44
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”:
- Việc tớnh thể tớch của một khối chúp thường học sinh giải bị nhiều sai sút, Tuy nhiờn trong cỏc đề thi lại yờu cầu học sinh tớnh thể tớch của một khối chúp “nhỏ” của khối chúp đó cho (phõn chia khối chúp đó cho thành cỏc khối đa diện). Khi đú học sinh ngoài cỏch tớnh trực tiếp theo cụng thức cú thể thực hiện theo cỏch dựng tỉ số thể tớch.
-Tớnh thể tớch dựa vào phõn tớch khối cần tớnh thành tổng, hiệu cỏc khối cơ bản hoặc so sỏnh thể tớch với một khối cơ bản khỏc.
* Phõn chia khối thành tổng, hiệu cỏc khối cơ bản (khối chúp, khối lăng trụ) mà cỏc khối này dễ tớnh thể tớch hơn.
* So sỏnh thể tớch khối cần tớnh với một khối đa diện khỏc dễ tớnh thể tớch hơn hoặc đó biết thể tớch
* Sử dụng bài toỏn cơ bản:
Cho hỡnh chúp SABC, lấy A’, B’, C’ lần lượt thuộc SA, SB, SC. Khi đú
V
SA'B'C'
V
SABC
Chứng minh: Gọi H và H’ lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A và A’ lờn mặt phẳng (SBC).
Ta cú AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cựng thuộc hai mặt phẳng (AHH’A’) và (SBC) nờn chỳng thẳng hàng. 1 V S.A' B'C ' V S . ABC
Từ (*) và (**) ta cú điều phải chứng minh
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”:
Vớ dụ 1: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC đều cạnh 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc
với mặt phẳng đỏy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tớnh thể tớch khối chúp S.AMN
Giải:
Cỏch 1: (dựng cụng thức thể tớch V 13 .S .h )
* Khối chúp S.AMN cú -Đỏy là tam giỏc AMN - Đường cao là SA * AMN cú Â = 600, AM=AN = a S AMN * SA = a 3 * Thể tớch khối chúp S.ABC V S.AMN Cỏch 2 : ( Dựng cụng thức tỷ số thể tớch)
Khối chúp S.AMN và S.ABC cú chung đỉnh A và gúc ở đỉnh A Do đú theo cụng thức tỷ số thể tớch , ta cú
Ta cú : V
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”:
Vậy VS . AMN VS . ABC a3
4 4
Nhận xột:
Học sinh thường lỳng tỳng khi gặp thể tớch của khối chúp “nhỏ” hơn khối chúp đó cho và khi đú xỏc định đa giỏc đỏy và đường cao thường bị sai.
Trong một số bài toỏn thỡ việc dựng “tỷ số thể tớch “ cú nhiều thuận lợi hơn.
Vớ dụ 2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC đều cạnh 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc
với mặt phẳng đỏy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tớnh thể tớch khối chúp S.AMN và A.BCNM
Giải:
Khối chúp S.AMN và S.ABC cú chung đỉnh S và gúc ở đỉnh
S Do đú theo cụng thức tỷ số thể tớch , ta cú V S.AMN V S.ABC V
Vớ dụ 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tớnh thể tớch khối chúp I.ABCD
Giải :
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta cú : IO // SA và SA (ABCD) IO (ABCD) V I .ABCD 1 3.SABCD .IO 47
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”: Mà : S ABCD a2
IO SA2 a
Vậy VI . ABCD 1 .a 2 .a a3
3 3
Nhận xột : Cú thể trỡnh bày lời giải bài toỏn trờn theo hướng so sỏnh hai cụng thức thể tớch cú
cựng diện tớch đỏy SABCD , và hai đường cao IO, SA : IO 1
2 IA . Suy ra
V
I . ABCD 12 .V
S . ABCD .
Vớ dụ 4: Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB=a; AD=b. Cạnh
SA=2a của hỡnh chúp vuụng gúc với đỏy. M là một điểm nằm trờn cạnh SA với AM= x (0 x 2a). Tỡm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chúp trờn ra hai phần cú thể tớch bằng nhau.
Giải :
Gọi V là thể tớch khối chúp S.ABCD VS . ABCD
Gọi V1 là thể tớch khối S.MNCB V1 =V(SMBC)+V(SMNC) V SMBC SM.SB.SC Ta cú V SA.SB.SC SABC VSABC = 1 SA.dt ( ABC ) 3 V SMBC 2 a x . V 2 a 2 * Ta cú: V SMNC SM . SA.SC V SACD 48
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”: VSACD= V a 2 b 2 3 VSMNC= (2 a x ) 2 . a 2 b (2 a x ) 2 . b 4 a2312 Ycbt V1= x 2 6ax 4 a 2 0
Vớ dụ 5: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú độ dài cạnh đỏy bằng a, cỏc mặt bờn tạo
với đỏy gúc 600. Mặt phẳng (P) đi qua AB và trọng tõm G của tam giỏc SAC cắt SC; SD tại M;
N. Tớnh thể tớch SABMN và khoảng cỏch giữa BG và CD theo a.
Giải :
* Gọi E; F là trung điểm của AB và CD gúc SEF là gúc giữa mặt bờn và đỏy gúc SEF = 600 và tam giỏc SEF đều
* Ta cú
* Trong tam giỏc đều SEF cú SO a 23
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”:
V
SABCD
V
SABMN
* d(BG; CD) = FH (H là giao điểm của SF và MN), mà tam giỏc SEF đều cạnh a d ( BG ; CD) a
2
Vớ dụ 6: Cho tứ diện ABCD cú tất cả cỏc cạnh bằng a, gọi P, Q là trung điểm AB, CD;
R là điểm thuộc cạnh BC sao cho BR 2RC . Mặt phẳng (PQR) cắt AD ở S. Tớnh theo a thể tớch S.BCD . Giải : * Trong (BCD): BD QR I Trong ABD : AD IP S * Áp dụng tỉ lệ trong ABD ta có SD 13 AD . V S.BCD SD 1 V A.BCD AD 3 V S.BCD
Chuyờn đề “Phõn loại và phương phỏp tớnh thể tớch khối đa diện”:
Vớ dụ 7: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Cạnh