể tớch của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:
V S ABCD . A ' O a 2 3.2 a 2 2 a 3 6 .
Vớ dụ 2: Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ cú đỏy là hỡnh thoi cạnh a, gúc A = 60 đường vuụng gúc hạ từ B’ xuống đỏy ABCD trựng với giao điểm hai đường chộo của đỏy. Cho
BB’ = a.
a) Tớnh gúc giữa cạnh bờn và đỏy b) Tớnh thể tớch khối hộp
Giải:
a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chộo AC và BD
B’O (ABCD) (gt)
Gúc giữa cạnh bờn BB’ và đỏy (ABCD) là =
B BO
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”: cos = OB = OB BB a ABD đều cạnh a DB = a OB = 1 2 DB = a