(SKKN CHẤT 2020) định hướng tư duy tính nhanh khoảng cách – góc trong không gian thi học sinh giỏi và thi thpt quốc gia môn toán

MỤC LỤC Tiêu mục Mục lục Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư sáng kiến Lính vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu Mô tả chất sáng kiến 7.1 Nội dung sáng kiến 7.1.1 Khoảng cách 7.1.1.1 Các loại khoảng cách không gian 7.1.1.2 Phân dạng phương pháp giải 7.1.1.2.1 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 7.1.1.2.1.1 Phương pháp 7.1.1.2.1.2 Chú ý 7.1.1.2.1.3 Bài tốn gốc 7.1.1.2.1.4 Ví dụ minh họa 7.1.1.2.1.5 Bài tập tự giải 7.1.1.2.2 Dạng Khoảng cách hai đường chéo 7.1.1.2.2.1 Phương pháp 7.1.1.2.2.2 Ví dụ minh họa 7.1.1.2.2.3 Bài tập tự giải 7.1.2 Góc 7.1.2.1 Các loại góc khơng gian 7.1.2.2 Các dạng tốn góc khơng gian download by : skknchat@gmail.com 7.1.2.2.1 Dạng góc hai đường thẳng 7.1.2.2.1.1 Phương pháp 7.1.2.2.1.2 Ví dụ minh họa 7.1.2.2.2 Dạng góc đường thẳng mặt phẳng 7.1.2.2.2.1 Phương pháp 7.1.2.2.2.2 Ví dụ minh họa 7.1.2.2.3 Dạng góc hai mặt phẳng 7.1.2.2.3.1 Phương pháp 7.1.2.2.3.2 Ví dụ minh họa 7.1.3 Bài tập trắc nghiệm khoảng cách - góc 7.1.4 Đáp án tập trắc nghiệm 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): BÁO CÁO KẾT QUẢ download by : skknchat@gmail.com NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG KHÔNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Lời giới thiệu: Bài tốn tính khoảng cách, góc đối tượng khơng gian tốn quan trọng điển hình chương quan hệ vng góc hình học 11 phần hay đề thi HSG, thi THPT QG năm Để giải tốn khơng phải khó khơng dễ lớp đối tượng ngại học hình đặc biệt hình khơng gian Đặt câu hỏi tìm cách thức, đường hướng giải toán nằm mức độ 6-7 điểm đề thi, để em có phương thức giải dạng tốn Vì vậy, từ kinh nghiệm thân năm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Toán hệ thống lại đưa hướng giải thơng qua chun đề: “Định hướng tư - tính nhanh khoảng cách – góc khơng gian thi học sinh giỏi thi trung học phổ thông quốc gia” với mong muốn giúp đỡ em học sinh nắm bắt cách giải dạng tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Đồng Đậu Chuyên đề tài liệu dùng việc ôn thi làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11, lớp 12, giáo viên trường Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG KHƠNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thu - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu - Số điện thoại: 0983973826 E_mail: Nguyenthugvtoan@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Thu Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục THPT download by : skknchat@gmail.com Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử, (ghi ngày sớm hơn): 12/10/2016 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Nội dung sáng kiến: 7.1.1 KHOẢNG CÁCH 7.1.1.1 CÁC LOẠI KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 7.1.1.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d ký hiệu vng góc M lên d với H hình chiếu 7.1.1.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) ký hiệu d(M,(P)) Với H hình chiếu vng góc M lên (P) d(M,(P)) = MH P 7.1.1.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó: Khoảng cách từ đường thẳng d đến mp (P) song song với nó: P download by : skknchat@gmail.com 7.1.1.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song: P Q 7.1.1.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng a chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo a b khoảng cách hai đường thẳng P chéo a b kí hiệu là: b N Q  Nhận xét:  Như tốn khoảng cách khơng gian quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Bài tốn tính thể tích khối chóp khối lăng trụ , phải tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng tức chúng quy toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 7.1.1.2 PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 7.1.1.2.1 DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 7.1.1.2.1.1 PHƯƠNG PHÁP: 7.1.1.2.1.1.1 Tính trực tiếp: Tìm hình chiếu H A mặt phẳng (P) Khi Để tìm hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) có phương pháp thường dùng: download by : skknchat@gmail.com Dựng đường thẳng d qua A vng góc với (P) ( có),  H giao d (P)  Dựng mặt phẳng (Q) qua A (Q) vng góc với (P), gọi d giao tuyến (P) (Q), từ A hạ AH vuông góc với d, H hình chiếu vng góc A lên (P) 7.1.1.2.1.1.2 Tính gián tiếp: Tính gián tiếp qua điểm khác dựa vào tính chất sau:  Nếu: P Nếu: P Đặc biệt I trung điểm MN  Tính gián tiếp qua cơng thức tính thể tích 7.1.1.2.1.2 CHÚ Ý:  Tất tốn tính thể tích, khoảng cách, góc khơng gian chủ yếu đề cho gắn với hình lăng trụ hình chóp Và để giải tốn với câu hỏi thể tích, khoảng cách, góc… việc em phải tìm đường cao hình chóp hay hình lăng trụ tức em phải tìm chân hình chiếu đỉnh xuống măt đáy Để giải công việc mang yếu tố tiên cần ý vận dụng linh hoạt tính chất sau: download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng Chứng minh đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cần chứng minh Chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt cần chứng minh đồng thời vng góc với giao tuyến hai mặt 7.1.1.2.1.3 BÀI TỐN GỐC: Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu đỉnh đến mặt bên: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tình khoảng cách từ A đến mặt (SBC) Bước 1: Xác định giao tuyến d mặt bên mặt đáy Bước 2: Tìm hình chiếu vng góc K A d ( ) Bước 3: Gọi H hình chiếu vng góc A SK ( ), suy Do , mà suy Vậy  Nhận xét: Đây tốn vơ quan trọng việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Hầu tất toán tính download by : skknchat@gmail.com Vậy SAO thì: 7.1.2.2.3 DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 7.1.2.2.3.1 PHƯƠNG PHÁP Để xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Bước Tìm giao tuyến c hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 2: Tìm điểm giao tuyến c mà từ kẻ đường thẳng a, b nằm hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với c Bước 3: Góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc hai đường thẳng a b 7.1.2.2.3.2 VÍ DỤ MINH HỌA Trước tiên ta làm quen với tốn mà việc xác định đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng dễ dàng, nhìn thấy qua ví dụ sau Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a (tham khảo hình vẽ bên) a/ Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) A b/ Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) A C 45 c/ Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) bằng: A C 45 Phân tích: Dùng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: a/ Dễ thấy giao tuyến hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) CD 47 download by : skknchat@gmail.com Ta tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng mà vng góc với CD Ta có: (1)do ABCD hình vng Mặt khác (2) Từ (1) (2) (3), mà Vậy Đáp án A b/ Làm tương tự phần a/ ta xác định Tam giác SAB vuông cân A suy Đáp án C Vẫn kiện ví dụ ta tìm góc hai mặt phẳng mà giao tuyến hai mặt phẳng chưa có hình Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) bằng: A Phân tích: Để giải toán áp dụng phương pháp tìm góc hai mặt phẳng nêu Trước tiên cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng Rồi áp dụng cách thức ví dụ Hướng dẫn giải: Ta có: Gọi d đường thẳng qua S song song với AB, CD Ta có: Mà 48 download by : skknchat@gmail.com Tam giác SAD vuông A có SA = AD = a vng cân A Đáp án C Ví dụ 3: Cho hình lập phương (ABCD) Tính góc mặt phẳng A Phân tích: - Khai thác tính chất đặc biệt hình lập phương Một trường hợp đặc biệt góc hai mặt phẳng góc tạo hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Ta có Vậy Đáp án D Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính cosin góc tạo (SMN) (ABC) A B C D Phân tích: - - Khai thác tính chất chóp tam giác hình chiếu đỉnh trùng với tâm đa giác đáy Sử dụng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: 49 download by : skknchat@gmail.com Gọi O tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có Và Suy Do tính chất hình chóp tam giác nên tam giác SMN cân S Gọi E trung điểm MN Có Lại có Suy Xét tam giác vng SOE có Suy Đáp án D Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, Mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết (SBC) bằng: A Phân tích: Sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cách xác định giao tuyến tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vuông góc với giao tuyến Hướng dẫn giải: 50 download by : skknchat@gmail.com Gọi I trung điểm đoạn AB, d giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC) Ta có: Vì Mà (do ABCD hình chữ nhật) Suy ra, (2) Từ (1), (2) suy ra: (do góc ) Đáp án A Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) Tìm số đo A Phân tích: Tìm góc tạo mặt phẳng (SAB) (SAD): Tìm đường thẳng thuộc (SAB) (SAD) vng góc giao tuyến SA + + Tìm góc đường thẳng Hướng dẫn giải: Có Gọi M trung điểm SA Góc (SAB) (SAD) góc BM DM Dễ thấy điểm cân M có O trung nên 51 download by : skknchat@gmail.com (cạnh huyền – cạnh góc vng) vng cân O vng cân M Góc (SAD) (SAB) Đáp án D Ví dụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân A Biết (ABC) SA = a Góc hai mặt phẳng (SBC) A Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC Khi ta có: vng cân A Ta có (hai cạnh tương ứng) cân (đường trung tuyến đồng thời đường cao) Ta có: Lại có: góc (ABC) (SBC) Ta có: Xét tam giác SAM vng A ta có: Đáp án B Có tốn u cầu xác định yêu tố khác kiện góc đối tương không gian giả thiết Khi việc xác định góc đối tượng chuyển hóa thành góc hình học bước quan trọng để khai thác giả thiết tìm yếu tố yêu cầu 52 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ Đề HSG 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014 Cho hình chóp có vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm BC H trung điểm AM Biết mặt phẳng đường thẳng mặt phẳng mặt phẳng , ; góc Tính cosin góc Phân tích: Mặc dù toán dạng để làm cần khai thác kiện góc hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu vng góc A HC Ta có Theo cách xác định góc hai mặt phẳng làm tập trước dễ có góc (SHC) (ABC) Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) Gọi I hình chiếu A SK Ta có 53 download by : skknchat@gmail.com Trong tam giác vuông SAK, ta có Do Vậy 7.1.3 BÀI TẬP TRẶC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH- GĨC Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tạo với đáy góc Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) A B C D Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = BC = 2a Gọi M, N trung điểm AB SC BC A Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A B C D a Câu 4: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sau sai? A Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đồng thời chứa đường thẳng B Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng C Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng D Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, 54 download by : skknchat@gmail.com cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, Gọi M N hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB SD Góc mặt phẳng (AMN) đường thẳng SB A Câu 6: Cho tứ diện ABCD Góc hai đường thẳng AB CD A Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = 2a; SA vuông góc với đáy ABCD, SC hợp với đáy góc Khi đó, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là: A B C D Câu 8: Cho hình lập phương BD Góc hai đường thẳng A Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC A B C D Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cạnh a SA = a Tìm góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) A Câu 11: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi I trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BI A.2 B C D Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M, N, P trung điểm cạnh Góc đường thẳng CP mặt phẳng (DMN) A 55 download by : skknchat@gmail.com Câu 13: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AC BB’ A B C D Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) A Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Góc hai đường thẳng AC A'D bằng: A Câu 16: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = 2a, AB = 3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) A B a C D Câu 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, đường cao Tính góc cạnh bên mặt đáy hình chóp A B 30 Câu 18: Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng Hình chiếu thẳng BC Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A B Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm SB CD Tính cosin góc MN (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD A B C D 56 download by : skknchat@gmail.com Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với mặt đáy góc Biết A Tính B C D Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng A có góc tam giác SBC tam giác cạnh a mặt phẳng mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: A B C D Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có Tính số đo góc (AB;SC) ta kết A B 30 C 60 D 45 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A B, biết Gọi M N trung điểm SB, SA Tính khoảng từ M đến (NCD) theo a A B C D Câu 24: Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích 10 Biết thể tích tứ diện ABCD 16, tính số đo góc hai mặt phẳng (ABD) (BCD) A B C D Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a Khoảng cách SC AB A B C D Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) 57 download by : skknchat@gmail.com góc Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (làm tròn đến hàng đơn vị) A B 42 Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có cạnh Góc Tính giá trị gần góc A B 38,1 Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I điểm thuộc cạnh AB cho Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (B’DI) A B C D Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có Gọi I trung điểm CC' Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABC) A B C D Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có góc Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) A 7.1.4 ĐÁP ÁN BTTN 1A 11D 21D 2C 12D 22C 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm: “Đinh hướng tư - tính nhanh khoảng cách khơng gian thi HSG thi THPTQG” áp dụng vào giảng dạy chuyên đê, ôn thi HSG ôn thi THPT QG hàng năm Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 58 download by : skknchat@gmail.com Để áp dụng sáng kiến học sinh cần nghiêm túc học tập, vận dụng giảng làm tập giáo viên yêu cầu Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh hứng thú với môn học tự tin với môn học Thấy toán học gắn liền với đời sống học toán thân em đem kiến thức toán học vào giải tốn thực tế đời sống 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Học sinh có định hướng tư làm tốn đặc biệt tốn khoảng cách khơng gian 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số TT Tên tổ chức/cá nhân Nguyễn Thị Thu Trần Thị Hương download by : skknchat@gmail.com Nguyễn Thị Minh Chúc Nguyễn Thị Huyên Trần Thị Loan Nguyễn Chí Cơng , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) 60 download by : skknchat@gmail.com ... ôn thi làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11, lớp 12, giáo viên trường Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG KHÔNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA. .. KHƠNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Lời giới thi? ??u: Bài tốn tính khoảng cách, góc đối tư? ??ng khơng gian tốn quan trọng điển hình chương quan hệ vng góc hình học 11 phần hay đề thi. .. luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tịi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn tơi hệ thống lại đưa hướng giải thông qua chuyên đề: ? ?Định hướng tư - tính nhanh khoảng cách – góc không gian thi