(Sáng kiến kinh nghiệm) định hướng tư duy tính nhanh khoảng cách – góc trong không gian thi học sinh giỏi và thi thpt quốc gia môn toán

MỤC LỤC Tiêu mục Mục lục Lời giới thiệu Trang Tên sáng kiến 3 Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư sáng kiến Lính vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử Mô tả chất sáng kiến 7.1 Nội dung sáng kiến 7.1.1 Khoảng cách 7.1.1.1 Các loại khoảng cách không gian 7.1.1.2 Phân dạng phương pháp giải 7.1.1.2.1 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 7.1.1.2.1.1 Phương pháp 7.1.1.2.1.2 Chú ý 7.1.1.2.1.3 Bài tốn gốc 7.1.1.2.1.4 Ví dụ minh họa 7.1.1.2.1.5 Bài tập tự giải 23 7.1.1.2.2 Dạng Khoảng cách hai đường chéo 25 7.1.1.2.2.1 Phương pháp 25 7.1.1.2.2.2 Ví dụ minh họa 25 7.1.1.2.2.3 Bài tập tự giải 32 7.1.2 Góc 34 7.1.2.1 Các loại góc khơng gian 34 7.1.2.2 Các dạng tốn góc khơng gian 35 7.1.2.2.1 Dạng góc hai đường thẳng 35 7.1.2.2.1.1 Phương pháp 35 7.1.2.2.1.2 Ví dụ minh họa 35 7.1.2.2.2 Dạng góc đường thẳng mặt phẳng 39 7.1.2.2.2.1 Phương pháp 39 7.1.2.2.2.2 Ví dụ minh họa 40 7.1.2.2.3 Dạng góc hai mặt phẳng 46 7.1.2.2.3.1 Phương pháp 46 7.1.2.2.3.2 Ví dụ minh họa 46 7.1.3 Bài tập trắc nghiệm khoảng cách - góc 53 7.1.4 Đáp án tập trắc nghiệm 57 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: 57 Những thông tin cần bảo mật (nếu có): 58 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 58 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp 58 dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp 58 dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp 58 dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử 58 áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG KHÔNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Lời giới thiệu: Bài tốn tính khoảng cách, góc đối tượng khơng gian tốn quan trọng điển hình chương quan hệ vng góc hình học 11 phần hay đề thi HSG, thi THPT QG năm Để giải tốn khơng phải khó khơng dễ lớp đối tượng ngại học hình đặc biệt hình khơng gian Đặt câu hỏi tìm cách thức, đường hướng giải toán nằm mức độ 6-7 điểm đề thi, để em có phương thức giải dạng tốn Vì vậy, từ kinh nghiệm thân năm luyện thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi tìm tòi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn tơi hệ thống lại đưa hướng giải thông qua chuyên đề: “Định hướng tư - tính nhanh khoảng cách – góc khơng gian thi học sinh giỏi thi trung học phổ thông quốc gia” với mong muốn giúp đỡ em học sinh nắm bắt cách giải dạng tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường THPT Đồng Đậu Chuyên đề tài liệu dùng việc ôn thi làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11, lớp 12, giáo viên trường Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG KHƠNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Thu - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu - Số điện thoại: 0983973826 E_mail: Nguyenthugvtoan@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến : Nguyễn Thị Thu Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử, (ghi ngày sớm hơn): 12/10/2016 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Nội dung sáng kiến: 7.1.1 KHOẢNG CÁCH 7.1.1.1 CÁC LOẠI KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 7.1.1.1.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d ký hiệu d ( M,d ) với H hình chiếu vng góc M lên d d ( M,d ) = MH 7.1.1.1.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng (P) ký hiệu d(M,(P)) Với H hình chiếu vng góc M lên (P) d(M,(P)) = MH P 7.1.1.1.3 Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó: Khoảng cách từ đường thẳng d đến mp (P) song song với nó: d ( d, ( P ) ) = d ( M, ( P ) ) , ∀M ∈ d P 7.1.1.1.4 Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng P song song: d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M, ( P ) ) , ∀M ∈ ( Q ) Q 7.1.1.1.5 Khoảng cách hai đường thẳng a chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo a P b khoảng cách hai đường thẳng chéo a b kí hiệu là: b N d ( a,b = MN,M ∈ a, N ∈ b,MN ⊥ a,MN ⊥ b Q ) = d ( a, ( P ) ) , ( P ) ⊃ b,a / / ( P ) = d ( ( P ) , ( Q ) ) , ( P ) ⊃ a,b ⊂ ( Q ) :( P ) / / ( Q ) Nhận xét:  Như toán khoảng cách khơng gian quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Bài tốn tính thể tích khối chóp khối lăng trụ V = B.h; V = B.h , phải tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách hai mặt phẳng tức chúng quy toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 7.1.1.2 PHÂN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 7.1.1.2.1 DẠNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 7.1.1.2.1.1 PHƯƠNG PHÁP: 7.1.1.2.1.1.1 Tính trực tiếp: Tìm hình chiếu H A mặt phẳng (P) Khi d ( A, ( P ) ) = AH Để tìm hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng (P) có phương pháp thường dùng:  Dựng đường thẳng d qua A vng góc với (P) ( có), H giao d (P)  Dựng mặt phẳng (Q) qua A (Q) vng góc với (P), gọi d giao tuyến (P) (Q), từ A hạ AH vuông góc với d, H hình chiếu vng góc A lên (P) 7.1.1.2.1.1.2 Tính gián tiếp:  Tính gián tiếp qua điểm khác dựa vào tính chất sau: • Nếu: MN / / ( P ) ⇒ d ( M, ( P ) ) = d ( N, ( P ) ) P • Nếu: MN ∩ ( P ) = I ⇒ d ( M, ( P ) ) MI = d ( N, ( P ) ) NI P Đặc biệt I trung điểm MN d ( M, ( P ) ) = d ( N, ( P ) )  Tính gián tiếp qua cơng thức tính thể tích 7.1.1.2.1.2 CHÚ Ý:  Tất tốn tính thể tích, khoảng cách, góc khơng gian chủ yếu đề cho gắn với hình lăng trụ hình chóp Và để giải tốn với câu hỏi thể tích, khoảng cách, góc… việc em phải tìm đường cao hình chóp hay hình lăng trụ tức em phải tìm chân hình chiếu đỉnh xuống măt đáy Để giải công việc mang yếu tố tiên cần ý vận dụng linh hoạt tính chất sau: • Định nghĩa đường thẳng vng góc với mặt phẳng • Cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng • Chứng minh đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng • Chứng minh đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cần chứng minh • Chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với mặt cần chứng minh đồng thời vng góc với giao tuyến hai mặt 7.1.1.2.1.3 BÀI TOÁN GỐC: Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu đỉnh đến mặt bên: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), tình khoảng cách từ A đến mặt (SBC) Bước 1: Xác định giao tuyến d mặt bên mặt đáy Bước 2: Tìm hình chiếu vng góc K A d ( AK ⊥ d ) Bước 3: Gọi H hình chiếu vng góc A SK ( AH ⊥ SK ), suy AH ⊥ (SBC) Do d ⊥ ( SAK ) ⇒ d ⊥ AH , mà AH ⊥ SK suy AH ⊥ (SBC) Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AH  Nhận xét: Đây tốn vơ quan trọng việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Hầu tất tốn tính khoảng cách từ điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng thơng qua tốn 7.1.1.2.1.4 VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA ⊥ ( ABC ) Giả sử · AB = BC = 2a,ABC = 120o Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Phân tích: A chân đường vng góc hạ từ S xuống mặt đáy (ABC) Như ta cần tìm khoảng cách từ hình chiếu đỉnh đến mặt bên (SBC) ( toán bản) Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu vng góc A lên BC, suy AK ⊥ BC ( 1) Do SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC ( ) Từ (1) (2) suy BC ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SAK ) ⊥ ( SBC ) ( ) SD = ( SAK ) ∩ ( SBC ) (4) Gọi H hình chiếu vng góc A SK, suy AH ⊥ SK (5) Từ (3), (4), (5) suy AH ⊥ ( SBC ) Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AH · Xét tam giác vng AKB , ta có: AK = AB.sin ABK = 2a.sin 60o = a Do AH đường cao tam giác SAK vng A nên ta có: 1 1 = + = 2+ 2= 2 2 AH SA AK 9a 3a 9a Suy d ( A, ( SBC ) ) = AH = 3a Cách 2: Tính gián tiếp qua thể tích 1 · = a3 Dễ có VS.ABC = SA.S∆ABC = SA AB.BC.sin ABC 3 1 3VS.ABC Lại có VS.ABC = SA.S∆ABC = d ( A, ( SBC ) ) S∆SBC ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = 3 S∆SBC Để tìm S∆SBC cần tìm đường cao SK hay tìm góc mặt (SBC) mặt đáy Tương tự cách chứng minh tìm K ta có AK = a ⇒ SK = SA + AK = 2a Suy S∆SBC = SK.BC = 2a 3.a 3 3a = Vậy d ( A, ( SBC ) ) = 2a Ví dụ 2: ĐHKD-2003 Cho hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc với nhau, cắt theo giao tuyến ∆ Lấy A, B thuộc ∆ đặt AB = a Lấy C, D thuộc ( P) ,( Q) cho AC,BD vng góc với ∆ AC = BD = a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD ) Phân tích: Nhận thấy ( P ) ≡ ( ABC ) , ( Q ) ≡ ( ABD ) , từ giả thiết suy CA ⊥ ( ABD ) , nên A hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng (ABD) Bài tốn tìm khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh đến mặt bên (BCD) Hướng dẫn giải: Ta có:  ( P) ⊥ ( Q)  ( P ) ∩ ( Q ) = ∆  ⇒ AC ⊥ ( Q ) ⇒ AC ⊥ BD ( 1)  AC ⊂ ( P ) ,AC ⊥ ∆  Lại có BD ⊥ AB ( ) Từ (1) (2) suy BD ⊥ ( ABC ) ( 3) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống BC Vì tam giác ABC vng cân A nên AH ⊥ BC (4) AH = BC a = 2 Từ (3) suy AH ⊥ BD ( ) Từ (4) (5) suy AH ⊥ ( BCD ) Hay H chân đường vng góc hạ từ A lên (BCD) ⇒ d ( A, ( BCD ) ) = AH = a Ví dụ 3:ĐH KD-2012 Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B'C'D' có đáy hình vng, tam giác A 'AC vuông cân, A 'C = 2a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( BCD' ) theo a Phân tích: Từ giả thiết ta có A 'A ⊥ ( ABCD ) , suy A hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên (ABCD) Do tốn trở thành tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh đến mặt bên (A’BCD’) ( xét hình chóp A’.ABCD) Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ∆A 'AC vuông cân A, có A 'C = 2a ⇒ AC = AA ' = Lại có ∆ABC A 'C =a 2 vng AC = a ⇒ AB = BC = cân A, có AC =a Gọi H hình chiếu vng góc A A’B Ta có BC ⊥ ( ABB'A ' ) , suy AH ⊥ BC , lại có AH ⊥ A 'B Suy AH ⊥ ( BCD' ) Xét tam giác vng ABA’ có AH đường cao, nên ta 10 có: ∆ACH vng H ⇒ sin β = sin ·ACH = Vậy tan α + sin β = AH 21 = AC 7 + 21 Đáp án C Chúng ta làm quen với tốn mà việc xác định góc đường thẳng mặt phẳng phải xác định thành góc hình học giả thiết cho từ xác định yếu tố khác Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , đáy có cạnh a có tâm O Gọi M, N trung điểm SA , BC Biết góc MN ( ABCD ) 60° Tính góc MN ( SAO ) 1 A ϕ = arcsin B ϕ = arcsin C ϕ = arcsin D ϕ = arcsin 5 5 Phân tích: - Ở tốn ta cần khai thác giả thiết hình chóp có tính chất hình chiếu đỉnh trùng với tâm đa giác đáy - Từ xác định góc đường thẳng MN mặt · phẳng (ABCD) thành góc hình học MNP - Để xác định góc MN mặt phẳng (SAO) ta cần xác định hình chiếu vng góc MN (SAO) Hướng dẫn giải: Gọi P trung điểm AO ⇒ MP đường trung bình ∆SAO ⇒ MP / / SO · ⇒ MP ⊥ ( ABCD ) ⇒ Góc MN ( ABCD ) góc MNP = 60° Áp dụng định lý cosin cho ∆PNC ta có: a2  a  NP = CN + CP − 2CN CP.cos 45° = +  a ÷ − a 4  2 2 2 a 9a 2a 11a 3a 5a = + − = − = 8 2 2 Trong tam giác vng MNP ta có: PN 15 15 = a PM = NP.tan 60° = a ⇒ SO = MP = a cos 60° Gọi H trung điểm CO ⇒ NH / / BD ⇒ NH ⊥ AC · Mà NH ⊥ SO ⇒ NH ⊥ ( SAC ) ·MN , SAC = NMH MN = ( ( )) 45 5a a , MN = (tính trên) NH Vậy ∆MHN ta có: sin ·NMH = MN = Nên gọi ϕ góc MN Ta có: HN = OB = ( SAO ) thì: sin ϕ = hay ϕ = arcsin  π  ≤ ϕ ≤ ÷ Đáp án A 2  7.1.2.2.3 DẠNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 7.1.2.2.3.1 PHƯƠNG PHÁP Để xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Bước Tìm giao tuyến c hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 2: Tìm điểm giao tuyến c mà từ kẻ đường thẳng a, b nằm hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với c Bước 3: Góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc hai đường thẳng a b 7.1.2.2.3.2 VÍ DỤ MINH HỌA Trước tiên ta làm quen với tốn mà việc xác định đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng dễ dàng, nhìn thấy qua ví dụ sau Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a (tham khảo hình vẽ bên) a/ Góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) · A SDA · B SCA · C SCB · D ASD b/ Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) A 300 B 60 C 45 D 90 c/ Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) bằng: A 300 B 60 C 45 D 90 Phân tích: Dùng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng 46 Hướng dẫn giải: a/ Dễ thấy giao tuyến hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) CD Ta tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng mà vng góc với CD Ta có: AD ⊂ (ABCD),AD ⊥ CD (1)do ABCD hình vng Mặt khác SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ CD (2) Từ (1) (2) ⇒ CD ⊥ SD (3), mà SD ⊂ (SCD) Vậy · Đáp án A ( ( SCD ) ; ( ABCD ) ) = ( AD;SD ) = SDA · ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = ( AB;SB ) = SBA Tam giác SAB vuông cân A suy ( ( SBC ) ; ( ABCD ) ) = 45 Đáp án C b/ Làm tương tự phần a/ ta xác định o Vẫn kiện ví dụ ta tìm góc hai mặt phẳng mà giao tuyến hai mặt phẳng chưa có hình Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) bằng: A 300 B 60 C 45 D 90 Phân tích: Để giải toán áp dụng phương pháp tìm góc hai mặt phẳng nêu Trước tiên cần tìm giao tuyến hai mặt phẳng Rồi áp dụng cách thức ví dụ AB ⊂ (SAB) CD ⊂ (SCD)  Hướng dẫn giải: Ta có:  AB / /CD S ∈ (SAB) ∩ (SCD) Gọi d = (SAB) ∩ (SCD) ⇒ d đường thẳng qua S song song với AB, CD 47 AD ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SAD) Ta có:  SA ⊥ AB Mà d / /AB ⇒ d ⊥ (SAD) ( SAD ) ∩ (SAB) = SA · ⇒ ( (SAB);(SCD) ) = (SA;SD) = ASD  (SAD) ∩ (SCD) = SD Tam giác SAD vuông A có SA = AD = a ⇒ ∆SAD vng cân A · ⇒ ASD = 450 ⇒ ( (SAB);(SCD) ) = 450 Đáp án C Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' Tính góc mặt phẳng (ABCD) (ACC'A ') A 450 B 60 C 30 D 90 Phân tích: - Khai thác tính chất đặc biệt hình lập phương - Một trường hợp đặc biệt góc hai mặt phẳng góc tạo hai mặt phẳng 90o Hướng dẫn giải: Ta có AA ' ⊥ ( ABCD ) ,AA ' ⊂ ( ACC'A ' ) ⇒ ( ABCD ) ⊥ ( ACC'A ' ) Vậy ( ( ABCD ) ; ( ACC'A ') ) = 90 o Đáp án D Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt phẳng đáy 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính cosin góc tạo (SMN) (ABC) A B 12 C 12 147 D 48 Phân tích: - Khai thác tính chất chóp tam giác hình chiếu đỉnh trùng với tâm đa giác đáy - Sử dụng phương pháp xác định góc hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Gọi O tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có SO ⊥ ( ABC ) · = 60o Suy Và ( SB; ( ABC ) ) = ( SB;BO ) = SBO SO = BO.tan 60o = a =a Do tính chất hình chóp tam giác nên tam giác SMN cân S Gọi E trung điểm MN ( SMN ) ∩ ( ABC ) = MN  · Có SE ⊂ ( SMN ) ,SE ⊥ ( MN ) ⇒ ( ( SMN ) ; ( ABC ) ) = ( SE;BE ) = SEO  BE ⊂ ( ABC ) ;BE ⊥ MN a Lại có EO = BH − BE − OH = BH = Suy 12 Xét tam giác vng SOE có SE = SO + OE = 7a 12 OE · = = Đáp án D Suy cosSEO SE Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, a Mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S nằm mặt phẳng vuông · góc với mặt phẳng (ABCD) Biết ASB = 1200 Góc mặt phẳng (SAD) (SBC) bằng: AD = A 600 B 45 C 30 D 90 49 Phân tích: Sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cách xác định giao tuyến tìm hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm đoạn AB, d giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC) (SAD) ∩ (ABC) = d BC ⊂ (SBC)  ⇒ d / /BC / /AD(1) Ta có:  AD ⊂ (SAD)  BC/ / AD (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ SI ⊥ (ABCD) ⇒ SI ⊥ AD Vì  SI ⊥ AB  Mà AB ⊥ AD (do ABCD hình chữ nhật) Suy ra, AD ⊥ (SAB) (2) d ⊥ SA Từ (1), (2) suy ra: d ⊥ (SAB) ⇒  d ⊥ SB · ⇒ ((SAD),(SBC)) = (SA,SB) = 600 (do góc BSA = 1200 ) Đáp án A Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi tâm O, đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AB = SB = a,SO = a Tìm số đo góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) A 300 B 45 C 60 D 90 Phân tích: Tìm góc tạo mặt phẳng (SAB) (SAD): + Tìm đường thẳng thuộc (SAB) (SAD) vng góc giao tuyến SA 50 + Tìm góc đường thẳng Hướng dẫn giải: Có SB = AB ⇒ SD = AD Gọi M trung điểm SA BM ⊥ SA DM ⊥ SA ⇒ Góc (SAB) (SAD) góc BM DM Dễ thấy ∆BMD cân M có O trung điểm BD ⇒ MO ⊥ BD SO ⊥ (ABCD) nên a 6 a SO ⊥ BO ⇒ BO = SB2 − SO = a −  ÷ =   ∆OBA = ∆OBS (cạnh huyền – cạnh góc vng) ⇒ OA = OS ⇒ ∆OSA vuông cân O ⇒ OM = MS = MA = SA SO a = = 2 ⇒ OM = OB = OD ⇒ ∆BMD vng cân M ⇒ Góc (SAD) (SAB) 900 Đáp án D Ví dụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân A AB = a Biết SA ⊥ (ABC) SA = a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) A 300 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC Khi ta có: AM ⊥ BC ∆ABC vng cân A Ta có ∆SAB = ∆SAC(c − g − c) ⇒ SB = SC (hai cạnh tương ứng) ⇒ ∆SBC cân S ⇒ SM ⊥ BC (đường trung tuyến đồng thời đường cao) Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC SM ⊥ BC(cmt) · ⇒ góc (ABC) (SBC) SMA Lại có:  AM ⊥ BC(cmt)  Ta có: BC2 = 2AB2 = 2.2a = 4a ⇒ BC = 2a ⇒ BM = a 51 ⇒ AM = AB2 − BM = 2a − a = a SA a · · = = = ⇒ SMA = 450 Xét tam giác SAM vng A ta có: tanSMA AM a Đáp án B Có tốn u cầu xác định yêu tố khác kiện góc đối tương không gian giả thiết Khi việc xác định góc đối tượng chuyển hóa thành góc hình học bước quan trọng để khai thác giả thiết tìm yếu tố yêu cầu Ví dụ Đề HSG 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014 Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung · điểm BC H trung điểm AM Biết HB = HC = a , HBC = 300 ; góc mặt phẳng ( SHC ) mặt phẳng ( HBC ) 600 Tính cosin góc đường thẳng BC mặt phẳng ( SHC ) Phân tích: Mặc dù tốn dạng để làm cần khai thác kiện góc hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Gọi K hình chiếu vng góc A HC Ta có AH = HM = HBsin 300 = a a ⇒ AK = AH.sin 600 = 52 Theo cách xác định góc hai mặt phẳng làm tập trước dễ có góc 3a · = 600 ⇒ SA = AK.tan 600 = (SHC) (ABC) SKA · Gọi B’ hình chiếu B (SHC), suy góc BC (SHC) BCB' Gọi I hình chiếu A SK ⇒ AI ⊥ (SHC) Ta có BB' = d(B,(SHC)) = 2d(M,(SHC)) = 2d(A,(SHC)) = 2AI Trong tam giác vng SAK, ta có AI = AK.AS AK + AS2 · Do sin BCB' = = 3a 2 3a 3a = ⇒ BB' = 16 a BB' 3a 3a = = = BC 4.2BM 8.HB.cos30 · Vậy cos BCB' = 1− 13 = 16 7.1.3 BÀI TẬP TRẶC NGHIỆM KHOẢNG CÁCH- GĨC Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD),SC tạo với đáy góc 450 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) A a 10 B a 10 C a 5 D a Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = BC = 2a Gọi M, N trung điểm AB SC MN = a Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC A 300 B 150 C 60 D 120 Câu 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A a B a 2 C a D a Câu 4: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sau sai? 53 A Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đồng thời chứa đường thẳng B Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng C Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng D Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Gọi M N hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB SD Góc mặt phẳng (AMN) đường thẳng SB A 450 B 90 C 120 D 60 Câu 6: Cho tứ diện ABCD Góc hai đường thẳng AB CD A 600 B 90 C 45 D 30 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = 10 2a; SA vng góc với đáy ABCD, SC hợp với đáy góc α tan α = Khi đó, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là: A 2a 3 B 2a C a 3 D a Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D' Góc hai đường thẳng A 'C' BD A 600 B 30 C 45 D 90 Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt bên SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC A a 3 B a C 2a 3 D 2a 5 Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC); tam giác ABC cạnh a SA = a Tìm góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 54 A 600 B 45 C 135 D 90 Câu 11: Cho tứ diện ABCD có cạnh 11 Gọi I trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách hai đường thẳng AC BI A B 2 C D Câu 12: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có M, N, P trung điểm cạnh A 'B',A 'D',C'D' Góc đường thẳng CP mặt phẳng (DMN) A 300 B 60 C 45 D 0 Câu 13: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Khoảng cách hai đường thẳng AC BB’ A 2a B 5a C a D 3a Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a Góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) A 300 B 60 C 45 D 90 Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Góc hai đường thẳng AC A'D bằng: A 450 B 30 C 60 D 90 Câu 16: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = 2a, AB = 3a Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) A a B a C a D a Câu 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, đường cao SH = A 450 a Tính góc cạnh bên mặt đáy hình chóp B 30 C 75 D 60 Câu 18: Hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A;AB = a;AC = 2a Hình chiếu vng góc A' (ABC) nằm đường thẳng BC Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A 'BC) A 2a B 2a 5 C a D a 55 Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm SB CD Tính a3 cosin góc MN (SAC), biết thể tích khối chóp S.ABCD A 310 20 B 10 C 310 20 D 10 Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC tạo với mặt đáy góc 600 Biết BC = a,BAC = 450 Tính h = d(S,(ABC)) A h = a B h = a C h = a D h = a Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng A có góc ABC = 300 ; tam giác SBC tam giác cạnh a mặt phẳng ( SAB ) ⊥ mặt phẳng (ABC) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là: A a B a C a 3 D a Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a,BC = a Tính số đo góc (AB;SC) ta kết A 900 B 30 C 60 D 45 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang vng A B, biết AB = BC = a,AD = 2a,SA = a SA ⊥ (ABCD) Gọi M N trung điểm SB, SA Tính khoảng từ M đến (NCD) theo a A a 66 22 B 2a 66 C a 66 11 D a 66 44 Câu 24: Cho tứ diện ABCD có BD = 2, hai tam giác ABD, BCD có diện tích 10 Biết thể tích tứ diện ABCD 16, tính số đo góc hai mặt phẳng (ABD) (BCD)  4 A arccos  ÷  15   4 B arcsin  ÷  15  4 C arcsin  ÷ 5 4 D arccos  ÷ 5 56 Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a Khoảng cách SC AB A a 5 B 2a 5 C a 15 D 2a 15 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) góc 450 Gọi I trung điểm cạnh CD Góc hai đường thẳng BI SD (làm tròn đến hàng đơn vị) A 390 B 42 C 51 D 48 Câu 27: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = 2,AD = 3;AA' = Góc hai mặt phẳng (AB'D') (A 'C'D) α Tính giá trị gần góc α ? A 61,60 B 38,1 C 45,2 D 53,4 Câu 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I điểm thuộc cạnh AB cho Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (B’DI) A 2a a 14 B C a D 3a 14 Câu 29: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AC = BB' = a,BAC = 1200 Gọi I trung điểm CC' Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) A 2 B 12 C 30 10 D · · Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, góc ASB = 900 ,BSC = 600 , · ,ASC = 1200 Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) A 900 B 45 C 60 D 30 7.1.4 ĐÁP ÁN BTTN 1A 11D 21D 2C 12D 22C 3B 13D 23C 4C 14C 24C 5D 15C 25B 6B 16B 26C 7A 17A 27A 8D 18B 18D 9D 19A 19C 10B 20C 30D 57 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến kinh nghiệm: “Đinh hướng tư - tính nhanh khoảng cách khơng gian thi HSG thi THPTQG” áp dụng vào giảng dạy chuyên đê, ôn thi HSG ôn thi THPT QG hàng năm Những thông tin cần bảo mật (nếu có): Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Để áp dụng sáng kiến học sinh cần nghiêm túc học tập, vận dụng giảng làm tập giáo viên yêu cầu 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có) theo nội dung sau: 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh hứng thú với môn học tự tin với môn học Thấy toán học gắn liền với đời sống học toán thân em đem kiến thức toán học vào giải toán thực tế đời sống 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tổ chức, cá nhân: Học sinh có định hướng tư làm tốn đặc biệt tốn khoảng cách khơng gian 58 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá nhân TT Địa Nguyễn Thị Thu Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11, 12 Trần Thị Hương Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11 Nguyễn Thị Minh Chúc Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12 Nguyễn Thị Huyên Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 11,12 Trần Thị Loan Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12 Nguyễn Chí Cơng Trường THPT Đồng Đậu Dạy học lớp 12 , ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phương (Ký tên, đóng dấu) Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến , ngày tháng năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ (Ký tên, đóng dấu) Yên Lạc, ngày 10 tháng 02 năm 2020 Tác giả sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Thu 59 ... DỤNG SÁNG KIẾN: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH – GĨC TRONG KHƠNG GIAN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI THPT QUỐC GIA Lời giới thi? ??u: Bài tốn tính khoảng cách, góc đối tư? ??ng khơng gian tốn... thông qua chuyên đề: ? ?Định hướng tư - tính nhanh khoảng cách – góc khơng gian thi học sinh giỏi thi trung học phổ thông quốc gia? ?? với mong muốn giúp đỡ em học sinh nắm bắt cách giải dạng tốn nhằm... dạy học trường THPT Đồng Đậu Chuyên đề tài liệu dùng việc ôn thi làm tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 11, lớp 12, giáo viên trường Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY - TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH –