- Từ đó xác định góc giữa đường thẳng MN và mặt
7.1.2.2.3. DẠNG 2 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 1 PHƯƠNG PHÁP.
7.1.2.2.3.1. PHƯƠNG PHÁP.
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Bước 1. Tìm giao tuyến c của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2: Tìm một điểm trên giao tuyến c mà từ đó kẻ được 2 đường thẳng a,
b lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vng góc với c.
Bước 3: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là góc giữa hai đường thẳng
a và b.
7.1.2.2.3.2. VÍ DỤ MINH HỌA.
Trước tiên ta làm quen với bài tốn mà ở đó việc xác định 2 đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng và vng góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó rất dễ dàng, nhìn thấy ngay qua ví dụ sau.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA
vng góc với đáy và SA = a (tham khảo hình vẽ bên). a/ Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
A.
b/ Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
A.C. 45 C. 45
c/ Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng:
A.C. 45 C. 45
Phân tích: Dùng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng. Hướng dẫn giải:
a/ Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là CD.
Ta tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng mà cùng vng góc với CD. Ta có: (1)do ABCD là hình vng. Mặt khác (2). Từ (1) và (2) (3), mà . Vậy . Đáp án A. b/ Làm tương tự phần a/ ta xác định được
Tam giác SAB vuông cân tại A suy ra . Đáp án C.
Vẫn dữ kiện như ví dụ 1 ta đi tìm góc giữa hai mặt phẳng mà giao tuyến của hai mặt phẳng chưa có ngay trên hình.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA
vng góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng:
A.
Phân tích: Để giải quyết bài tốn này chúng
ta vẫn áp dụng phương pháp tìm góc giữa hai mặt phẳng đã nêu.
Trước tiên chúng ta cần tìm giao tuyến giữa hai mặt phẳng.
Rồi áp dụng cách thức như ví dụ 1.
Hướng dẫn giải: Ta có:
Gọi d là đường thẳng qua S và song
song với AB, CD.
Ta có: Mà
48
Tam giác SAD vng tại A có SA = AD = a vng cân tại A.
Đáp án C.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương Tính góc giữa mặt phẳng (ABCD) và
A.
Phân tích:
- Khai thác tính chất đặc biệt của hình lập phương.
- Một trường hợp đặc biệt về góc giữa hai mặt phẳng khi góc tạo bởi hai mặt phẳng bằng .
Hướng dẫn giải:
Ta có
Vậy . Đáp án D.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC. Tính cosin góc tạo bởi (SMN) và (ABC)
A. B. C. D. Phân tích: Phân tích:
- Khai thác tính chất chóp tam giác đều đó là hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đa giác đáy.
- Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
49
Gọi O là tâm của tam giác ABC. Theo giả thiết ta có .
Và . Suy ra
.
Do tính chất của hình chóp tam giác đều nên tam giác SMN cân tại S. Gọi E là trung điểm của MN.
Có .
Lại có . Suy ra
Xét tam giác vng SOE có .
Suy ra . Đáp án D.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
Mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vng
góc với mặt phẳng (ABCD). Biết (SBC) bằng:
A.
Phân tích: Sử dụng cách xác định góc giữa
hai mặt phẳng bằng cách xác định giao tuyến và tìm hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng cùng vng góc với giao tuyến.
Hướng dẫn giải:
50
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC). Ta có: Vì Mà (do ABCD là hình chữ nhật) Suy ra, (2) Từ (1), (2) suy ra: (do góc ). Đáp án A.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng
SO vng góc với mặt phẳng (ABCD). Biết Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).
A.
Phân tích:
Tìm góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SAB) và (SAD):
+ Tìm 2 đường thẳng lần lượt thuộc (SAB) và (SAD) và vng góc giao tuyến SA
+ Tìm góc giữa 2 đường thẳng đó
Hướng dẫn giải:
Có
Gọi M là trung điểm SA thì và
Góc giữa (SAB) và (SAD) là góc giữa BM và DM Dễ thấy cân tại M có O là trung
điểm nên
51
(cạnh huyền – cạnh góc vng) vng cân tại O
vng cân tại M Góc giữa (SAD) và (SAB) bằng Đáp án D.
Ví dụ 7. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và
Biết và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
A.
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó ta có: do vng cân tại A.
Ta có (hai cạnh tương ứng)
cân tại (đường trung tuyến đồng thời là đường cao).
Ta có:
Lại có: góc giữa (ABC) và (SBC) là .
Ta có:
Xét tam giác SAM vng tại A ta có:
Đáp án B.
Có những bài tốn u cầu xác định các yêu tố khác và dữ kiện góc giữa các đối tương trong không gian là giả thiết của bài. Khi đó việc xác định được góc giữa các đối tượng đó chuyển hóa thành góc hình học là bước quan trọng để khai thác giả thiết tìm yếu tố bài yêu cầu.
52
Ví dụ 8. Đề HSG 12 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014.
Cho hình chóp có vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết , ; góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng . Tính cosin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Phân tích: Mặc dù bài toán ở dạng 2
nhưng để làm được thì cần khai thác dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Gọi K là hình chiếu vng góc của A trên HC.
Ta có .
Theo cách xác định góc giữa hai mặt phẳng đã làm các bài tập trước dễ có góc giữa (SHC) và (ABC) là
Gọi B’ là hình chiếu của B trên (SHC), suy ra góc giữa BC và (SHC) là
Gọi I là hình chiếu của A trên SK .
Ta có .
53
Trong tam giác vng SAK, ta có
Do đó .
Vậy